88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 3

יחסי סדר

הגדרה: יחס R על A נקרא אנטי-סימטרי אם מתקיים [math]\displaystyle{ \forall x,y\in A:[(x,y)\in R]\and[(y,x)\in R] \rightarrow (x=y) }[/math]

כלומר, אם [math]\displaystyle{ x\neq y }[/math] אז לא יכול להיות שמתקיים היחס בין x לבין y וגם היחס בין y לx.

הגדרה: יחס R על A נקרא יחס סדר חלקי אם R רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי

דוגמאות ליחסי סדר חלקי:

הגדרה: דיאגרמת הסה Hassse

הגדרות. יהיו A קבוצה וR יחס סדר חלקי על הקבוצה:

איבר [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] נקרא מינמלי ביחס לR אם [math]\displaystyle{ \forall y\in A:(y,x)\in R \rightarrow y=x }[/math]. כלומר, אין איבר 'קטן' מx. לא חייב להתקיים ש-x ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
איבר [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] נקרא מקסימלי ביחס לR אם [math]\displaystyle{ \forall y\in A:(x,y)\in R \rightarrow y=x }[/math]. כלומר, אין איבר 'גדול' מx. לא חייב להתקיים ש-x ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
איבר [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] נקרא מינימום ביחס לR אם [math]\displaystyle{ \forall y\in A:(x,y)\in R }[/math]. כלומר, x 'קטן' מכל האיברים. x חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. (דוגמא: הקבוצה הריקה תחת יחס הכלה)
איבר [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] נקרא מקסימום ביחס לR אם [math]\displaystyle{ \forall y\in A:(y,x)\in R }[/math]. כלומר, x 'גדול' מכל האיברים. x חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. (דוגמא: הקבוצה B תחת יחס ההכלה על קבוצת החזקה של B)

הערה: קל להוכיח מתוך תכונת האנטי-סימטריות שאם קיים איבר מינימום הוא יחיד (למרות שהוא לא חייב להיות קיים), ונכון הדבר לגבי המקסימום.

הגדרה: יהי R יחס על A, אזי היחס ההופכי מוגדר להיות [math]\displaystyle{ R^{-1}=\{(y,x)|(x,y)\in R\} }[/math]

תרגיל.

הוכח שאם R יחס סדר חלקי, גם ההופכי שלו יחס סדר חלקי

פתרון.

רפלקסיביות: לכל איבר a מתקיים [math]\displaystyle{ (a,a)\in R }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ (a,a)\in R^{-1} }[/math]
טרנזיטיביות: נניח [math]\displaystyle{ (x,y),(y,z)\in R^{-1} }[/math] לכן מתקיים [math]\displaystyle{ (y,x),(z,y)\in R }[/math] לכן לפי הטרנזיטיביות של R מתקיים [math]\displaystyle{ (z,x)\in R }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ (x,z)\in R^{-1} }[/math].
אנטי-סימטריות: אם x ביחס לy וגם y ביחס לx הדבר נכון באופן זהה לR ולהופכי שלו, ולכן x=y.