שיחה:88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעג/תיכוניסטים
הוספת שאלה חדשה
הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).
-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן
אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.
שאלות
תשובה לשאלה של אוהד:
אפשר להניח שפונקציות אלמנטריות הן רציפות (ולכן אפשר "סתם" להציב בהן את הגבולות - כל עוד אין חלוקה באפס ובעיות דומות). כרגע זאת באמת סתם הנחה בלי להבין למה. נראה לזה הצדקה כשנגיע לרציפות - בעוד שבוע שבועיים.
ודרך אגב - אני אשמח אם תשאלו שאלות כאן ולא דרך facebook.--איתמר שטיין 10:41, 30 באוקטובר 2012 (IST)
תרגיל 3 שאלה 1
הפונקציה f מוגדרת מE לממשיים, אבל אם הראשית או כל נקודה על הישר y=0 נמצאים בE אז הפונקציה לא מוגדרת באותן הנקודות.
השאלה היא האם אפשר להניח שהנקודות הנ"ל לא נמצאות בE?
תשובה:כן, זאת הייתה הכוונה. אפשר להניח שב [math]\displaystyle{ E }[/math] אין נקודות עם [math]\displaystyle{ y=0 }[/math].--איתמר שטיין 13:03, 13 בנובמבר 2012 (IST)
תרגיל 3 שאלה 2.
אפשר לקבל הכוונה לא',
h(y) תלויה בערכי הx שאתה מציב בה,זאת אומרת h1(y)=f(x', y) h2(y)=f(x, y) הינן פונקציות שונות כל עוד x' שונה מx
רציתי לפרק את הבעיה לפי הצירים,(להביט ברציפות על x וברציפות על y) וודבר זה מוביל לבעייתיות, שכן בעבור כל x הפונקציה h(y) שונה ויש לדרוש דלתא אחר בהגדרת הגבול.
כמו שאמרנו - אתם צודקים, הייתה טעות בשאלה.--איתמר שטיין 23:48, 18 בנובמבר 2012 (IST)
תרגיל 4 שאלות 4 5
לדעתי יש טעות בשאלה משום שלא נתונות לנו ערכי הנגזרות החלקיות של פונקציה F(שאלה 4) בנוסף בשאלה 5 - האם מדובר על נגזרות חלקיות ?
תשובה: בשאלה 4 אין טעות. (אני חושב שיש אפילו נתון מיותר).
לגבי שאלה 5, כן. [math]\displaystyle{ f_x,f_y }[/math] הן הנגזרות החלקיות לפי [math]\displaystyle{ x,y }[/math] בהתאמה. זה מקובל פעמים רבות לסמן אותם בלי התג של נגזרת.--איתמר שטיין 08:32, 21 בנובמבר 2012 (IST)
עדכון: לגבי שאלה 4. דיברתי עם מיכאל (שהוא גם כתב את השאלה וגם מבין באנליזה הרבה יותר ממני), והוא מסכים שהשאלה במתכונתה הנוכחית לא מספיק ברורה.
במקום [math]\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial u},\quad \frac{\partial z}{\partial v} }[/math]
אתם יכולים להניח שכתוב [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial u},\quad \frac{\partial f}{\partial v} }[/math].
נתקן את הקובץ בקרוב.
(כשכותבים [math]\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial u} }[/math], הכוונה היא הנגזרת במשתנה הראשון של [math]\displaystyle{ z }[/math], כאשר הוא מוגדר כפונקציה של [math]\displaystyle{ u,v }[/math] שזה שווה ל [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial u} }[/math] במקרה שלנו).
דרך אגב למי שרוצה: אם אין לי טעות חישוב, מספיק לדעת את [math]\displaystyle{ \frac{\partial z}{\partial u} }[/math] כדי לחשב את הערך המבוקש בשאלה. --איתמר שטיין 12:20, 21 בנובמבר 2012 (IST)
תרגיל 4 שאלה 4ב
האם למשוואה עם הנגזרות החלקיות שם יש משמעות גיאומטרית יפה (או, האם הפתרונות הן צורות גיאומטריות יפות)? קשה לי לדמיין אותו (גם אחרי המרת המשוואה כדרוש בשאלה)
- אבוי! הייתה לי טעות קטנה, כעת המשמעות של המשוואה מאוד יפה :)
תרגיל 4 שאלה 2 סעיפים א', ב'
בסעיפים אלה הכוונה לנגזרת החלקית לפי x?
