88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 7

אריתמטיקה של עוצמות

הגדרה יהיו A,B קבוצות אזי [math]\displaystyle{ A^B:=\{f:B\rightarrow A\} }[/math].

תרגיל. יהיו A,B קבוצות כך ש [math]\displaystyle{ |B|\gt 1 }[/math]. הוכח כי [math]\displaystyle{ |A|\lt |B^A| }[/math].

פתרון. נבחר 2 איברים שונים [math]\displaystyle{ b_0,b_1\in B }[/math] ונגדיר פונקציה חח"ע [math]\displaystyle{ g:A\to B^A }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ g(a)=f_a }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ f_a(a)=b_1 }[/math] ו [math]\displaystyle{ \forall a'\not=a :f_a(a')=b_0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ |A|\leq|B^A| }[/math].

נניח בשלילה שקיים שיוויון אזי קיימת התאמה חח"ע ועל [math]\displaystyle{ g:A\to B^A }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ \forall a\in A:g(a)=f_a }[/math].

נראה באופן דומה לתירגול קודם כי g איננה על ע"י שנמצא פונקציה f שאין לה מקור:

נבחר 2 איברים שונים [math]\displaystyle{ b_0,b_1\in B }[/math]ונגדיר פונקציה באופן הבא [math]\displaystyle{ f:A\rightarrow B }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ f(a)=b_0 }[/math] אם [math]\displaystyle{ f_a(a)=b_1 }[/math]. ו- [math]\displaystyle{ f(a)=b_1 }[/math] אחרת. לפי הבנייה [math]\displaystyle{ \forall a\in A f\not=f_a }[/math] כיוון ש [math]\displaystyle{ f(a)\not=f_a(a) }[/math]. סתירה לכך ש g על.

תרגיל. הוכח שעוצמת קבוצת החזקה של A תמיד גדולה מעוצמתה של A

הוכחה. יש התאמה חח"ע ועל [math]\displaystyle{ g:P(A)\to \{0,1\}^A }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ g(B)=f_B=\chi_B }[/math]

לפי תרגיל קודם [math]\displaystyle{ |A|\lt |\{0,1\}^A|=|p(A)| }[/math]

הערה: (למי שלמד תורת הקבוצות) מסיבה זו אוסף העוצמות אינו קבוצה אלא מחלקה. שכן אם הוא היה קבוצה, הייתה לו עוצמה

הגדרה: יהיו שתי קבוצות זרות A,B כך ש [math]\displaystyle{ |A|=a, |B|=b }[/math]. אזי נגדיר פעולות בין עוצמות:

[math]\displaystyle{ a+b:=|A\cup B| }[/math]
[math]\displaystyle{ a\cdot b := |A\times B| }[/math]
[math]\displaystyle{ a^b := |\{f:B\rightarrow A\}| }[/math]

דוגמא: ראינו בתירגול קודם את הזיהוי [math]\displaystyle{ [0,1)=\{f:\mathbb{N} \to \{0,1,...9\}\} }[/math] לכן [math]\displaystyle{ \aleph=|\mathbb{R}|=|[0,1)|=|\{f:\mathbb{N} \to \{0,1,...9\}\}|=10^{\aleph_0} }[/math]

בהרצאה תוכיחו שהגדרות אלה מוגדרות היטב, כלומר העוצמה נשארת זהה ללא תלות בבחירת הקבוצות המייצגות.

שימו לב: מתוך הגדרה זו קל לראות את חוקי החזקות למקרי הקצה:

[math]\displaystyle{ a^0=1 }[/math] שכן יש פונקציה יחידה מהקבוצה הריקה לכל מקום - היחס שהוא הקבוצה הריקה.
[math]\displaystyle{ 0^0=1 }[/math] זה מקרה פרטי של הסעיף הקודם, ועדיין מתקיים
[math]\displaystyle{ a\neq 0 \rightarrow 0^a=0 }[/math] אין אף פונקציה מקבוצה לא ריקה אל קבוצה ריקה, שכן יחס כזה לא יכול להיות שלם.

תכונות האריתמטיקה

בהנחת אקסיומת הבחירה:

אם a או b מייצגים עוצמה אינסופית אזי [math]\displaystyle{ a+b=max\{a,b\} }[/math]
אם a או b מייצגים עוצמה אינוספית ושניהם אינם אפס אזי [math]\displaystyle{ a\cdot b=max\{a,b\} }[/math]
אם [math]\displaystyle{ 2\leq a }[/math] ו [math]\displaystyle{ 1\leq b }[/math] ולפחות אחת מבינהם הוא אינסופי אזי [math]\displaystyle{ max\{a,2^b\}\leq a^b \leq max\{2^a,2^b\} }[/math]
- מסקנה: אם [math]\displaystyle{ 2\leq a \leq b }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a^b=2^b }[/math]

תרגיל ממבחן תשסח מועד א (ד"ר שי סרוסי וד"ר אלי בגנו)

תהי A קבוצה אינסופית. נסמן [math]\displaystyle{ |A|=a,B=\{X|X\subseteq A\}, C=\{f|f:A\rightarrow P(A)\},F=\{(a,X)|(a\in A) \and (X\subseteq A)\},H=\{f|f:B\rightarrow B\} }[/math]

א. מצא את [math]\displaystyle{ |C| }[/math]

ב. מצא את [math]\displaystyle{ |F\times H| }[/math]

ג. מצא את [math]\displaystyle{ |\{R:|\mathbb{N}/R|=2\}| }[/math] המוכלת באוסף יחסי השקילות על הטבעיים.

