שיחה:88-113 תשעג סמסטר ב

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלות

הגשת התרגילים

מכיוון שנעשו קיצוצים ועכשיו בודקים לנו רק שאלה מכל תרגיל; האם נקבל הודעה איזו שאלה נבדקת ונגיש רק אותה, או שצריך להגיש את התרגיל במלואו?

>> מגישים את התרגיל במלואו

תרגילים 2+3

ליד תרגיל 2 כתוב "רשות", ליד תרגיל 3 כתוב "לא להגשה". האם זה רלוונטי לשתי הקבוצות? מאחר ובתרגול לא נאמר לנו דבר על כן שתרגיל 2 לא חובה ותרגיל 3 כלל לא צריך להגיש. (נאמר שאת שניהם נגיש לאחר פסח). תודה וחג שמח.

>> זה מידע שגוי שנרשם ע"י גורם שנחסם כרגע, העניין טופל, התרגילים להגשה. עדי

תרגיל 2, שאלה 1ב

אני לא מצליח להבין מה מבקשים ממני בשאלה 1 סעיף ב', אם תוכלי לעזור לי לפרש את ההנחייה אודה לך מאוד

>>הצבת מטריצה A בפולינום אומרת:

בכל מקום שיש משתנה X נציב את A, ובמקום האיבר החופשי [math]\displaystyle{ a }[/math] של הפולינום נשים את המטריצה הסקלרית [math]\displaystyle{ aI }[/math]

(אחרת לא ניתן לחבר בין הגורמים)

עדי

ריבובים ולכסינות

האם זה שריבוב אלג' של כל ע"ע שווה לגיאומטרי, זה תנאי מספיק אבל לא הכרחי ללכסינות?

כלומר האם כדי להראות שמטריצה היא לא לכסינה מספיק להראות ע"ע שהריבוב האלג' שלו לא שווה לגיא' שלו?

>>ראשית, מעט לוגיקה:

מבחינת הגדרות:

מספיק ש-X כדי ש-Y אומר: X גורר Y, או: אם X אז Y.

X הכרחי כדי ש-Y אומר: (לא X) גורר (לא Y), או: אם (לא X) אז (לא Y) שזה שקול ל- Y גורר X.

כלומר, מספיק והכרחי זה "אם ורק אם", אך שים לב שאתה מתאר אותם בהתאם, מספיק זו הגרירה בכיוון הראשון, והכרחי בכיוון השני.

בשאלה הראשונה דרשת "מספיק" (X=>Y), אך בשאלה השניה תיארת "הכרח" (Y=>X) (שתואר ע"י "מספיק" של השלילות (לא X => לא Y)) ולכן ה"כלומר" בין השאלות וודאי אינו נכון.

X => Y אז (לא Y) => (לא X), ולא Y => X או (לא X)=>(לא Y)

חזרה ללינארית, אלו התנאים:

לכסינה => הפ"א מתפרק לגורמים לינארים+הריבובים של כל ע"ע שווים

הפ"א מתפרק לגורמים לינארים+הריבובים של כל ע"ע שווים => לכסינה

כלומר, שיוויון הריבובים הוא הכרחי ללכסינות אך לא מספיק (לכן התשובה לשאלה זו היא לא), צריך גם שהפולנום יהיה מל"ל. למשל [math]\displaystyle{ (x-2)(x^2+1) }[/math] מעל הממשיים. הע"ע היחיד הוא 2 עם ר"א 1 ויתכן כי גם הריבוי הגיאומטרי יהיה 1. אבל הפ"א איננו מל"ל, ולכן המט' אינה לכסינה.

מל"ל כי: נצטרך n ע"ע (כולל ריבויים) ע"מ לקבל מטריצה אלכסונית D, מאותו גודל ודומה למקורית. שיוויון הריבויים כי: נרצה שיהיו n ו"ע, ע"מ שיהיה בסיס ו"ע לבניית המטריצה ההפיכה המלכסנת P.

לכן כדי להראות שמטריצה היא לא לכסינה אכן מספיק להראות ע"ע שהריבוב האלג' שלו לא שווה לגיא' שלו (לכן התשובה לשאלה זו היא כן):

X => Y אז (לא Y) => (לא X). או במקרה שלנו: "לכסינות מספיקה בשביל שוייון ריבויים" ששקול ל- "שיוויון ריבויים הכרחי ללכסינות" ששקול ל- "אי שיוויון ריבויים מספיק בשביל אי לכסינות"

עדי

תרגיל 3 שאלה 1.12

נראה כי השקילות טריוויאלית. הרי בעיקרון מה שיש להוכיח, בהינתן הגדרת ערך עצמי של מטריצה, הוא שערך עצמי של העתקה לינארית מוגדר היטב; כלומר, שכל מטריצה מייצגת שנבחר תיתן לנו את אותם הערכים העצמיים. אבל כאשר הה"ל מוגדרת באמצעות מטריצה מייצגת מסוימת, השקילות ברורה מתוך הגדרה, לא?...

