מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/14
תוכן עניינים
שיטות הוכחה
הוכחה בשלילה
הוכחה בשלילה מבוססת על הטאוטולוגיה . בהוכחה בשלילה אנו מניחים את השלילה של מה שצריך להוכיח ומגיעים לסתירה.
שימו לב שאנו לא שוללים את הנתון אלא את הצ"ל.
דוגמא:
תרגיל תהיינה A,B קבוצות המקיימות . הוכח כי
הוכחה בשלילה:
- נתון:
- צ"ל:
נניח בשלילה כי .
לכן קיים כך ש (או ההפך)
לכן לפי ההגדרה אבל (או ההפך)
לכן
בסתירה.
דוגמא. תהיינה A,B קבוצות כך ש הוכח כי
הכלה דו כיוונית
בשיטה זו אנו מוכיחים שיוויון בין קבוצות. על מנת להוכיח כי מספיק להוכיח כי וגם
דוגמא. תהיינה קבוצות A,B המקיימות . הוכח כי
הוכחה באמצעות הכלה דו כיוונית:
מהנתון ניתן להסיק כי
לכן בפרט וגם
לכן וגם
וביחד לפי הכלה דו-כיוונית
הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים
דוגמא
הוכח כי לכל ממשי חיובי x קיים מספר טבעי n כך ש
הוכחת הכמת לכל:
יהי מספר טבעי חיובי כלשהו x.
צריך למצוא מספר n כך ש
לכן, מספיק למצוא מספר n כך ש
כיוון שאין סוף למספרים הטבעיים, ניתן לבחור מספר n כלשהו הגדול מ.
דוגמא
תהי קבוצה B. הוכח כי קיימת קבוצה A שאינה ריקה כך ש
הוכחת הכמת קיים:
על מנת להוכיח קיום, מספיק למצוא דוגמא אחת. למשל, אם ניקח A=B נקבל את מה שרצינו.
הערה: הוכחת קיום זו נקראת קונסטרוקטיבית כיוון שלא רק שהראנו שקיימת קבוצה בהתאם לנדרש, אלא ממש מצאנו אותה. ישנן הוכחות המוכיחות קיום מבלי למצוא דוגמא מפורשת.