שיחה:89-113 תשעג סמסטר ב

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלות

דף 1-תרגיל 3

בשיעורי הבית, בתרגיל 3, יש אזהרה די מלחיצה שאומרת "ניקוד חלקי בלבד יינתן לחישוב ארוך מהדרוש" ניסיתי להבין לאיזה שיטה ניסיתם לרמוז לנו להשתמש בהתחלה דרגתי את המטריצה וקיוויתי להגיע לשורת אפסים וכו', אבל ראיתי שאני מתבחבש וחשבתי שזו לא הדרך פתרתי את השאלה ע"י הוספת שתי העמודות הראשונות מימין למטריצה - ואז חישוב סכום האלכסונים הראשיים פחות סכום האלכסונים המשניים (שיטה שראינו בתרגול בסמסטר הקודם , ומותר לעשות אותה כי מדובר במטריצה 3x3). האם שיטה זו נחשבת לחישוב הארוך המיותר, שרמזתם לו?

אשמח להבהרה בנושא

>>תנסה ע"י חיסור רק לבטל איקסים בשתי שורות(או עמודות), להפוך את החישוב לבעל פחות משתנים.

עדי

תרגיל 2

בשאלה 4 האם מספיק לרשום את העתקה שמצאתי או שעליי להוכיח שהיא גם לינארית?

>> לא צריך להוכיח לינאריות, רק למצוא את ההעתקה, כולל דרך מלאה למציאתה. עדי

R2[x]

זו מרחב הפולינומים מהצורה ax^2+bx+c? בבסיס של המרחב הזה יש 3 וקטורים?

תודה וחג שמח

כן. עדי

בהמשך לשאלה הקודמת

אם אני רוצה להוכיח ש

1

1+x

1+x+x^2

מהווה בסיס ל-R2[x], מספיק לי להוכיח שזו קבוצה בת"ל? או שנאי צריך להוכיח גם שהיא פורשת?

תודה

היות ומדובר ב-3 וקטורים מספיק להוכיח בת"ל, ולתת נימוק למה זה מספיק. עדי

שאלה 2 בתרגיל 2

אני רוצה לבדוק ש-T לינארית כאשר C מ"ו מעל C. לשם כך אני צריך לבדוק שמתקיים: T(v1+v2)=T(v1)+T(v2)

וגם

T(alfa*v)=alfaT(v)

יש לי 2 שאלות:

ההבדל בין מ"ו C מעל C לבין מ"ו C מעל R מתבטא בדרישה השנייה בלבד?

כלומר במקרה של "מעל C", alfa יהיה מרוכב ובמקרה של מעל R alfa יהיה ממשי?

כן, ההבדל הוא בסקלרים. הוקטורים, היות ומוגדרים מעל C בשני המיקרים, ישארו מרוכבים. (באופן כללי,הרלוונטיות של "מעל F" היא כבר בהגדרה של המרחב הוקטורי, עוד לפני ההעתקה) עדי

ושאלה שנייה: כשאני בודק אם T(alfa*v)=alfa*T(v) במקרה ששואלים אם T לינארית כאשר C מ"ו מעל C, מה ההבדל בין v לבין alfa? יש הבדל בין סקלר מרוכב לווקטור מרוכב?

במקרה זה אין הבדל, היות והמרחב הוקטורי הוא השדה עצמו, אך זהו מקרה פרטי. וקטור מרוכב גם יכול להגיע מ [math]\displaystyle{ C^n,\ C^{nxn},C_n[x] }[/math] וכו', אז יש הבדל בין השניים. עדי

תודה.

שאלה 1 תרגיל 3

למה V-->F^m העתקה לינארית? (m המימד של V)?

תודה

אני לא מבינה על איזו ה"ל מדובר, אין ה"ל בשאלה זו. עדי

שאלה 1 תרגיל 3

אם אני יודע ש: [math]\displaystyle{ a_1v_1+a_2v_2+....+a_nv_n=0 \lt =\gt a_1[v_1]_B+...+a_n[v_n]_B=0 }[/math],

B בסיס של מ"ו V, אז אני יכול לומר שזה שקול ללהגיד: [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math] בת"ל <=> [math]\displaystyle{ [v_1]_B,...,[v_n]_B }[/math] בת"ל?