>>השאלה יחסית טריויאלית, לכן שים דגש על פורמליות ההגדרות עבור ה"ל ועבור מטריצות, והראה את המעבר ביניהם ע"ס נתוני השאלה. עדי

פולינום מינימלי

רציתי לשאול בבקשה בקשר לשיעורי בית שיש שם מריצה 5*5 . אז הפולינום האופייני שיצא לי הוא 2^(x-3)^2*(x-1)* (x-2) עבור עע 1 הריבוי 1 עבור עע 2 ו3 הריבוי 2 . אז השאלה שלי נניח המטריצה לכסינה אז הפולינום המינימלי הינו המכפלה לעיל רק שכולם בדרגה אחת ( למדנו בתרגול ) .

כעת אם המטריצה אינה לכסינה - אז בהכרח הפולינום המינילי שווה לפולינום האופייני? האם יש משפט כזה ? או שעלי לבדוק את 2 האופציות הנוספות לפולינום מינימלי שבהן רק ע״ע 2 בריבוי 2 ופעם אחרת שרק ע״ע 3 בריבוי 2 ולבדוק שבהצבת המטריצה נקבל אפס באחד מהם . תודה

>>אם היא לכסינה אז אוטומטית המעלות יורדות ל-1, אם לא יש לבדוק את כל האופציות החל מהמעלה הנמוכה ביותר. עדי

דמיון מטריצות

אם למטריצות יש פולינום אופייני זהה/דטרמיננטה שווה/עקבה שווה זו הוכחה מספקת לדימיון?

או שהדרך היחידה להוכחה היא למצוא P שמקיימת:

A=P^-1 B P

>>אין זה מעיד על דמיון. מה עם מטריצות בעלות פ"א זהה, האחת לכסינה והשניה לא? למשל

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array} \right) }[/math] ומטריצת הזהות, הן לא יהיו דומות. עדי

שילוש

ישבנו מס' תלמידים, ופתרנו את שאלה 1 בתרגיל.. כשכל אחד פתר בעצמו והגענו לתוצאות שונות. האם כשבונים את המטריצה המשלשת , וחסרים לנו ווקטורים לבנייתה , עם אילו ווקטורים נשלים? האם אם הסטנדרטים או שצריך להשלים למטריצה משולשית שמתחת לאלכסון הכול 0 ומעליו הכול 1?

>>זה לא משנה לאיזה בסיס תשלימו, כמובן שהתוצאה, למעט על האלכסון, תהיה תלויה בבחירת הבסיס. האם לכולם יצאה משולשית?

בכל מקרה, הבסיס יכול להשפיע גם על מס' השלבים לבניית המשולשית, בעניין זה אמרתי בכיתה שמנסיון, לא מוכח, השלמה כמה שיותר אלמנטרית הזהה לו"ע שכבר מצאתם תזרז את התהליך. למשל אם יצא ו"ע:

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 2 \end{array} \right) }[/math]

אז אני הייתי משלימה ל-

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 2 \end{array} \right) }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 2 \end{array} \right) }[/math]

אבל כל השלמה, גם אם ביותר שלבים, תשלש

הצורה המשולשית שתהיה לה יחידות היא צורת הג'ורדן, אך לא למדתם את מציאת הבסיס שלה. עדי

בלוק ג'ורדן מקסימלי

ריבוי אלג' בפולינום המינימלי של ע"ע קובע את סדר הבלוק המקסימלי של אותו ע"ע בצורת ז'ורדן של המטריצה. אבל האם בלוק מסדר זה (עבור הע"ע) חייב להכרח להופיע לפחות פעם אחת? (יש כאן קצת בעיה של סמנטיקה לדעתי אם כי באמת מקסימלי אומר בד"כ שהוא חייב להופיע אני רק רוצה להיות בטוח). תודה

>>כן, הוא המקסימלי וחייב להיות לפחות אחד כזה. עדי

פתרון תרגילי בית

אפשר לפרסם פיתרונות לתרגילי הבית בבקשה ???

תרגיל 6, שאלה 4

בשאלה 4 (תרגיל 6 לינארית 2) לא כלכך ברור למה הכוונה - האם J מטריצת ג'ורדן אם שהיא דומה לה? מצאו כמה בלוקי ג'ורדן מכל סדר יש בJ - זה לא מסתדר לי עם זה ש J נתון.

>>זו מטריצת ג'ורדן, לא בהכרח בלוק ג'ורדן

אז הכוונה היא מטריצה מצורת ג'ורדן אני מניח אבל אז לא מסתדר איך היא מתאימה לערך עצמי מסויים

>>זו מטריצה עם ע"ע בודד: למדה, במקרה היא גם מצורת ג'ורדן. צריך להראות איך היא מתפרקת לבלוקים ע"פ הנתונים, 14=1+2+11? =4+4+6? ...