תשובה: כן. שאלו על הסימון הזה כמה שאלות קודם.--איתמר שטיין 23:09, 24 בנובמבר 2012 (IST)
פתרונות לתרגילים
אפשר בבקשה לפרסם את הפתרונות לשיעורי הבית?
תשובה: כן, נתחיל השבוע להעלות פתרונות.--איתמר שטיין 23:12, 24 בנובמבר 2012 (IST)
נגזרת מכוונת
ההגדרה הראשונית עם הגבול, תופסת לכל וקטור או רק לוקטור יחידה?
וכנ"ל לגבי המשפט בנוגע למצב בו f דיפרנציאבילית?
תשובה: אני מקווה שהבנתי את השאלה נכון.
אם מסמנים [math]\displaystyle{ D_u(f)(a)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(a+tu)-f(a)}{t} }[/math] כמו שאני סימנתי.
אז הגבול הזה הוא הנגזרת הכיוונית בכיוון [math]\displaystyle{ u }[/math] רק כש [math]\displaystyle{ u }[/math] מנורמל. אם הוא לא מנורמל אז ייתכן שיהיה גבול אבל הוא לא הנגזרת הכיוונית - יהיה צריך לנרמל.
כאשר [math]\displaystyle{ f }[/math] דיפרנציאבילית, מתקיים לכל [math]\displaystyle{ u }[/math] (לאו דווקא מנורמל), כי
[math]\displaystyle{ \nabla f(a) \cdot u=D_u(f)(a) }[/math]
אבל רק כאשר [math]\displaystyle{ u }[/math] מנורמל זאת באמת הנגזרת הכיוונית.--איתמר שטיין 15:36, 30 בנובמבר 2012 (IST)
עוד הערה: גם אם [math]\displaystyle{ u }[/math] לא וקטור יחידה, ברור ש [math]\displaystyle{ D_u(f)(a) }[/math] קיים אם ורק אם הנגזרת הכיוונית בכיוון [math]\displaystyle{ u }[/math] קיימת.
לכן עבור [math]\displaystyle{ f }[/math] דיפרנציאבילית ב [math]\displaystyle{ a }[/math], הביטוי [math]\displaystyle{ D_u(f)(a) }[/math] תמיד מוגדר.--איתמר שטיין 15:39, 30 בנובמבר 2012 (IST)
תרגיל 5 שאלה 7
למה הכוונה ב Ux? --ג.יפית 14:46, 1 בדצמבר 2012 (IST)
תשובה: אני לא רואה איפה יש [math]\displaystyle{ U_x }[/math] בשאלה 7. באופן כללי [math]\displaystyle{ f_x\quad g_{st} }[/math] וכדומה מציינים נגזרות חלקיות.--איתמר שטיין 22:41, 1 בדצמבר 2012 (IST)
מופיע שמה שאלה 7 למטה באמ"ם זה כנראה טעות זה אמור להיות [math]\displaystyle{ f_x }[/math]?
תשובה: אני כנראה עיוור. כן,זה צריך להיות [math]\displaystyle{ f_x }[/math].--איתמר שטיין 14:41, 2 בדצמבר 2012 (IST)
נגזרת מכוונת
היי בתרגול האחרון ניתנה שאלה :נתונה גבעה (z=F(x,y יש מים בנקודה מסויימת , לאיזה כיוון בR3 יפנו המים . לא הבנתי את הפתרון - אפשר הסבר מפורט ? תודה
תשובה: הפתרון הוא [math]\displaystyle{ (-f_x(x_0),-f_y(x_0),-||\nabla(f)(x_0)||^2) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] היא הנקודה המדוברת.
(שימו לב שזה וקטור כיוון, האורך שלו לא מעניין, רק הכיוון).
הסבר:
ראשית נסביר את 2 הקומפוננטות הראשונות: [math]\displaystyle{ -f_x(x_0),-f_y(x_0) }[/math]
היות ו[math]\displaystyle{ \nabla f(a)\cdot u = D_u(f)(a) }[/math] (אנחנו הרי מניחים ש [math]\displaystyle{ f }[/math] דיפרנציאבילית).
אז מתקיים שאם [math]\displaystyle{ ||u|| }[/math] וקטור יחידה אז [math]\displaystyle{ \nabla f(a)\cdot u = \frac{\partial f}{\partial u}(a) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial u}(a) }[/math] מייצג נגזרת כיוונית בכיוון [math]\displaystyle{ u }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math].