פתרון.

תרגיל ממבחן תשע מועד א (ד"ר שי סרוסי וד"ר אפי כהן)

יהי S יחס על [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^\mathbb{R} }[/math] (קבוצת כל הפונקציות הממשיות), המוגדר על ידי [math]\displaystyle{ (f,g)\in S }[/math] אם"ם לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{R} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)-g(x)\in\mathbb{Z} }[/math]

1. הוכיחו שS הינו יחס שקילות

2. תהי [math]\displaystyle{ f\in\mathbb{R}^\mathbb{R} }[/math] מצאו את [math]\displaystyle{ |[f]| }[/math]

3. מצאו את [math]\displaystyle{ |\mathbb{R}^\mathbb{R}/S| }[/math]

פתרון:

1.

רפלקסיביות: [math]\displaystyle{ \forall x\in\mathbb{R} f(x)-f(x)=0\in\mathbb{Z} }[/math]
סימטריות: [math]\displaystyle{ f(x)-g(x)\in\mathbb{Z} }[/math] גורר שגם [math]\displaystyle{ g(x)-f(x)\in\mathbb{Z} }[/math] כי יש נגדי לחיבור
טרנזיטיביות: נובעת בקלות מסגירות לחיבור בשלמים: [math]\displaystyle{ f-h=f-g+g-h }[/math]

2.

נביט במחלקת השקילות של f ונראה שיש העתקה S חח"ע ועל ממנה לאוסף הפונקציות מהממשיים לשלמים.

[math]\displaystyle{ S(g):=f-g }[/math]. לפי ההגדרה, [math]\displaystyle{ f-g\in\{h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{Z}\} }[/math]. נוכיח ש-S חח"ע ועל.

נניח [math]\displaystyle{ S(g)=S(h) }[/math] לכן [math]\displaystyle{ \forall x\in\mathbb{R} f(x)-g(x)=f(x)-h(x) }[/math] ולכן h=g, זה מוכיח חח"ע.

נוכיח על: תהי h פונקציה כלשהי מהממשיים לשלמים, ברור שf-h במחלקת השקילות של f.

אם כך, העוצמה של מחלקת השקילות זהה לעוצמה של אוסף הפונקציות מהממשיים לשלמים והוא [math]\displaystyle{ {\aleph_0}^\aleph }[/math]. לפי התכונות שלמדנו לעיל מתקיים [math]\displaystyle{ 2^\aleph\leq{\aleph_0}^\aleph\leq 2^\aleph }[/math] ולכן לפי קנטור מתקיים [math]\displaystyle{ {\aleph_0}^\aleph=2^\aleph }[/math]

3.

נזכור בסימון [math]\displaystyle{ \lfloor x\rfloor }[/math] שהוא המספר השלם הגדול ביותר הקטן או שווה לx.

נגדיר S פונקציה השולחת את [math]\displaystyle{ f\in\mathbb{R}^\mathbb{R} }[/math] לפונקציה [math]\displaystyle{ S(f):=f-\lfloor f\rfloor\in [0,1)^\mathbb{R} }[/math]. נראה ש-S מוגדרת היטב בהתחשב ביחס השקילות שלנו, ובנוסף שהפונקציה השולחת מחלקת שקילות ל-S של נציג כלשהו של המחלקה הינה חח"ע ועל.

יהיו שתי פונקציות באותה מחלקת שקילות g,f. אזי, [math]\displaystyle{ S(g)-S(f)=g-\lfloor g\rfloor -f + \lfloor f\rfloor }[/math]. מכיוון שזהו הפרש של שני מספרים אי שליליים קטנים מאחד, זה שווה למספר אי שלילי קטן מאחד. מכיוון שההפרש בין f ל-g שלם, המספר הזה הוא שלם. המספר השלם האי שלילי היחיד שקטן מאחד הינו אפס. לכן הפונקציה S מוגדרת היטב שכן היא שולחת נציגים שונים של מחלקת שקילות לאותו מקום.

נניח בשלילה ש-S אינה חח"ע, לכן [math]\displaystyle{ S(f)-S(g)=0 }[/math] עבור נציגים ממחלקות שקילות שונות. אבל אז [math]\displaystyle{ f-g=\lfloor f\rfloor - \lfloor g\rfloor }[/math] ולכן הם נציגים של אותה מחלקת שקילות בסתירה.

