משתמש:איתמר שטיין
פתרון הבוחן:
שאלה 1:
נתון כי [math]\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1 & a &b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} }[/math]. ו [math]\displaystyle{ B = \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ d & 2 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix} }[/math].
צריך למצוא מטריצות אלמנטריות [math]\displaystyle{ E_1 , E_2 ,\ldots , E_k }[/math]. כך ש [math]\displaystyle{ E_1 \cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A =B }[/math].
מדרגים את מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] למטריצה [math]\displaystyle{ B }[/math].
[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & a &b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \overset{R_2 = R_2 - cR_3} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & a &b \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \overset{R_1 = R_1 - bR_3} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & a &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \overset{R_1 = R_1 - aR_2} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \overset{R_3 = 3R_3} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \overset{R_3 = R_3 + eR_1} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ e & 0 & 3 \end{bmatrix} }[/math]
[math]\displaystyle{
\overset{R_3 = R_3 + fR_2} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix}
\overset{R_2 = 2R_2} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 2 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix}
\overset{R_2 = R_2 + dR_1} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ d & 2 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix}
}[/math]
לכן מטריצות אלמנטריות מתאימות הן [math]\displaystyle{ E_8=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} E_7=\begin{bmatrix} 1 & 0 &-b \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} E_6=\begin{bmatrix} 1 & -a &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} E_5=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} E_4=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ e & 0 & 1 \end{bmatrix} E_3=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & f & 1 \end{bmatrix} E_2=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} E_1=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ d & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} }[/math]
ומתקיים [math]\displaystyle{ E_1 \cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_8 A=B }[/math].
(זאת לא התשובה היחידה הנכונה, אבל זאת אחת הפשוטות)
שאלה 2:
נתונה מערכת המיוצגת על ידי המטריצה
[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & a_1 & a_2 & 0 & a_3 & | & 0 \\ a_4 & 0 & a_5 & 2 & a_6 & | & 0 \\ a_7 & 0 & a_8 & 0 & a_9 & | & 0
\end{bmatrix} }[/math]
סעיף א) אם המטריצה מדורגת זה אומר ש [math]\displaystyle{ a_4 = a_7 = 0 }[/math] כי שתיהם נמצאים מתחת לאיבר מוביל של השורה הראשונה.
בנוסף אפשר לראות ש [math]\displaystyle{ a_8=0 }[/math]. הוכחה: נניח בשלילה ש [math]\displaystyle{ a_8 \neq 0 }[/math].
אם [math]\displaystyle{ a_5 \neq 0 }[/math] הוא נמצא מתחת לאיבר מוביל של השורה השניה.
אם [math]\displaystyle{ a_5 = 0 }[/math] הוא יהיה איבר מוביל משמאל לאיבר המוביל של השורה השניה.
לכן [math]\displaystyle{ a_8=0 }[/math].
לגבי שאר הפרמטרים, כל בחירה שהיא שלהם תשאיר את המטריצה מדורגת ולכן לא ניתן לדעת מהם.
סעיף ב) אם [math]\displaystyle{ A }[/math] מדורגת קנונית אז [math]\displaystyle{ 2 }[/math] לא יכול להיות איבר מוביל של השורה השניה.
לכן, [math]\displaystyle{ a_5 \neq 0 }[/math] כלומר הוא איבר מוביל ולכן [math]\displaystyle{ a_5 = 1 }[/math].
בנוסף [math]\displaystyle{ a_2 = 0 }[/math] כי הוא מעל האיבר המוביל של השורה השניה.
את הפרמטר [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] אי אפשר לקבוע. גם את הפרמטרים [math]\displaystyle{ a_3,a_6,a_9 }[/math] לא ניתן עדיין לקבוע בוודאות. כי יכול להיות ש [math]\displaystyle{ a_9=0 }[/math] ואז [math]\displaystyle{ a_3,a_6 }[/math] יכולים להיות כל מספר שהוא.
ויכול להיות ש [math]\displaystyle{ a_9=1 }[/math] (ואז [math]\displaystyle{ a_3=a_6=0 }[/math]).
סעיף ג) אם נתון שיש שני משתנים חופשיים, אז יש שלושה איברים מובילים ולכן
[math]\displaystyle{ a_9=1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ a_3=a_6=0 }[/math] כי הם מעל איבר מוביל של השורה השלישית.
את [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] עדיין לא ניתן לקבוע.
לכן קיבלנו
[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & a_1 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} }[/math]
סעיף ד) פתרון פשוט של המערכת מוביל ל
[math]\displaystyle{ x_5 = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ x_4 = t }[/math] [math]\displaystyle{ x_3=-2t }[/math] [math]\displaystyle{ x_2 = s }[/math] [math]\displaystyle{ x_1 = -a_1s }[/math]
כלומר
[math]\displaystyle{ (-a_1s,s,-2t,t,0) }[/math].