(אגב, שימו לב לרמז מתחת לקישור לתרגיל)

לבוחן ביום שני הקרוב

צריך לדעת למצוא שורשים לפולינומים ממעלה שלישית ויותר? (בחלק משיעורי הבית היו פולינומים כאלו).

לא ספציפית לבוחן, באופן כללי רצוי לדעת טכניקות לפירוק.

ופולינום מינימלי, ומשפט קיילי-המילטון נכללים בחומר לבוחן?

לא.

דף 8, שאלה 4

בסוף השאלה רשום: מצא c1 ו c2.. אבל אין כאלו סקלרים, שמקיימים את זה. אז למה הכוונה?

>> חישבו מה זה אומר שאין סקלרים כאלו?

רשימת משפטים

מה המישפטים שצריך לדעת למבחן?

ראה כאן

תודה

דף 8 שאלה 4

כשניסית למצוא דוגמא לצירוף לינארי עבור וקטור שכן שייך השמשת בוקטור (8,13,32), מאיפה הגיע הוקטור הזה..? תודה רבה!

אקראית. רציתי שתראו איך להעזר בנוסחאות המקדמים של בסיס א"ג (פוסט-גראם שמידט) כדי למצוא מקדמים של הבסיס המקורי (פרה-גראם שמידט). עדי

מטריצת מעבר

שלום!:) עדיין לא ברור לי העניין של מטריצת מעבר בין בסיסים.. איפה אפשר למצוא הסברים על זה? ודוגמאות? תודה מראש..:)

העובדה ש [math]\displaystyle{ B=\{v_1,...,v_n\} }[/math] הוא בסיס סדור למ"ו V אומרת שניתן להציג כל וקטור v במרחב כצירוף לינארי אחד ויחיד [math]\displaystyle{ v=\Sigma a_i v_i }[/math]. כלומר, אוסף הסקלרים [math]\displaystyle{ a_1,...,a_n }[/math] מגדיר את v באופן אחד ויחיד ע"י הבסיס B.

באופן הבסיסי ביותר, תפקידה של מטריצת מעבר הוא לספק עבורינו יצוגם של וקטורים לפי בסיס אחד בהינתן יצוגם לפי בסיס אחר. כלומר, מספיק למצוא את יצוגם של וקטורי בסיס אחד לפי בסיס אחר, כדי למצוא את יצוגו של כל וקטור לפי הבסיס האחר. אז תוכל לבחור לעבוד עם בסיס פשוט ונוח, ולדאוג לייצוג לפי הבסיס הנתון רק עבורו.

[math]\displaystyle{ [I]^B_D[v]_B=[v]_D }[/math]

לדוגמא:

יהיו [math]\displaystyle{ B=\{v_1=(1,1),v_2=(0,1)\},D=\{(1,0),(1,2)\} }[/math] בסיסים ל [math]\displaystyle{ R^2 }[/math].

אזי, מטריצת המעבר מ-B ל-D תהיה:

[math]\displaystyle{ [I]^B_D=\left([v_1]_D\ [v_2]_D\right) }[/math] (ז"א, מונחים כעמודות המטריצה) כאשר

[math]\displaystyle{ [v_1]_D=[\frac{1}{2}(1,0)+\frac{1}{2}(1,2)]_D=(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) }[/math]

ו- [math]\displaystyle{ [v_2]_D=[-\frac{1}{2}(1,0)+\frac{1}{2}(1,2)]_D=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}) }[/math].

המשמעות של זה היא שאם וקטור כללי [math]\displaystyle{ v=(x,y) }[/math] ב [math]\displaystyle{ R^2 }[/math] מיוצג בבסיס B ע"י:

[math]\displaystyle{ [(x,y)]_B=[x(1,1)+(y-x)(0,1)]_B=(x,y-x) }[/math]

אז הוקטור הכללי יהיה מיוצג בבסיס D ע"י:

[math]\displaystyle{ [v]_D=[I]^B_D[v]_B=\left([v_1]_D\ [v_2]_D\right)(x,y-x)^t=(x-\frac{1}{2}y,\frac{1}{2}x) }[/math].

ואכן מתקיים [math]\displaystyle{ (x,y)=(x-\frac{1}{2}y)(1,0)+\frac{1}{2}x(1,2) }[/math].

עבור ה"ל, המטריצה הנ"ל מקיימת [math]\displaystyle{ [T]^A_D=[I]^C_D[T]^B_C[I]^A_B }[/math], כלי שימושי מאוד כאשר מעדיפים למצוא מטריצה מייצגת עבור בסיסים נוחים יותר. באופן כללי ניתן להסתכל על מטריצת מעבר כמקרה פרטי של מטריצה מייצגת עבור T=I העתקת הזהות.