לפי אי שוויון קושי שורץ
[math]\displaystyle{ |\frac{\partial f}{\partial u}(a)|=|\nabla f(a)\cdot u|\leq ||\nabla f(a)||||u||=||\nabla f(a)|| }[/math]
לכן [math]\displaystyle{ ||\nabla f(a)|| }[/math] חוסם את ערכי הנגזרת הכיוונית האפשריים.
קל לראות שמתקבל [math]\displaystyle{ max }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ u=\frac{\nabla f(a)}{||\nabla f(a)||} }[/math] ו min כאשר [math]\displaystyle{ u=-\frac{\nabla f(a)}{||\nabla f(a)||} }[/math].
במילים אחרות: נגזרת כיוונית מירבית מתקבלת בכיוון הגרדיאנט ונגזרת כיוונית מזערית מתקבלת בכיוון מינוס הגרדיאנט.
המים ירצו לנוע כמה שיותר מהר למטה - לכיוון שבו השיפוע קטן ביותר = לכיוון שבו הנגזרת הכיוונית קטנה ביותר = לכיוון מינוס הגרדיאנט בנקודה.
זה מסביר את שיעורי ה[math]\displaystyle{ x,y }[/math].
נותר להסביר את שיעור ה [math]\displaystyle{ z }[/math].
הכיוון שאליו הכדור יפנה יהיה וקטור שנמצא על המישור המשיק למשטח בנקודה זו. (לצורך העניין זה נדרש מההגדרה של המושג - כיוון שאליו פונים)
המישור המשיק הוא כל הוקטורים שניצבים לגרדיאנט של [math]\displaystyle{ F(x,y,z)=f(x,y)-z=0 }[/math]
הגרדיאנט הוא [math]\displaystyle{ (f_x,f_y,-1) }[/math]. כדי ש [math]\displaystyle{ (-f_x,-f_y,z) }[/math] יהיה ניצב אליו. צריך ש [math]\displaystyle{ z=-f_x^2-f_y^2=-||\nabla f||^2 }[/math].
מקווה שזה ברור.--איתמר שטיין 23:01, 1 בדצמבר 2012 (IST)
ואם כבר אז אני אכתוב גם כאן מה שכתבתי בעמוד של התרגילים - בשאלה 4א, יש הרבה נקודות שמקיימות את הדרוש - ולכל נקודה שמקיימת את הדרוש יתאים [math]\displaystyle{ a }[/math] אחר. אתם מתבקשים רק למצוא נקודה אחת כזאת. --איתמר שטיין 23:05, 1 בדצמבר 2012 (IST)
לגבי ציונים
היי, רק עכשיו שמתי לב שיש ציונים באתר... הגשתי את תרגיל 1 ולמרות זאת - אין לי ציון בדף התרגילים אודה לבדיקת העניין, לירון עמיחי. (313485567)
(מצטער שאני לא עושה זאת במייל, אבל פשוט הוא לא כתוב בשום מקום )
תשובה: יכול להיות שאתה קיבלת 98 ושכחת לכתוב שם?
שימו לב שיש שלושה תרגילים שלא כתבו עליהם שם. מי שזה שלו שישלח לי מייל. Steinita@walla.com--איתמר שטיין 17:02, 18 בדצמבר 2012 (IST)
תרגיל 8 שאלה 5
האם אנחנו חייבים להשתמש בכופלי לגראנז'? לפחות שיש פתרון הרבה יותר קצר וטריוויאלי?
תשובה: אפשר לפתור איך שרוצים כל עוד הפתרון נכון.--איתמר שטיין 10:21, 23 בדצמבר 2012 (IST)
תרגיל 8 שאלה 5
מהם ה - [math]\displaystyle{ alpha_i }[/math] שם?
מספרים ממשיים כלשהם. (אני מצטער שהתשובות לשאלות הגיעו באיחור - היו אילוצים)--איתמר שטיין 10:23, 23 בדצמבר 2012 (IST)
שאלה 3 סעיף ב'
אפשר לקבל הכוונה? תודה
אובד עצות
רמז: יש כלים שקשורים לדטרמיננטות שלמדתם באלגברה לינארית. נראה לי שהדרך הכי פשוטה לפתור את סעיף ב' היא להשתמש באחד מהם. מקווה שזה עוזר.--איתמר שטיין 12:07, 24 בדצמבר 2012 (IST)
תרגיל 9 שאלה 6
אפשר להשתמש בכך שאיחוד בן מנייה של קבוצות ממידה אפס הוא ממידה אפס?
אגב, בכל שאלה של כופלי לגראנז' יש קיצור דרך
תשובה:
לא חשבתי על זה.