אם כן , למה? אם לא, מה חסר לי בשביל להסיק את השורה האחרונה?

תודה!

ראשית, הוספתי כמה תיקונים בניסוח המקורי לפי מה שנראה לי שהיתה כוונתך, מקווה שזה תקין.

שנית, אם אכן לזאת הכוונה בשאלה, התשובה היא: כמעט. חסר לך המעבר מ-[math]\displaystyle{ a_1v_1+a_2v_2+....+a_nv_n=0 }[/math] להיותם של [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math] בת"ל, והוא: [math]\displaystyle{ a_1v_1+a_2v_2+....+a_nv_n=0 }[/math] רק כאשר [math]\displaystyle{ a_i=0\ \forall i }[/math].

כלומר, אם תוכיח ש-

[math]\displaystyle{ (a_1v_1+a_2v_2+....+a_nv_n=0=\gt a_i=0\ \forall i)\lt =\gt ( b_1[v_1]_B+...+b_n[v_n]_B=0=\gt b_i=0\ \forall i) }[/math]

אז תוכל להסיק [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math] בת"ל <=> [math]\displaystyle{ v_1]_B,...,[v_n]_B] }[/math] בת"ל.

לדוגמא עבור אחד הכיוונים: נניח שצירוף לינארי של [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math] מתאפס רק כאשר כל מקדם מתאפס. ניקח [math]\displaystyle{ a_1[v_1]_B+...+a_n[v_n]_B=0 }[/math] ונקווה לגלות ע"ס ההנחה שכל מקדם מתאפס. כנ"ל בכיוון ההפוך.

יתכן שהתכוונת בשורה הראשונה שצירוף לינארי לא טריו' מתאפס אמ"מ... ואז האחד ת"ל אמ"מ השני ת"ל ולכן האחד בת"ל אמ"מ השני בת"ל, אבל חשוב לציין שזה צירוף לא טריויאלי ושזה גורר תלות לינארית ולא אי תלות לינארית.

עדי

שאלה לגבי ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים

למה כאשר מוצאים וקטורים עצמיים עבור ע"ע, יתקבל תמיד מרחב? כלומר למה יש אינסוף וקטורים עצמיים, עבור ערך עצמי מסוים?

תודה מראש.

מכיוון שעבור כל וקטור עצמי v עם ע"ע x וסקלר a:

[math]\displaystyle{ A(av)=a(Av)=a(xv)=x(av) }[/math] ולכן גם av הוא ו"ע של אותו ע"ע.

באופן כללי עבור [math]\displaystyle{ v_1,...,v_k }[/math] ו"ע שהתקבלו עבור ע"ע x וסקלרים [math]\displaystyle{ a_1,...,a_k }[/math]:

[math]\displaystyle{ A(a_1v_1+...+a_kv_k)=a_1Av_1+...+a_kAv_k=a_1xv_1+...+a_kxv_k=x(a_1v_1+...+a_kv_k) }[/math]

ולכן גם [math]\displaystyle{ (a_1v_1+...+a_kv_k) }[/math] (הצירוף הלינארי שלהם) הוא ו"ע של אותו ע"ע.

עדי

ו"ע, ע"ע

אם מצאתי ע"ע כלשהו ואז מצאתי את המרחב העצמי המתאים לו וקבלתי שהמרחב הזה הוא מהצורה [math]\displaystyle{ s(-0.5,1,0)+t(0,0,1) }[/math]

כאשר t,s ממשיים.

האם אני יכול לומר שהמרחב העצמי הזה שקול למרחב העצמי מהצורה s(1,-2,0)+t(0,0,1) כלומר הכפלתי את הוקטור (0.5,1,0-) ב-2-.