כמו כן מתקיים

[math]\displaystyle{ [T]^B_C[v]_B=[T(v)]_C,([T]^B_C)^{-1}=[T^{-1}]^C_B\ }[/math] ובפרט כאשר T=I, כלומר עבור מטריצות מעבר.

עדי

הבנתי ממש.. תודה רבה רבה!!

תרגיל בית אחרון

בשאלה 3.12 איך מגלים מה איברי המטריצה B?

אמור להיות כתוב בשאלה "בהמשך לתרגיל 3.10..." ולא 3.9. B לקוחה משם

ערך עצמי 0

אפשר בבקשה לקבל הסבר למה אם A הפיכה זה גורר ש-0 הוא לא ע"ע שלה? תודה רבה!

A לא הפיכה<=> [math]\displaystyle{ |A|=0 }[/math] <=> [math]\displaystyle{ |A-0I|=0 }[/math] <=> 0 ע"ע של A.

ולכן A הפיכה <=> [math]\displaystyle{ |A|\ne 0 }[/math] <=> [math]\displaystyle{ |A-0I|\ne 0 }[/math] <=> 0 לא ע"ע של A.

עדי

לכסינות ושלישות

אלו הגרירות:

לכסינות <=> פ"א מל"ל+שיוויון ריבויים <=> פ"מ מל"ל שונים

שלישות <=> פ"א מל"ל

כלומר, בשביל לכסינות נירצה גם מל"ל לפ"א וגם שיוויון ריבויים, זאת ע"מ לקבל גם מספיק ע"ע לבניית D וגם מספיק ו"ע לבניית P.

האחד איננו גורר את השני.

לדוגמא

(i) הפ"א [math]\displaystyle{ (x-1)^2(x+5) }[/math] הוא מל"ל, אך אם ר"ג של הע"ע 1 קטן מ-2 אין לכסינות, היות ולא יהיו מספיק ו"ע כדי לבנות P מלכסנת.

(ii) הפ"א [math]\displaystyle{ (x^2+1)(x-3)^2 }[/math] הוא איננו מל"ל מעל הממשיים. לכן, גם אם יש שיוויון ריבויים עבור הע"ע היחיד-3, לא תהיה לכסינות כי אין מספיק ע"ע (שהם שורשי הפ"א) לבניית האלכסונית D.

שימו לב1, ריבוי כל חלק בפ"מ הוא בין 1 לריבויו בפ"א. לכן, בפרט מתקיים:

פ"א מל"ל שונים => לכסינות, אך לא להיפך.

שימו לב2, מעל המרוכבים כל פולינום הוא מל"ל (המשפט היסודי של האלגברה), לכן מעל C מתקיים שמט'/ה"ל תמיד שלישה ובפרט:

לכסינות <=> שיוויון ריבויים (כלומר, תמיד יהיו מספיק ע"ע, השאלה האם יהיו מספיק ו"ע)

עדי

שאלה על מטריצות מייצגות, מתוך מבחן של צבאן - תשסב, מועד ב

יהי V מ"ו ממימד סופי. יהיו W1, W2 ת"מ של V כך ש V הוא סכום ישר של W1 ו- W2. נגדיר T:V->V כך: T(w1 + w2) = w1, לכל w1 ששייך ל W1, וw2 ששייך ל W2.

א. להראות ש T ה"ל ב. למצוא גרעין ותמונה ג. למצוא ע"ע ומ"ע של T ד. להוכיח ש T לכסינה

איך מוצאים את המטריצה המייצגת של T כדי שנוכל למצוא ע"ע ולהוכיח לכסינות?

העובדה שV הוא סכום ישר של הת"מ אומרת שאם [math]\displaystyle{ \{b_1,...,b_k\} }[/math] בסיס לת"מ הראשון ו-[math]\displaystyle{ \{b_{k+1},...,b_n\} }[/math] בסיס לת"מ השני אז [math]\displaystyle{ B=\{b_1,...,b_k,...,b_n\} }[/math] בסיס ל-V. לכן

[math]\displaystyle{ [T]_B=([T(b_1)]_B\cdots [T(b_k)]_B\ [T(b_{k+1})]_B\cdots [T(b_n)]_B)= }[/math]

[math]\displaystyle{ ([b_1]_B\cdots [b_k]_B\ [0]_B\cdots [0]_B) }[/math]

כאשר

[math]\displaystyle{ [b_i]_B=e_i\ \ \forall i=1,...,k }[/math]

ו- [math]\displaystyle{ [0]_B=0 }[/math].

