88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/רימן

למשפט רימאן 2 חלקים:

א.

יהי [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n }[/math] טור מתכנס בהחלט ומתכנס ל- [math]\displaystyle{ S }[/math] , אזי לכל סדרה [math]\displaystyle{ b_n }[/math] הנוצרת משינוי מיקום אברי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] , הטור [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_n }[/math] גם הוא מתכנס בהחלט וגם הוא מתכנס ל- [math]\displaystyle{ S }[/math] .

ב.

יהי [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n }[/math] טור מתכנס בתנאי, אזי לכל [math]\displaystyle{ p\in\R }[/math] ול- [math]\displaystyle{ p=\pm\infty }[/math] קיימת סדרה [math]\displaystyle{ b_n }[/math] הנוצרת משינוי מיקום אברי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] כך שמתקיים: [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_n=p }[/math]

הערה: סדרה [math]\displaystyle{ b_n }[/math] נוצרת משינוי מיקום אברי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אם ורק אם קיים [math]\displaystyle{ \sigma:\N\to\N }[/math] חד-חד-ערכית ועל כך ש- <math>\forall n\in\N:a_{\sigma(n)}=b_n