האם מותר לי לעשות את זה? אם כן, למה? אני לא צריך להכפיל את שניי הוקטורים ב2-?..שוב, אם כן, למה..

תודה מראש

>>כל מה שנפרש ע"י וקטור בודד הוא מכפלה שלו בסקלר (כלומר "מתיחה וכיווץ" שלו), ולכן כל מה שנפרש ע"י v שקול לחלוטין למה שנפרש ע"י av עבור סקלר מהשדה מעליו מוגדר המרחב.

לכן, מרחב וקטורי הנפרש ע"י n וקטורים, נפרש גם ע"י כל מכפלה שלהם בסקלרים:

[math]\displaystyle{ \{v\in V\}=\{a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n:a_i\in F\ \forall i\}=\{\frac{a_1}{b_1}(b_1v_1)+\frac{a_2}{b_2}(b_2v_2)+...+\frac{a_n}{b_n}(b_nv_n):\frac{a_i}{b_i}\in F\ \forall i\} }[/math]

גם [math]\displaystyle{ \frac{a_i}{b_i} }[/math] הם כל הסקלרים האפשריים ב-F מכיוון ש-F שדה: [math]\displaystyle{ F=\{x:x\in F\}=\{ax:x\in F\}_{a\in F} }[/math].

כלומר המרחב אינו שקול, הוא ממש שווה.

בדוגמא שנתת הצירוף הלינארי [math]\displaystyle{ s(-0.5,1,0)+t(0,0,1) }[/math], עבור כל סקלר s מהשדה, שווה ל- [math]\displaystyle{ -s/2(1,-2,0)+t(0,0,1) }[/math] , עבור כל סקלר [math]\displaystyle{ -s/2 }[/math] מהשדה.

באשר לתפקידם כוקטורים עצמיים, ראה שאלה קודמת.

עדי

שאלה

להגיד שקבוצה היא לא פורשת מינימלית או להגיד שקבוצה היא תלויה לינארית זה טיעונים שקולים? או שבכלל אין קשר בין הטיעונים?

>>כן, אך מצריך נימוק הולם. בכל מקרה ע"מ להימנע מכפל משמעויות יש לומר "פורשת לא מינימלית", שיבינו שהיא"פורשת" אבל "לא מינימלית", ולא "לא פורשת".

עדי

אם U תת-מרחב של V ומתקיים dimU=dimV. האם ניתן להסיק מכך ש-U=V? אם כן, מדוע?

אם U תת-מרחב של V ומתקיים dimU=dimV. האם ניתן להסיק מכך ש-U=V? אם כן, מדוע?

(לא מתרגל): בסיס במרחב U הוא קבוצה בת"ל בV, וידוע כי מס' האיברים בבסיס של U שווה למימד של V. נקבל שזה בסיס לפי השלישי חינם.

תרגיל 5 שאלה 4

כשמבקשים להוכיח ש I-T איזומורפיזם...איך אפשר להחסיר את T מ-I? T זו ה"ל ו-I זו מטריצה..לא הבנתי את השאלה הזו..

>> בהקשר של ה"ל [math]\displaystyle{ I }[/math] היא העתקת הזהות, כלומר [math]\displaystyle{ Id }[/math].

עדי

דמיון מטריצות

אם למטריצות יש פולינום אופייני זהה/דטרמיננטה שווה/עקבה שווה זו הוכחה מספקת לדימיון?

או שהדרך היחידה להוכחה היא למצוא P שמקיימת:

A=P^-1 B P

>>אין זה מעיד על דמיון. מה עם מטריצות בעלות פ"א זהה, האחת לכסינה והשניה לא? למשל

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array} \right) }[/math] ומטריצת הזהות, הן לא יהיו דומות. עדי

תרגיל 5 שאלה 4

T^3(v)=0? זה הנתון?

