משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/24.5.11
מתוך Math-Wiki
תוכן עניינים
טורי חזקות (המשך)
משפט 2
יהי טור חזקות שרדיוס ההתכנסות שלו הוא R. אם קיים במובן הרחב אז .
הוכחה
יהי x כרצוננו ונוכיח שאם אז הטור מתכנס בהחלט, ואם אז הוא מתבדר. נסמן את איברי הטור כ- ולכן אם אזי ואם אזי . ממבחן המנה של דאלמבר נסיק שהטור מתכנס בהחלט אם (ולכן ) ואינו מתכנס בהחלט אם (ולכן ). מכאן ש-.
דוגמאות
בתרגילים הבאים נמצא את רדיוס ההתכנסות R של הטור הנתון.
- . אם קיים הגבול הבא אז הוא שווה לרדיוס ההתכנסות:
- . דרך ראשונה: נעשה זאת לפי מבחן המנה: , אבל קיבלנו תוצאה שגויה - זה לא רדיוס ההתכנסות כי חישבנו במקום . עם זאת, נשים לב שאם נציב אז חישבנו את רדיוס ההתכנסות של . מכאן שהטור מתכנס כאשר , כלומר כאשר , ולכן הוא . דרך שנייה: נחשב בעזרת מבחן השורש: . גם כאן יש מכשול כי ואילו . לגבי האינדקסים האי-זוגיים ולגבי הזוגיים . לכן ולפיכך .
- . לפי מבחן המנה: . מכאן שהטור מתכנס רק עבור .
- דוגמה כללית של טור חזקות ניתנת ע"י טור טיילור. נניח ש-f מוגדרת וגזירה פעמים בסביבת . לכל ניתן לכתוב , ולכן . אם עבור x מסויים אזי , וטור זה יקרא "טור טיילור של f סביב ". עבור הטור יקרא "טור מקלורן של f", וכבר ראינו דוגמה לטור כזה: , שרדיוס ההתכנסות שלו הוא : .
דוגמאות נוספות
- נקח ו-. נחשב טור טיילור (בפרט, טור מקלורן) ונקבל , בתנאי ש-. נוכיח שזה אכן מתקיים: לכל , כאשר c בין 0 ל-x. אבל ידוע ש- ולכן . עתה יהי מסויים וניצור סדרה כך ש-. נותר להוכיח ש-, ולכן מספיק להוכיח ש- מתכנס. נעשה זאת באמצעות מבחן המנה של דאלמבר: .
- נגדיר ונוכיח ש-f גזירה פעמים ב- וש-.
טענה 1: אם פונקציה רציונלית אזי . הוכחה: קיים כך ש- עבור פולינום r שמקיים . לפיכך, עבור , , ואחרי הפעלת כלל לופיטל פעמים נקבל 0.
טענה 2: לכל ולכל מתקיים עבור פונקציה רציונלית כלשהי כך ש-. הוכחה: נוכיח באינדוקציה. עבור : וכן , ולפי טענה 1 זה שווה ל-0. עתה נוכיח עבור : . כמו כן , ולפי טענה 1 זה שווה 0. נובע מכך שטור מקלורן של f הוא , שלא שווה ל- לכל x מלבד 0.
משפט 3
יהי טור חזקות בעל רדיוס התכנסות . אזי:
- בקטע מוגדרת פונקציה גבולית רציפה .
- בקטע זה הפונקציה הגבולית גזירה ומתקיים . לטור הגזור יש אותו רדיוס התכנסות R.
- עבור מתקיים , וגם לטור הזה רדיוס התכנסות R.
הוכחה
- יהי כרצונינו ונבחר r המקיים . לפי משפט 1, סעיף 3, הטור מתכנס במ"ש ב-. כמו כן, טור חזקות הוא סכום של פונקציות רציפות, ולכן f רציפה בקטע ובפרט בנקודה x.
- הוכחנו בעבר כי ניתן לגזור טור איבר-איבר אם הוא מתכנס בנקודה אחת ואם הטור הגזור מתכנס במ"ש. התכנסות הטור נתונה בקטע והטור הגזור הוא , לכן צריך רק להוכיח שהטור הגזור מתכנס במ"ש. תחילה נקבע את רדיוס ההתכנסות שלו: נסמן ב-S את רדיוס ההתכנסות של הטור הגזור ולכן , כלומר . נובע (לפי סעיף 1) שהטור הגזור מתכנס במ"ש ב- ולכן מתקיימים התנאים כדי להוכיח שהגזירה הנ"ל אכן היתה מוצדקת.
את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:
- נבחר x מסויים בקטע ונסמן . עפ"י משפט 1, סעיף 3, ידוע שהטור שלנו מתכנס במ"ש בקטע בין ל-x ולכן (לפי משפט 9 בפרק הקודם) מותר לבצע אינטגרציה איבר-איבר בקטע זה. כעת ולכן נותר למצוא רדיוס התכנסות. במילא נגזרת הטור החדש היא הטור המקורי, ולכן (מסעיף 2) יש להם אותו רדיוס התכנסות.