פתרון 2(אלעד איטח)

נעבוד בדיוק באותה שיטת עבודה שבה השתמשתי בפתרון הקודם שלי: נמצא את הפולינום האופייני של המטריצה: [math]\displaystyle{ P(x)=\left | xI-A \right |=\left | \begin{pmatrix} x-5 & -2 & -1\\ 0 & x-5 & 2\\ 0 & 0 & x-5 \end{pmatrix} \right |=(x-5)^{3} }[/math] לכן x=5 הוא הע"ע היחיד של A.

לפי משפט קיילי-המילטון: [math]\displaystyle{ P(A)=(A-5I)^{3}=0 }[/math] לכן המטריצה A-5I היא נילפוטנטית. אחרי חישובים נקבל ש- [math]\displaystyle{ (A-5I)^{3}=0 }[/math] אבל [math]\displaystyle{ (A-5I)^{2}\neq 0 }[/math] לכן המטריצה A-5I היא מטריצה נילפוטנטית מאינדקס 3. לפי משפט ז'ורדן עבור מטריצות נילפוטנטיות, קיימת ל-A-5I צורת ז'ורדן, שבה הבלוק הגדול ביותר (והיחיד) הוא בלוק ז'ורדן של ע"ע 0 מסדר 3. לפיכך, קיימת מטריצה הפיכה P כך ש- [math]\displaystyle{ P^{-1}(A-5I)P=J=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}= P^{-1}AP-5I }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ P^{-1}AP=5I+J=\begin{pmatrix} 5 & 1 &0 \\ 0 & 5 &1 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}=G }[/math]

כלומר, קיימת מטריצה P הפיכה כך ש- [math]\displaystyle{ P^{-1}AP=G }[/math] ו-G היא בלוק ז'ורדן בעל ע"ע 5 מסדר 3. לסיכום, G הנ"ל היא צורת הז'ורדן של A המקורית.