פתרון אינפי 1, תש"נ

(המבחן )

שאלה 2

נגדיר פונקציה [math]\displaystyle{ h }[/math] על-ידי [math]\displaystyle{ \forall x \in [0,2]: h(x)=x\cdot f(x) }[/math] . [math]\displaystyle{ h }[/math] רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונקציות רציפות.

[math]\displaystyle{ h(2)=2f(2)=2\cdot 1=2 }[/math] ואילו [math]\displaystyle{ h(0)=0f(0)=0 }[/math] ולכן לפי משפט ערך הביניים [math]\displaystyle{ \exists x_0 \in [0,2]:h(x)=1 }[/math].

בנקודה זו מתקיים הדרוש - [math]\displaystyle{ h(x)=x_0\cdot f(x_0)=1\to f(x_0)=\frac1{x_0} }[/math] . מש"ל.

שאלה 3

א) משפט טיילור - תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה מוגדרת וגזירה [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] פעמים בסביבה [math]\displaystyle{ S }[/math] של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] . אז [math]\displaystyle{ \forall x \in S: f(x)=P_n(x)+R_n(x) }[/math] , כאשר [math]\displaystyle{ P_n(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k }[/math].

ב)תהי [math]\displaystyle{ f(x)=x^3-4x^2+2x }[/math]. אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:

נחשב נגזרות - [math]\displaystyle{ f'(x)=(x^3-4x^2+2x)'=3x^2-8x+2 }[/math]

[math]\displaystyle{ f''(x)=(3x^2-8x+2)'=6x-8 }[/math]

[math]\displaystyle{ f^{(3)}(x)=(6x-8)'=6 }[/math]

[math]\displaystyle{ f^{(4)}(x)=f^{(5)}(x)=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ P_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(2)}{k!}(x-2)^k=f(2)+f'(2)(x-2)+\frac{f''(2)}{2}(x-2)^2+\frac{f'''(2)}{6}(x-2)^3+0+0= }[/math]

[math]\displaystyle{ =2^3-4\cdot 4+4+(3\cdot 4-8\cdot 2+2)(x-2)+\frac{(12-8)}{2}(x-2)^2+\frac66(x-2)^3 }[/math]

[math]\displaystyle{ P_5(x)=-4-2(x-2)+2(x-2)^2+(x-2)^3 }[/math] ,

ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו.

מתקיים [math]\displaystyle{ R_{n+1}(x)=f(x)-P_n(x) }[/math] ולכן השארית היא [math]\displaystyle{ 0 }[/math] , כצפוי.

שאלה 4

הפונקציה בכל מחזור [math]\displaystyle{ \pi }[/math] תעלה בדיוק ב- [math]\displaystyle{ \pi }[/math] , ולכן הפונקציה היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב[math]\displaystyle{ \pi }[/math] בכל פעם של קטע בודד באורך [math]\displaystyle{ \pi }[/math] שלה. (ראו הגרף)

נימוק פורמלי: [math]\displaystyle{ f(x+\pi)=x+\pi+\sin(2x+2\pi)=x+\sin(2x)+\pi=f(x)+\pi }[/math] .

גם ברור שהיא רציפה כסכום והרכבת רציפות.

נגזור: [math]\displaystyle{ f'(x)=1+2\cos(2x)=0\iff \cos(2x)=-\frac12 }[/math]

[math]\displaystyle{ \iff 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k \ \vee 2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k \iff x=\frac{\pi}{3}+\pi k \vee x=-\frac{\pi}{3}+\pi k \ (k\in\N) }[/math]

זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנקודות הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השניה לבדיקת סוג קיצון וכו'.

גרף באדיבות וולפראם: קובץ:X+sin2x.pdf

שאלה 5

א) סדרה ממשית [math]\displaystyle{ \{a_n\}^\infty }[/math] תקרא סדרת קושי אם("ם): [math]\displaystyle{ \forall \epsilon\gt 0\ ,\ \exists N\in\N\ ,\ \forall m,n\in\N :(m\gt N \wedge n\gt N \to |a_m-a_n|\lt \epsilon) }[/math]

ב) ניקח את הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] שהאיבר ה- [math]\displaystyle{ n }[/math]-י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה- [math]\displaystyle{ n }[/math] של [math]\displaystyle{ \pi }[/math] (יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא-רציונאלי). היא של רציונאליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל [math]\displaystyle{ \pi }[/math], אם להאמין לספרים, אינו רציונאלי.

ג) נשים לב שהטור [math]\displaystyle{ \sum (a_{n+1} - a_n) = (-1)^n(\frac1{2^n} + \frac1{2^n\cdot n!}) }[/math]

שאלה 6

השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):

המהירות היא [math]\displaystyle{ v(t)=4-t^2 }[/math] ולכן האינטגרל הוא [math]\displaystyle{ x(t)=\int (4-t^2) dt=4t-\frac{t^3}{3}+C }[/math], ועם תנאי ההתחלה [math]\displaystyle{ x(0)=0 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ C=0 }[/math] .

לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של [math]\displaystyle{ x(t)=4t-\frac{t^3}{3} }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ [0,3] }[/math] .

הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה [math]\displaystyle{ t=2 }[/math] . לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונקציה מקבלת בנקודות 2,0,3. [math]\displaystyle{ x(2)=8-\frac83=5 \frac13 }[/math] , [math]\displaystyle{ x(0)=0 }[/math] , [math]\displaystyle{ x(3)=12-9=3 }[/math] ולכן ההעתק המקסימלי הוא [math]\displaystyle{ 5 \frac13 }[/math].