בין האפס ל-T^3 לא רשום כלום...רק רציתי לוודא

>> כאשר אומרים על פונקציה [math]\displaystyle{ f:X-\gt Y }[/math] שהיא שווה לאפס: f=0 (או אפס זהותית), הכוונה שהפונקציה שולחת כל איבר בתחום לאפס. כלומר [math]\displaystyle{ T^3=0 }[/math] אומר [math]\displaystyle{ T^3(v)=0\ \forall v\in V }[/math]. עדי

שאלה בקשר לסימן v שפרושו "או", לסימן U שפרושו "איחוד"

האמת שהשאלה קצת יותר קשורה לבדידה אבל היא רלוונטית לכל קורס במתמטיקה..

אם A,B קבוצות, אז להגיד AVB זה כמו להגיד AUB? אם כן, למה?

הקשר הבינארי "או" הוא לוגי והוא מבטא פסוק שהוא אמת כאשר לפחות אחד משני מרכיביו הוא אמת. (כלומר הסימון AVB עבור A ו-B קבוצות איננו תקין, כי קבוצה לא יכולה להיות אמת או שקר. למשל הפסוק "הקבוצה ריקה" יכול להיות אמת או שקר, לכן "הקבוצה ריקה או הקבוצה איננה ריקה" הוא בהכרח פסוק אמת כי לפחות אחד ממרכיביו אמת).

הפעולה הבינארית "איחוד" היא מתורת הקבוצות והיא מתארת את צירופן של שתי קבוצות לכדי קבוצה חדשה.

על כן, ניתן לקשר בין שני סימנים אלו ע"י מעבר לשייכות לקבוצות: [math]\displaystyle{ x\in A\bigcup B \lt =\gt x\in A \or x\in B }[/math]

באותו אופן הקשר בין "חיתוך" ל"וגם" הינו: [math]\displaystyle{ x\in A\bigcap B \lt =\gt x\in A \and x\in B }[/math].

עדי

פולינום מינימלי להעתקה לינארית

בתרגיל 7 שאנחנו צריכים להגיש יש למצוא פולינום מינימלי עבור העתקה לינארית , על פי מה שלמדנו אני יודע למצוא פולינום מינימלי עבור מטריצה A מסויימת אבל איך אני אמור למצוא פולינום מינימלי עבור העתקה לינארית? אצ יכולה לתת לי סכמת פיתרון למצבים מבוקשים כאלה <?

>> ככל אנלוגיה שראינו בין מטריצות להעתקות לינאריות, כך גם עבור הפ"א: [math]\displaystyle{ f_T=f_{[T]} }[/math] כאשר [T] היא מט' מייצגת של T (הפ"א לא יהיה תלוי בבחירת הבסיס).

ובאותו אופן הפ"מ יהיה המתוקן המינימלי שמאפס את [T]. עדי

פולינום אופייני ופולינום מינימלי.

למה הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני?

תודה.

>> חלוקת פולינומים ללא שארית נעשית באופן אנאלוגי לחלוקה ללא שארית של מספרים שלמים, נזכיר:

[math]\displaystyle{ \forall a\geq b\ \exists s,r:a=sb+r \and r\lt b }[/math] כלומר ניתן להציג את a ככפולות שלמות של b ועוד שארית קטנה מ-b (אחרת ניתן לקחת s גדול יותר). ואז [math]\displaystyle{ b|a\ \ \lt =\gt \ \ a=sb }[/math], כלומר כשהשארית מתאפסת.

עבור פולינומים:

[math]\displaystyle{ \forall f,g\in F[x]: deg(f)\geq deg(g)\ \exists s,r\in F[x]:f(x)=s(x)g(x)+r(x) \and deg(r)\lt deg(g) }[/math].

ידוע שדרגת הפ"מ קטנה מדרגת הפ"א לכן [math]\displaystyle{ \exists s,r\in F[x]:f_A(x)=s(x)M_A(x)+r(x) \and deg(r)\lt deg(M_A) }[/math].

