משתמש:איתמר שטיין
שאלה 2
דבר ראשון, בשביל בהירות. נסמן
[math]\displaystyle{ u=\frac{x}{x^2+y^2},\quad v= \frac{y}{x^2+y^2} }[/math]
כך שלמעשה ידוע [math]\displaystyle{ f_uu+f_vv = 0 }[/math] וצריך להוכיח [math]\displaystyle{ g_xx+g_yy = 0 }[/math].
נכתוב את הביטויים [math]\displaystyle{ g_xx,g_yy }[/math]
[math]\displaystyle{ g_x=f_uu_x+f_vv_x }[/math]
ולכן
[math]\displaystyle{ g_{xx}= (f_uu_x)_x+(f_vv_x)_x=(f_u)_xu_x+f_uu_{xx}+(f_v)_xv_x+f_vv_{xx} }[/math]
[math]\displaystyle{ =(f_{uu}u_x+f_{uv}v_x)u_x+f_uu_{xx}+(f_{vu}u_x+f_{vv}v_x)v_x+f_vv_{xx} }[/math]
[math]\displaystyle{ = f_{uu}(u_x)^2+f_{uv}u_xv_x+f_uu_{xx}+f_{vu}u_xv_x+f_{vv}(v_x)^2+f_vv_{xx} }[/math]
באופן דומה
[math]\displaystyle{ g_{yy}=f_{uu}(u_y)^2+f_{uv}u_yv_y+f_uu_{yy}+f_{vu}u_yv_y+f_{vv}(v_y)^2+f_vv_{yy} }[/math]
לכן צריך לחשב את
[math]\displaystyle{ f_{uu}(u_x)^2+f_{uv}u_xv_x+f_uu_{xx}+f_{vu}u_xv_x+f_{vv}(v_x)^2+f_vv_{xx}+f_{uu}(u_y)^2+f_{uv}u_yv_y+f_uu_{yy}+f_{vu}u_yv_y+f_{vv}(v_y)^2+f_vv_{yy} }[/math]
נקבץ את הביטוי בצורה הבאה:
[math]\displaystyle{ (f_{uu}(u_x)^2+f_{uu}(u_y)^2+f_{vv}(v_x)^2+f_{vv}(v_y)^2)+(2f_{uv}u_xv_x+2f_{uv}u_yv_y)+(f_uu_{xx}+f_uu_{yy}+f_vv_{xx}+f_vv_{yy}) }[/math]