לכן המטריצה המייצגת היא מטריצת בלוקים אלכסונית: [math]\displaystyle{ I }[/math] מגודל kxk בבלוק השמאלי-עליון ומטריצת ה-0 מגודל n-kxn-k בבלוק הימני-תחתון. זו מטריצה אלכסונית ולכן לכסינה. עדי

תרגיל בית 10 שאלה 3.9

שלום! לא הבנתי למה בפתרונות הגדירו את v להיות סכום של הסקלר ביתא כפול e, ובהמשך הגדירו את e להיות סכום הסקלר אלפא כפול v.. קצת מבלבל מה שניסו לעשות שם.. באופן כללי, e לא אמור להיות וקטור הבסיס הסטנדרטי..? מקווה שהשאלה ברורה... תודה!

"סכום של הסקלר ביתא כפול e" הוא יצוג של וקטור כלשהו v לפי הבסיס S, "סכום הסקלר אלפא כפול [math]\displaystyle{ v_k }[/math]" (לא v) הוא יצוג הבסיס S לפי הבסיס B. עדי

שאלה ממבחן

הגדר מכפלה פנימית כך שהבסיס {x^n, ...,x^2,1} יהיה או"נ.

בדוק את המ"פ הסטנדרטית על וקטורי המקדמים

[math]\displaystyle{ \lt \Sigma a_ix^i,\Sigma b_ix^i\gt =\Sigma a_ib_i }[/math].

עדי

צורת ז'ורדן

שאלה בקשר לצורת ז'ורדן: זה משנה סדר ההצגה? ואם כן, באיזה סדר מציגים? לפי הבלוק הגדול ביותר, לפי הע"ע העצמי הגדול ביותר בערך מוחלט?

פר ערך עצמי- בסדר גודל בלוקים יורד, כאשר כל הבלוקים של אותו ערך ברצף. בין הע"ע אין חשיבות (יש חשיבות כשמדברים על בסיס מג'רדן מונח במטריצה P מג'רדנת, אך לא למדתם את זה).

חשוב! החלפת סדר הערכים העצמיים איננה נחשבת צורה נוספת. כלומר, אם הע"ע הם 1,2,3 אז את כל הצורות האפשריות תציג באותו סדר ע"ע, למשל: כל הבלוקים של 2 אח"כ כל הבלוקים של 1 אח"כ כל הבלוקים של 3, בכל צורות ג'ורדן האפשריות. מה שיבדיל בין הצורות הוא מספר הבלוקים וגודלם, לא הסדר בין הע"ע. עדי

שאלה

לשתי מטריצות 3X3 יש אותו פ"א ו-פ"מ. צריך להוכיח שהן דומות. אם ל-2 מטריצות יש אותה צורת זורדן האם זה אומר שהן דומות?

כן. צורת הג'ורדן של מטריצה היא אחת ויחידה, לא תמיד ניתן מהנתונים לדעת מהי, לכן מציינים את כל האפשרויות, אבל היא יחידה. כמו כן, דמיון מט' הוא יח"ש ולכן אם A~J~B אז A~B. עדי

שאלה מהשיעור חזרה

יש שאלה שפתרנו בהרצאה תהי [math]\displaystyle{ A=(a1,a2,a3.....an) }[/math] וצריך למצוא את הע״ע של [math]\displaystyle{ A^tA }[/math] אז למה כאשר n>1 יש ע״ע שהוא אפס. במחברת שלי כתוב כי המטריצה [math]\displaystyle{ A^tA }[/math] מורכבת מצירוף ליניארי של השורה של A ולכן היא לא הפיכה ולכן יש לה ע״ע אפס .

אבל זה לא כזה מובן שהיא מורכבת מהצירוף הליניארי הזה ...

הסבר נוסף ניתן ע״י ה rank כלומר עם הrank שווה 1 אז יש לה ע״ע אפס , מה ההסבר של הקשר בין השניים ?

ההסבר של הדרגה הוא דיי מידי, אם הדרגה של מטריצה קטנה ממש מהסדר שלה אז היא איננה הפיכה ולכן יש לה ע"ע אפס.

ההסבר לכך אכן עובר דרך ת"ל של שורות המטריצה. במקרה של המטריצה שלנו, השורות תלויות מכיוון ש-

אם [math]\displaystyle{ \forall i\ a_i=0 }[/math] אז A=0 ואז ברור ש-0 ע"ע.

אם [math]\displaystyle{ \ \ \exists i: a_i\ne 0\ }[/math] אז [math]\displaystyle{ \forall j\ R_j=\frac{a_jR_i}{a_i} }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ R_k }[/math] מסמנת את השורה ה-k). עדי

תרגיל 6 שאלה 4

לא כל כך הבנתי את הפיתרון של השאלה.. איך הנתון: rank(j-lamdaI)^2=2 עוזר לנו..? תודה!

עבור מטריצת ג'ורדן J עם a על האלכסון, המטריצה J-aI היא בצורת ג'ורדן עם 0 על האלכסון.

ברור כי בלוק ג'ורדן מגודל n, עם 0 על האלכסון, הוא מדרגה n-1. עם כל חזקה, אלכסון האחדים עולה מיקום למעלה ולכן נותרים n-2 אחדים, כלומר מדרגה n-2.

