תרגיל 5

5.3.9

הבהרה לגבי חבורת קיילי ([math]\displaystyle{ K }[/math]) - אם תשימו לב, בתרגיל 5.5 יש תרגיל שמבקש להוכיח שזו היא תת-חבורה נורמלית של [math]\displaystyle{ S_4 }[/math]. אתם רשאים להתשתמש בעובדה זו כמשפט. ייתכן שנוכיח אותה בתרגול או ניתן כתרגיל בית בהמשך.

5.3.13

היכנם מתבקשים להראות מצד אחד שהליבה היא תת-חבורה נורמלית, ומצד שני שהיא מקסימלית ביחס להכלה מבין כל תתי-חבורות הנורמליות של [math]\displaystyle{ G }[/math] שמוכלות ב [math]\displaystyle{ H }[/math]. זאת אומרת, לכל תת-חבורה [math]\displaystyle{ N }[/math] נורמלית של [math]\displaystyle{ G }[/math] שמוכלת ב [math]\displaystyle{ H }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ N\leq \cap_{g\in G} g^{-1}Hg }[/math]

שאלה: אתם יכולים לתת דוגמא לאיך האיברים בליבה ניראים? אם יש לנו נגיד [math]\displaystyle{ a,b,c\in G }[/math] אז זה חיתוך של קבוצה שנראית ככה: [math]\displaystyle{ ah_{1}a^{-1} , ah_{2}a^{-1}\dots }[/math] עם קבוצה שנראית ככה: [math]\displaystyle{ bh_1b^{-1} , bh_2b^{-1}\dots }[/math] וכו'.

תשובה: איבר היחידה הוא בליבה. מעבר לזה - אין צורך לדעת לצורך פתרון של השאלה. בסה"כ הבנת את ההגדרה נכון.

"שאלה קטנה נוספת:" אז לא צריך להוכיח שהיא תת חבורה? רק נורמליות ואז להראות מקסימליות?

5.3.11

הכוונה היא לחבורה שנוצרת על ידי הקבוצה [math]\displaystyle{ \{g^2:g\in G \} }[/math]. זאת אומרת אוסך כל המכפלות הסופיות מהצורה [math]\displaystyle{ a^2_{1}\dots a^2_{k}, a_i\in G }[/math]. אין צורך להוכיח זאת בתרגיל, אבל תבדקו עם עצמכם שאתם מבינים מדוע זו חבורה בכלל. עליכם להראות שחבורה זו נורמלית.

5.3.14

לשאלת התלמידים ששאלו איך לפתור את סעיף ג' - הרעיון הוא להשתמש בסעיף א. כיצד הראתם נורמליות של [math]\displaystyle{ G^{n-1} }[/math]?

שימו לב שמדובר ב-n נתון מראש. בנוסף - יש להראות ש [math]\displaystyle{ G^n }[/math] היא תת-חבורה של [math]\displaystyle{ G }[/math]. בסעיף א' ובכל שאר הסעיפים מדובר באותו n שמופיע בנתון.