תרגיל 1 להגשה ליום רביעי ה20 ביולי

הצרנות

הצרן את הטענות הבאות (מותר לכם להשתמש בפרדיקטים סבירים, בתנאי שתגדירו אותם):
- לכל מספר ממשי יש מספר טבעי הגדול ממנו.
- אקסיומת האינדקוציה: אם פרידקט כלשהו אמיתי באחד ([math]\displaystyle{ P(1)\equiv T }[/math]) וכמו כן, העובדה שהוא אמיתי עבור n גוררת שהוא אמיתי עבור n+1 אזי הוא אמיתי תמיד.
- x הינו מספר ראשוני (מספר המתחלק רק בעצמו ובאחד).
- כל מספר ראשוני הינו סכום של מספרים זוגיים.
- קיימים אינסוף תאומים (תאומים הם זוג ראשוניים אשר ההפרש בינהם הינו שתים.)

קבוצות

הגדרה: איחוד של שתי קבוצות A וB הוא קבוצת האיברים שנמצאים לפחות באחת הקבוצות. החיתוך הוא קבוצת האיברים שנמצאים בשתי הקבוצות.

הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לאיחוד של הקבוצות A וB
הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לאיחוד של הקבוצות A וB
הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לחיתוך של הקבוצות A וB
הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לחיתוך של הקבוצות A וB

הגדרה: קבוצה A מוכלת בקבוצה B אם בB נמצאים כל האיברים מA (למשל הטבעיים מוכלים בשלמים [math]\displaystyle{ \mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z} }[/math], והשלמים מוכלים בממשיים [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}\subseteq\mathbb{R} }[/math]).

הצרן תנאי השקול לכך ש-C מוכלת בחיתוך של A וB
הצרן תנאי השקול לכך ש-C אינה מוכלת באיחוד של A וB

(מותר לכם להשתמש בכמתים באופן הבא [math]\displaystyle{ \forall a\in A, \exists a\in A }[/math])

שקילות

הגדרה: טענות [math]\displaystyle{ A_1,A_2,...,A_n }[/math] שקולות אם ((כולן אמיתיות יחד) או (כולן שקריות יחד)).

הוכח שמספיק להוכיח את הטענות הבאות על מנת להוכיח ש[math]\displaystyle{ A_1,A_2,...,A_n }[/math] שקולות:

[math]\displaystyle{ A_1\rightarrow A_2 }[/math],

[math]\displaystyle{ A_2\rightarrow A_3 }[/math],

[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]

[math]\displaystyle{ A_{n-1}\rightarrow A_n }[/math],

[math]\displaystyle{ A_n\rightarrow A_1 }[/math]

דרכי הוכחה

הוכח שהפסוקים הבאים הינם טאוטולוגיות:

[math]\displaystyle{ (A\rightarrow B) \leftrightarrow (\neg B \rightarrow \neg A) }[/math]
[math]\displaystyle{ A \leftrightarrow (\neg A \rightarrow F) }[/math]

(נהוג להחליף ביטויים מהצורה הזו בביטויים השקולים להם כי הם נוחים יותר להוכחה מידי פעם.)

תרגיל שני

הגדרה: הגבול של הפונקציה f בנקודה x הינו L אם לכל סדרה [math]\displaystyle{ x_n }[/math] המתכנסת לx ושאבריה שונים מx מתקיים שהסדרה [math]\displaystyle{ f(x_n) }[/math] מתכנסת ל-L.

(הגדרת גבול של סדרה היא כפי שלמדנו בשיעור)

הצרן את ההגדרה לעיל
הצרן את השלילה להגדרה (כלומר, מתי L אינו גבול הפונקציה בנקודה x)

יהי הפרדיקט [math]\displaystyle{ P(x,y) }[/math] האומר אדם x צעיר יותר מאדם y. ויהי הפרדיקט [math]\displaystyle{ Q(x) }[/math] האומר שאדם x הינו שמח.

הצרן את הטענות הבאות:

מבין כל שלושה אנשים, הצעיר ביותר הוא שמח.
מבין כל שלושה אנשים שמחים, לפחות שניים הם באותו גיל
בכל זוג יש לפחות אדם אחד שמח.
קיים זוג בו שני האנשים שמחים רק אם קיים זוג אחר בו שני האנשים עצובים
יש רק אדם אחד עצוב
יש אדם שהוא הכי מבוגר
אם יש אדם שהוא הכי מבוגר, הוא שמח

(שאלות נוספות יוספו בקרוב)