במטריצת ג'ורדן פועלת החזקה על כל בלוק בנפרד, לכן: [math]\displaystyle{ rank(j-lamdaI)^2=2 }[/math] אומר שאחרי שהעלינו בריבוע נותרו רק שני אחדים. בגלל שהחזקה השלישית היא אפס זה אומר שאלו אחדים בשני בלוקים ניפרדים. לכן הבלוקים בחזקה הראשונה הם לכל היותר מגודל 3 (כלומר לכל היותר שני אחדים בכל בלוק, אשר בחזקה שניה יהפכו לכל היותר לאחד יחיד בכל בלוק, אשר בחזקה שלישית יהפכו לאפס אחדים בכל בלוק=מטריצת האפס). עדי

תזכורת למשפט המימדים

יהי V מ"ו ממימד 12 ויהי W ת"מ ממימד 7 של V.

יהי U מ"ו ממימד 6 , ותהי T:V->U הע"ל. נגדיר ת"מ (T(W מוכל ב U.

[math]\displaystyle{ T(W)=\{T(w):w\in W\} }[/math]

אזי (Wח(dim(ker(T ועוד ((dim(T(w שווה??

למעשה זה פשוט משפט הדרגה עבור T מצומצם על W, כלומר: [math]\displaystyle{ T/W:W-\gt T(W) }[/math]

[math]\displaystyle{ T(W) }[/math] זה [math]\displaystyle{ Im(T/W) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ kerT\bigcap W }[/math] זה [math]\displaystyle{ ker(T/W) }[/math].

לכן הסכום ביניהם הוא מימד W, שהוא 7. עדי

שאלה ממבחן

שאלה 1. א. יהי V מרחב וקטורי ממימד סופי, יו הי T:V→V אופרטור לינארי. הוכח: אם יש בסיס של V כך שהמטריצה של T לפי בסיס זה היא אלכסונית, אז לכל ערך עצמי λ של T, הריבוי האלגברי והריבוי הגאומטרי . שלו שווים

[math]\displaystyle{ \exists B=\{v_1,...,v_n\}:[T]_B=D\ =\gt \ (T(v_1)\cdots T(v_n))=(\lambda_1 v_1\cdots \lambda_nv_n)\ =\gt }[/math]

[math]\displaystyle{ \forall i\ \exists v_i:T(v_i)=\lambda_iv_i }[/math] כלומר, לכל ע"ע קיים מס' תואם של וקטורי בסיס המהווים עבורו ו"ע. עדי

ב. תהי A מטריצה ממשית מגודל 3 x 3 כך ש A אינה הפיכה, ומתקיים לכסינה . A כי הוכח .det(A-2I)=det(A+2I)=0

נסה לסדר את השאלה טוב יותר כך שנבין מה נתון ומה צ"ל.

שאלה ממבחן

יהיו B בסיס אורתונורמלי של מרחב מכפלה פנימית מעל שדה המרוכבים, 'B בסיס אחר, ו C מטריצת המעבר מ-B - ל 'B . הוכח ש 'B אורתונורמלי אם ורק אם C מטריצה אוניטרית.

הראינו את זה באחד התירגולים, חפש שאלה עם "הוכח שהתנאים שקולים", בין התנאים הוכחנו שמט' אוניטרית היא מעבר בין בסיסים א"נ ולהיפך. עדי

מתוך מבחן של צבאן - 2011

יש מט' מסדר n כך שהרכיב בשורה האחרונה בעמודה הראשונה הוא 1. מעל האלכסון הראשי יש אחדות וכל השאר אפסים. שואלים האם המט' לכסינה וא"כ מהי. אני מבין שהפ"א הוא x^n + 1 ולכן לא מל"ל מעל R אבל כן מעל C. איך אפשר להתקדם מכאן?

ראשית [math]\displaystyle{ f_A=x^n+(-1)^n }[/math] (למשל ב-2x2 זה [math]\displaystyle{ x^2-1 }[/math]). כרגע השאלה מי הם השורשים במקרה הזה? עדי

מספר שאלות

1- ראיתי שנאמר באחד השיעורים (או תרגולים, לא זוכרת) שאם A מטריצה ממשית עם פ"א מל"ל אז היא נורמלית אם"ם היא צמודה לעצמה אם"ם היא לכסינה אורתוגונלית. מדוע ולמה?

"דומה לעצמה"? כל מט' היא דומה לעצמה. דמיון הוא יח"ש. תבדקו שוב. בכל מקרה נורמלית ומל"ל אומר שהיא לכסינה- הוכחנו את זה. הראינו שנורמלית ומשולשית=>אלכסונית, וישר אחרי הסקנו נורמלית ושלישה=> לכסינה.

אוקיי, הבנתי למה משולשית ונורמלית היא אלכסונית. ההסקה לגבי נורמלית+שלישה => לכסינה היא ישירה? (כלומר, צריך להראות משהו, או שמספיק לציין את המעבר?)