זה לא הוגן להגיד לא. אפשר להשתמש בכל מה שראיתם בהרצאה או בכל דרך שתרצו.
מי שרוצה בכל זאת שיהיה קצת אתגר בשאלה שינסה להוכיח שלכל [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] יש כיסוי סופי.
בקשר לכופלי לגרנז' - בשאלה עם מרחק נקודה ממישור אני מבקש להשתמש בכופלי לגרנז' (אני יודע שיש דרכים אחרות).
בשאר השאלות - איך שאתם רוצים, אני ממליץ כופלי לגרנז' כי בסופו של דבר זה מה שאתם לומדים. --איתמר שטיין 15:49, 1 בינואר 2013 (IST)
איתמר, הזכרת בתרגול שלא ניתן לחשב בדרך אחרת נפח כדור
תוכל לפרט? בכל אופן, אין קשר לבעיות של הילברט...
תשובה: דיברתי על נפח פירמידה, זאת הבעיה השלישית של הילברט (והראשונה שנפתרה)
הצגתי אותה באופן קצת פשטני. בכל מקרה זאת הייתה הערת אגב, אני לא מבין גדול בנושא.--איתמר שטיין 15:53, 17 בינואר 2013 (IST)
שאלה 5ב במבחן
אשמח אם מישהו יעלה לפה את המבחן. בכל אופן, השאלה הייתה כזו: מצא את נפח הגוף החסום ע"י המשטחים הבאים: [math]\displaystyle{ z=x^{2}+y^{2},z=0,x^{2}+y^{2}=x,x^{2}+y^{2}=2x }[/math]
גישה פשוטה שנראית לי נכונה: בוא נגיד ש D הוא התחום הנ"ל. [math]\displaystyle{ \int _D 1 dxdydz = \int _E x^{2}+y^{2} dxdy }[/math]
כאשר E זה השטח שחסום בין המעגלים [math]\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=2x,x^{2}+y^{2}=x }[/math] וזה נובע בקלות ממשפט פרוביני (ה"מורחב").
אותם עיגולים בכתיב קצת שונה הם [math]\displaystyle{ (x-1)^{2}+y^{2} \leq 1, (x-0.5)^{2}+y^{2} \leq 0.25 }[/math]. בואו נגיד ש G זה התחום שהוא העיגול הראשון (הגדול) ו F הוא העיגול הקטן, אז קיבלנו:
[math]\displaystyle{ \int _E x^{2}+y^{2} dxdy = \int _G x^{2}+y^{2} dxdy - \int _F x^{2}+y^{2} dxdy }[/math]
בשביל הפשטות בואו נזיז את העיגולים G,F שיהיו בראשית הצירים ז"א עיגולים ברדיוסים 1,0.5 בהתאמה סביב ראשית הצירים, ונקרא להם 'G',F. אז קיבלנו עכשיו שכל הלמעלה שווה ל
[math]\displaystyle{ \int _{G'} x^{2}+2x+1+y^{2} dxdy - \int _{F'} x^{2}+x+0.25 + y^{2} dxdy }[/math]
אבל עיגול סביב ראשית הצירים הוא סימטרי ביחס לציר x, לכן הביטויים "x" ו "2x" לא רלוונטיים.
[math]\displaystyle{ \int _{G'} x^{2}+1+y^{2} dxdy - \int _{F'} x^{2}+0.25 + y^{2} dxdy }[/math]
עכשיו, מה זה [math]\displaystyle{ x^{2}+y^{2} }[/math] בהצבה פולארית? זה [math]\displaystyle{ r^{2} }[/math]. אז אם באמת נעבור להצגה פולארית בכל אחד מהאינטגרלים יהיה איזה [math]\displaystyle{ r^{3} }[/math] [בגלל ההצבה הוספנו r] וזה אינטגרל שנעשה על r-ים מתאימים ועל זווית מ 0 עד 2pi.
לכן סה"כ קיבלנו (שימו לב שאנחנו יודעים כמה זה שטח של עיגול, אז אינטגרציה של קבוע על מעגל זה קל): [math]\displaystyle{ ( \pi 1 + 2\pi \cdot 0.25 \cdot (1-0)) - ( \pi \cdot 0.25 \cdot 0.25 + 2\pi \cdot 0.25 \cdot (\frac{1}{16}-0)) = \frac{45}{32} \pi }[/math]
האם זו התשובה שיצאה גם לכם? [תבדקו שוב, קל מאוד לטעות במבחן].