הערה: השיעור החל בחזרה על כמה מהמושגים הבסיסיים באלגברה לינארית: מרחב לינארי, צירוף לינארי, תלות וקטורים, בסיס, מרחבים לינאריים של פונקציות (כגון ), מכפלה פנימית (כגון
ב־
), נורמה, אי־שיוויון קושי־שוורץ (Cauchy-Schwarz) (
), מרחבי הסדרות
עם
ואורתוגונליות. חזרה זו אינה מופיעה כאן במלואה, אך נפרט את הנושאים הקשים לזכירה והחדשים:
אי־שיוויון הולדר (Holder)
אם כאשר
(כלומר,
צמודים) אזי
.
הוכחה
נעזר באי־שיוויון יונג (Jung): . נבחר עבור
כרצוננו
, ונסכום לכל
:
. נכפול ב־
ונקבל את הדרוש.
קירוב לווקטור
נניח ש־ מרחב לינארי,
תת־מרחב ו־
. נרצה להראות שקיים וקטור יחיד
שהוא קירוב ל־
ב־
, כלומר שעבורו
.
מובן של מציאת קירוב
הקירוב הטוב ביותר ל־ ב־
הוא
.
טענת עזר
יהי מרחב מכפלה פנימית, ותהי
קבוצה אורתונורמלית ב־
. אם
אזי
.
הוכחה
![\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle=\left\langle\sum_{i=1}^n a_i\mathbf e_i,\mathbf e_k\right\rangle=\sum_{i=1}^n a_i\langle\mathbf e_i,\mathbf e_k\rangle=\sum_{i=1}^n a_i\delta_{i,k}=a_k](/images/math/3/c/f/3cfa123d1e5b2b54cbc882b47c325127.png)
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)
את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו:
הוכחה
הגדרה: נקרא "מקדם פורייה".
צריך להוכיח ש־. אזי יהי
ונסמן
. לכן
![]() |
![]() |
![]() |
||||
![]() |
![]() |
|||||
![]() |
![]() |
|||||
מתקיים![]() |
![]() |
![]() |
||||
המקרה המינימלי הוא כאשר ![]() |
![]() |
![]() |
מכאן ש־ מינימלי כאשר
.
התוצאה נותנת לנו גם את אי־שיוויון בסל:
.
הכללה
בהינתן בסיס אורתוגונלי של
(שאינו בהכרח אורתונורמלי) ניתן להכליל את הנוסחה הנ״ל ל־
.
הוכחה
![S](/images/math/5/d/b/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png)
![\left\{\frac{\mathbf b_1}{\|\mathbf b_1\|},\dots,\frac{\mathbf b_n}{\|\mathbf b_n\|}\right\}](/images/math/7/4/f/74f627bbe79c6fb597d796941a743f84.png)
![\sum_{k=1}^n\frac{\langle\mathbf u,\mathbf b_k\rangle}{\langle\mathbf b_k,\mathbf b_k\rangle}\mathbf b_k=\sum_{k=1}^n\frac{\overline{\|\mathbf b_k\|}\left\langle\mathbf u,\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}\right\rangle}{\|\mathbf b_k\|^2}\|\mathbf b_k\|\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}=\sum_{k=1}^n\left\langle\mathbf u,\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}\right\rangle\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}=\tilde\mathbf u](/images/math/8/1/4/814aee6e2934752352368140b890f668.png)
תרגיל
נתבונן בממ״פ של פונקציות רציפות בקטע . נגדיר מ״פ באופן הבא:
. מצאו קירוב ל־
בתת־מרחב הנפרש ע״י המערכת האורתונורמלית
.
פתרון
מתקיים:![\begin{align}&\langle f,\mathbf e_1\rangle=\int\limits_{-1}^1\frac{x^3}\sqrt2\mathrm dx=0\\&\langle f,\mathbf e_2\rangle=\int\limits_{-1}^1\sqrt\frac32x^3\mathrm dx=\frac\sqrt65\\\implies&\tilde f(x)=0\cdot\mathbf e_1+\frac\sqrt65\mathbf e_2=\frac\sqrt65\sqrt\frac32x=\frac35x\end{align}](/images/math/c/3/1/c3176d30b100e49112241fb93014163b.png)
ולפיכך מינימלי בקטע.