מה זאת אומרת כל מטריצה צמודה לעצמה? כל מטריצה A מקיימת A*=A?ובכל מקרה- איך הנורמליות נותנת לכסינות?

אההה סליחה! סליחה! עבור מטריצות משתמשים במושג דימיון עבור המושג הכללי של מחלקות צמידות: [math]\displaystyle{ \bar{b}=\{x:\exists a:axa^{-1}=b\} }[/math]. סליחה!!! כמובן שכוונתך לאופרטור צמוד [math]\displaystyle{ A^* }[/math].

[math]\displaystyle{ }[/math] זה נכון מעל R כי אם [math]\displaystyle{ P^*AP=D }[/math] אז [math]\displaystyle{ (P^*AP)^*=P^*A^*P=D^*=D }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ A=PDP^*=A^* }[/math].

לגבי החלק השני של השאלה, כאמור, הוכחנו את זה בתירגול מיד אחרי נורמלית+משולשית=אלכסונית. עדי

לא קרה כלום...(כתבת דומה לעצמה ולא שמתי לב בכלל...) ותודה רבה!

2- האם יש משפט שאומר: אם הפולינום המינימלי מל"ל שונים אז המטריצה לכסינה? (אני שואלת בגלל פתרון שאלה 2 בתרגיל 5)

כן. זה אפילו אמ"מ, המל"ל יעיד על מל"ל בפ"א וה"שונים" יעיד על שוויון ריבויים.

הבנתי, בגלל שהבלוק הכי גדול של כל ע"ע הוא מסדר 1, ואז מספר הבלוקים בצורת ז'ורדן של כל ע"ע שווה למספר ההופעות שלו. מגניב.

3- אם וקטורי בסיס או"נ מוצגים לפי בסיס או"נ אחר, הם עדיין מאונכים זה לזה (ונורמליים). איך מוכיחים?

ע"י מטריצת המעבר והקריטריון לאוניטריות (המשפט עם 4 התנאים השקולים).

את מתכוונת למשפט שבין השאר יש שקילות בין A אוניטרית ל-A מט' מעבר בין בסיסים או"נ, נכון? הוכחנו אותו בתרגול, אבל את ההוכחה של מה ששאלתי השארת לנו לעשות בבית (ולא הצלחתי)...

מה הגרירה שחסרה אוניטרית=>מעבר או מעבר=>אוניטרית?

חסר מעבר=>אוניטרית

האמת שדווקא את הכיוון הזה אני זוכרת שעשיתי, עם ה-I בשני שלבים.אני אתן שני הכיוונים על כל מקרה:

מט' מעבר בין בסיסים א"נ היא אוניטרית:

[math]\displaystyle{ A=[I]^B_C=[I]^S_C[I]^B_S=\gt AA^*=[I]^S_C[I]^B_S([I]^B_S)^*([I]^S_C)^*=[I]^S_CI([I]^S_C)^*=I }[/math]

(כי B ו-C א"נ).

הבנתי. ממש תודה!

מט' אוניטרית היא מט' מעבר בין בסיסים א"נ:

[math]\displaystyle{ AA^*=I }[/math]לכן A הפיכה ולכן היא מעבר בין שני בסיסים: [math]\displaystyle{ A=[I]^B_C }[/math] לכן קיים בסיס D כך ש [math]\displaystyle{ A=[I]^D_S }[/math] (עבור S הבסיס הסטנדרטי), פשוט ניקח את D להיות עמודות A. ונקבל [math]\displaystyle{ I=A^*A=(\overline{[I]^D_S})^{t}[I]^D_S }[/math] ולכן אם נסמן [math]\displaystyle{ D=\{v_1,...,v_n\} }[/math] אז [math]\displaystyle{ \lt v_i,v_j\gt =\delta_{i,j} }[/math]. עדי

4- למה מעל C (שדה המרוכבים) משתמשים במונח "אוניטריות" ומעל R (שדה הממשיים) משתמשים ב"אורתוגונליות"? הרי גם מעל C, עמודותיה של מטריצה אוניטרית הן אורתוגונליות (ולהיפך)...

כי לא מכפילים וקטור בוקטור, אלא וקטור בצמוד.

שילוש/לכסון אוניטרי

האם כל מטריצה (או העתקה) שלישה היא שלישה אוניטרית? וכל מטריצה לכסינה היא גם לכסינה אוניטרית? אם לא, מה מונע מאיתנו לקחת את הבסיס שהשתמשנו בו לשילוש או לכסון ולהפוך אותו לאו"נ בעזרת גראם-שמידט?