נציב A, נשתמש במשפט קיילי המילטון ונקבל:

[math]\displaystyle{ f_A(A)=s(A)M_A(A)+r(A)\ =\gt \ 0=s(A)\cdot 0+r(A) }[/math], כלומר, r גם מאפס את A. אבל הפולינום היחיד שמאפס את A אשר דרגתו קטנה מזו של הפ"מ (כנדרש עבור פולינום השארית r) הוא פולינום האפס, לכן [math]\displaystyle{ r=0 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ f_A(x)=s(x)M_A(x) }[/math] כנדרש.

(האמת, שהוכחה זו תקפה לכל פולינום שמאפס את A, לכן ציינו שהמינימלי מחלק כל פולינום כזה. מה שנכון בנוסף לכך לפולינום האופייני הוא שכל גורמיו האי פריקים יהיו במינימלי. למשל הפולינום x מחלק את [math]\displaystyle{ x(x-1) }[/math], אבל אין לו את כל חלקיו האי פריקים. בין הפ"א לפ"מ יש בדיוק את אותם חלקים אי פריקים, החזקות במינימלי עלולות להיות נמוכות יותר. הסיבה לתכונה זו היא ש [math]\displaystyle{ f_A|M_A^n }[/math], אבל זו כבר הוכחה ארוכה יותר).

עדי

פולינום מיניחמלי

בסיכום של תרגול 7 מופיעה דוגמה למטריצה A מסדר 3x3 שכל איבריה הם 0.

הפולינום האופייני שלה הוא lamda^3-

רשום שהפולינום המינימלי הוא lamda.

הסבר: "זהו פולינום מתוקן מדרגה מינימלית ש-A מאפסת".

אני מבין למה הוא מתוקן ולמה הוא מדרגה מינימלית. מה שאני לא מבין זה למה A מאפסת אותו.

>> כי אם תציב A תקבל 0 (A=0). עדי

מימדים

אם U,V מרחבים וקטוריים ו-U מוכל ממש ב-V. האם זה גורר שהמימד של U קטן ממש מהמימד של V? אם כן, מדוע? תודה מראש.

>> כן. וודאי מימד U לא גדול ממימד V. נניח בשלילה שמימדיהם שווים והמימד הוא n. ניקח בסיס ל-U: [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math], אזי זו קבוצה בת n אייברים בת"ל ב-U ולכן זו קבוצה בת n אייברים בת"ל ב-V. היות ומימד V הוא n הרי שזו קב' בת"ל מגודל המימד ולכן בסיס ל-V. ולכן [math]\displaystyle{ U=sp\{v_1,...,v_n\}=V }[/math], סתירה. באותו אופן, אם U מוכל ב-V ומימדיהם שווים U=V. עדי

תרגיל 7 שאלה 2

שלום!

הראיתי שהפולינום האופייני של A הוא x^3-ax^2-bx-c אפשר כיוון לחלק השני של השאלה..? צריך להראות שזה גם הפולינום המינימלי. הפולינום האופייני הוא פולינום מתוקן...צריך לבדוק ש-A מאפסת אותו? זה נראה לי הרבה עבודה..יש דרך יורת אלגנטית? וחוץ מזה, גם אם הראיתי ש-A מאפסת אותו, איך אני יודע שהוא מדרגה מינימלית?

תודה מראש.

>> הפ"מ וודאי לא מדרגה אחת (חשוב ונמק למה), לכן אם לא האופייני הוא יכול להיות רק מדרגה 2. קח פולינום כללי מדרגה 2: [math]\displaystyle{ \alpha x^2+bx+c }[/math] הצב בו את A והראה מדוע לא קיים כזה (כלומר, שפולינום כזה יתאפס רק כאשר כל מקדם הוא אפס). ההצבה די פשוטה, מספיקים לך 3 רכיבים במטריצה כדי לאפס 3 מקדמים. עדי

תרגיל 7 שאלה 3

הפולינום האופייני בטוח יוצא x^2(x-1)^2 ? יוצא לי משהו טיפה שונה..יכול להיות שיש שם טעות?

>> חישבתי עכשיו ויצא לי מה שרשום בתרגיל.