ניקח פונקציה כלשהי r מהממשיים לקטע [math]\displaystyle{ [0,1) }[/math]. קל לראות ש [math]\displaystyle{ S[r]=r }[/math] שכן [math]\displaystyle{ \lfloor r \rfloor = 0 }[/math]. לכן S הינה על.

סה"כ קיבלנו שעוצמת קבוצת המנה שווה ל[math]\displaystyle{ \aleph^\aleph }[/math] וזה שווה ל[math]\displaystyle{ 2^\aleph }[/math] לפי התכונות לעיל.

תרגיל ממבחן תשע מועד ב (ד"ר שי סרוסי וד"ר אפי כהן)

א. תהי A קבוצה אינסופית מעוצמה a.

1. נגדיר עבור [math]\displaystyle{ 2\leq n\in\mathbb{N} }[/math] את הקבוצה הבאה: [math]\displaystyle{ Y=\{(X_1,...,X_n):n\in\mathbb{N}\and\Big[\bigcup_i X_i=A\Big] \and \Big[\forall i\neq j: X_i\cap X_j = \emptyset\Big]\} }[/math]. הוכח [math]\displaystyle{ |Y|=2^a }[/math]

2. מצא את [math]\displaystyle{ |\mathbb{N}\times Y|,|\mathbb{N}\cup Y| }[/math] וגם את [math]\displaystyle{ |Y|^{|\mathbb{N}|},|\mathbb{N}|^{|Y|} }[/math]

ב.תהי [math]\displaystyle{ \{A_i\}_{i\in I} }[/math] משפחה של קבוצות הזרות זו לזו. נסמן את עוצמת כל אחת מהן ב[math]\displaystyle{ a_i }[/math] בהתאמה. נגדיר [math]\displaystyle{ \sum_{i\in I} a_i = |\bigcup_{i\in I}A_i| }[/math].

חשב את [math]\displaystyle{ \sum_{n\in\mathbb{N}}\aleph }[/math]

פתרון.

א.

1.

נביט באוסף הפונקציות [math]\displaystyle{ X=\{f:A\rightarrow\mathbb{N}\} }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ g:Y\rightarrow X }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ g(y)(a)=k }[/math] אם [math]\displaystyle{ a\in X_k }[/math] בתוך ה-[math]\displaystyle{ n }[/math]-יה הסדורה y. נוכיח שזו פונקציה מוגדרת היטב וחח"ע.

מוגדרת היטב: מכיוון שהקבוצות זרות ואיחודן שווה לA, האיבר a יופיע בדיוק באחת מהן.

חח"ע: נניח [math]\displaystyle{ y_1\neq y_2 }[/math]. אזי יש איזה שתי תתי קבוצות של A שונות ביניהם, לכן יהיה איזה a באחת מהן שלא בשני שישלח למספר טבעי שונה.

כעת, קל למצוא פונקציה חח"ע מקבוצת החזקה של A ל-Y - נשלח כל תת קבוצה לזוג שמכיל אותה ואת המשלים שלה.

לכן [math]\displaystyle{ 2^{|A|} \leq |Y| \leq |X| = \aleph_0^{|A|} }[/math], ולפי התכונות לעיל שני הקצוות שווים. לכן עוצמת Y הינה [math]\displaystyle{ 2^a }[/math].

2.

[math]\displaystyle{ |\mathbb{N}\cup Y|=\aleph_0+2^a=2^a }[/math]

[math]\displaystyle{ |\mathbb{N}\times Y|=\aleph_0\cdot 2^a=2^a }[/math]

[math]\displaystyle{ |Y|^{|\mathbb{N}|}=(2^a)^{\aleph_0}=2^{a\cdot \aleph_0}=2^a }[/math]

[math]\displaystyle{ |\mathbb{N}|^{|Y|}=(\aleph_0)^{2^a}=2^{2^a} }[/math]

ב.

בעצם אנו רוצים לחשב איחוד בן מנייה של קבוצות מעוצמת [math]\displaystyle{ \aleph }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ A_n }[/math] קיימת פונקציה חח"ע ועל [math]\displaystyle{ g_n:\mathbb{R}\rightarrow A_n }[/math]. לכן סה"כ נבנה פונקציה [math]\displaystyle{ f:\mathbb{N}\times\mathbb{R}\rightarrow\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n }[/math] המוגדרת על ידי [math]\displaystyle{ f(k,x)=g_k(x) }[/math]. מכיוון שהקבוצות זרות ו[math]\displaystyle{ g_k }[/math] חח"ע ברור שf חח"ע. מכיוון ש[math]\displaystyle{ g_k }[/math] על גם f על ולכן סה"כ עוצמת הסכום הינה [math]\displaystyle{ \aleph_0\cdot\aleph=\aleph }[/math]