88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/5
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־13:06, 15 בפברואר 2017 מאת יהודה שמחה (שיחה | תרומות)
- יהיו טורים חיוביים כך ש- .
הוכיחו כי אם מתכנס אזי גם מתכנס
- הוכחה.
אנו רואים מהנתון שקצב הגדילה של הטור גדול מזה של , ואנו יודעים שכפל על-ידי קבוע שונה מ-0 אינו משנה את התכנסות הטור. לכן נכפול בקבוע כך שהטורים יתחילו שניהם באבר ששוה ל-1, ונקבל שהטור גדול מהטור :
- מתכנס.
צריך להוכיח כי
- מתכנס.
אבל קל להוכיח באינדוקציה כי
אכן,
(את הנחת האינדוקציה קיבלנו בזכות הכפל בקבוע, שכן )
ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון אנו מקבלים את שרצינו.