התנאי: על המ"ו להיות מצוייד במ"פ. עדי

שאלות ממבחן

היי במבחן המצורף אני לא מצליחה את שאלה 6 ולא בטוחה בקשר להפרכה בשאלה 7...אשמח לעזרה וכיוונים .. תודה :)

מבחן שמצאתי

לגבי 6: גם אני לא רואה קשר למימד וגם לא לממשיים. רק חשוב לציין מדוע האלכסון חיובי. בגדול הדרישה היא אי שליליות-צייני זאת, ואז כפי שרשמת-האפס יורד כי הוא יגרור שיש וקטור אפס בבסיס, מה שלא יכול לקרות. אבל חשוב לציין זאת. אני אנסה לברר עם כותב המבחן את פשר האי זוגיות והממשיות, יכול להיות שהוא רצה לומר משהו על הדטרמיננטה.

לגבי 7: הדוגמא שנתת איננה נגדית היות והם כן מאונכים. בכל מקרה, כשאת נותנת דוגמא נגדית תראי את החישוב לכך שהיא נגדית ובמקרה הזה גם תאמרי ביחס לאיזו מ"פ.

איך נמצא דוגמא? אז שימי לב מה החישוב שלך אומר, את רוצה שהמ"פ בין שני הוקטורים תהיה מרוכבת טהורה. ניקח למשל שני מספרים מרוכבים ביחס למ"פ הסטנדרטית ונראה מה זה אומר (מספיק לך מרחב ממימד אחד, ולא 2, כמו שלקחת. לדוגמא נגדית תמיד תלכי על הכי פשוט):

[math]\displaystyle{ \lt a+ib,c+id\gt =(a+ib)(c-id)=ac+bd+i(bc-ad) }[/math]

כאשר החלק שאנחנו רוצים שיתאפס הוא [math]\displaystyle{ ac+bd }[/math], למשל כאשר [math]\displaystyle{ -a=d }[/math] ו- [math]\displaystyle{ c=b }[/math].

לדוגמא כש-

[math]\displaystyle{ u=1+2i }[/math]

[math]\displaystyle{ v=2-i }[/math]

אכן מתקיים

[math]\displaystyle{ \lt u+v,u+v\gt =\lt 3+i,3+i\gt =9+1=10 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lt u,u\gt +\lt v,v\gt =1+4+4+1=10 }[/math]

אבל (ופה אנחנו משתמשים בהכנה הקטנה שעשינו כדי למצוא את הדוגמא הנגדית)

[math]\displaystyle{ \lt u,v\gt =\lt 1+2i,2-i\gt =(1+2i)(2+i)=2-2+i(1+4)=5i }[/math]

ולכן הם לא מאונכים. עדי

תרגיל חזרה

אני יכולה להגיד בתרגיל 10 שאם הפונקציה שייכת למאפס אז היא הע"ל?

בוודאי. המאפס מוכל בדואלי, המרחב הדואלי הוא אוסף ה"ל שטווחן הוא השדה. עדי

שאלה ממבחן

הי עדי

אני מצרפת לינק של מבחן בלינארית של דר צבאן, רציתי שתתני לי כיוונים להוכחות של השאלה הראשונה לסעיפים א-ד, http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/LA2T71a.pdf

תודה רבה

>>לגבי א, תבדקי בנפרד אייברי אלכסון, ואייברים מחוץ לאלכסון. נזכיר שהאיבר במקום הk,j באדג' A מתקבל ע"י דטרמיננטה של המינור הj,k, כלומר סכום כל התמורות הכוללות את [math]\displaystyle{ a_{j,k} }[/math] אשר נמחק מהתמורה. לכן באייברי האלכסון המכפלה

[math]\displaystyle{ b_{i,i}=\sigma a_{i,k}a'_{k,i}= \sigma a_{i,k}|A_{i,k}|=|A| }[/math]

(כאשר [math]\displaystyle{ a }[/math] הם רכיבי A, רכיבי המכפלה הם [math]\displaystyle{ b }[/math] ו-[math]\displaystyle{ a' }[/math] הם אייברי האדג')

תפתחי את הנוסחאות של אדג' ודט' ותיראי שזה אכן נכון.

מחוץ לאלכסון: במקרה הזה במקום ה-i,j יופיע פיתוח הדטרמיננטה של המטריצה המתקבלת על ידי החלפת השורה ה-i ב-A בשורה ה-j, כאשר פיתוח הדטרמיננטה נעשה לפי השורה ה-i. אם i אינו j, הדטרמיננטה המתקבלת היא של מטריצה בה השורה ה-i מופיעה פעמיים ולכן היא אפס.

לגבי ד, פשוט מאוד פתחי את הנוסחא מ-א עבור אדג' במקום A, כלומר [math]\displaystyle{ adjA\cdot adj(adj(A))=|adjA|I }[/math] וכמו כן הסיקי מ-א' כי ההופכי לA הוא אדג' חלקי דטA וההופכי לאדג' הוא A חלקי דטA. שילוב שלהם יתן לך בדיוק את הנוסחא המבוקשת. עדי