אגב, את שוויון הפ"א לפ"מ קל להראות במקרה זה דרך צורת הג'ורדן, (כלומר דרך הר"ג). ניתן למצוא מאוד בקלות את מרחב האפס של A ו-A-I, ולהסיק משם את החזקות ב-M (שהן גודל הבלוקים המקסימליים). עדי

שתיי שאלות

1.יש משפט בתרגול 7 לפיו אם מטריצות A,B דומות אז הפ"א זהה וגם הפ"מ זהה.

הכוונה שלכל אחת מהן בנפרד יש פ.מ ופ.א זהים? או שלשתיהן יש את אותו פ.א ואותו פ.מ?

>> הכוונה [math]\displaystyle{ f_A=f_B\ and\ M_A=M_B }[/math]

2. בתרגול 7 מופיעה הערה: מטריצה לכסינה <=>הפ.מ מתפרק לגורמים לינאריים שונים.

הטענה נכונה גם אם במקום פ.מ ארשום פ.א?

אם כן, מה הקטע פה? הרי בשביל למצוא פ.מ אני צריך למצוא קודם את הפ.א, אז אם הטענה נכונה עבור הפ.א זה כבר מספיק לי בשביל לדעת אם היא לכסינה.

תודה מראש.

>> המשפטים אומרים:

מטריצה היא לכסינה אמ"מ הפ"א מתפרק לגורמים לינארים (לא בהכרח שונים, למשל [math]\displaystyle{ (x-1)^2 }[/math] יכול להופיע) וגם כל ריבוי אלגברי שווה לריבוי הגיאומטרי המתאים לו.

מטריצה היא לכסינה אמ"מ הפ"מ מתפרק לגורמים לינארים שונים (למשל, הגורם הלינארי ממקודם יהיה בהכרח [math]\displaystyle{ (x-1) }[/math], כלומר אם החזקות של כל גורם פריק בפ"א ירדו ל-1). עדי

שאלה בקשר לתרגול 7 עמוד 3, התרגיל בתחתית העמוד.

לא הבנתי איך הגעת ל- g(x)=x^2-1 ולמה צריך את זה...

ועוד משהו...למה g(A)=0.

תודה מראש

>> מבקשים למצוא פ"א ופ"מ. ראשית ננסה להבין מהנתון איך נראים הפולינומים שמאפסים את A.

נתון A^2=I שזה אומר A^2-I=0, כלומר זה הביטוי שתקבל אם תציב A ב [math]\displaystyle{ g(x)=x^2-1 }[/math]. הפ"מ מחלק כל פולינום שמאפס את A, ובפרט את g. מקווה שכעת יתר הפיתרון ברור. אם לא, מוזמן לשאול.

עדי

צורות ז'ורדן

אם נתון לי בלוק ז'ורדן מסדר k על k, מתקיים פ.א=פ.מ=x-lamda)^k) זה שהפ.א שווה לביטוי הזה, זה מובן לי. איך יודעים שגם הפ.מ שווה לביטוי הזה???

תודה מראש!

' לפי דרגת הנילפוטניות של A-lamdaI. עדי

שאלה כללית

נניח נתון פולינום אופייני ואני רוצה למצוא את הפולינום המינימלי, והראיתי ש-A לא מאפסת אף אחד מהמחלקים של הפולינום האופייני, שוונים מהפולינום האופייני. מדוע אפשר להסיק מכך שהפולינום המינימלי הוא הפולינום האופייני?

אשמח לעזרה.

להגיד "A לכסינה" ולהגיד "A דומה למטריצה אלכסונית" זה אותו דבר?

תודה

תרגיל 7 שאלה 7

בסעיף b, מבקשים למצוא פ"מ של T.

באופן כללי, אם מבקשים ממני למצוא פ"מ/פ"א, הכוונה היא ביחס למטריצה, לא?

כאן נתונה העתקה לינארית T. אין כאן בכלל מטריצה...מה אני צריך לעשות???