כלל לופיטל

משפט לופיטל

נניח כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^+}g(x)=0 }[/math] ונניח עוד כי [math]\displaystyle{ f,g }[/math] גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a^+}=\frac{f'(x)}{g'(x)}=L }[/math] אז מתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a^+}=\frac{f(x)}{g(x)}=L }[/math]

הוכחה

נוכל לבנות [math]\displaystyle{ \tilde{f},\tilde{g} }[/math] רציפות שמקיימות [math]\displaystyle{ \tilde{f}=\begin{cases} f\left(x\right) & x\neq a\\ 0 & x=a \end{cases} \tilde{g}=\begin{cases} g\left(x\right) & x\neq a\\ 0 & x=a \end{cases} }[/math] הגבול של מנתם בa יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1 לשם נוחות נמשיך לקרוא להם .f,g על פי משפט ערך הביניים של קושי עבור כל x בסביבה הימנית של a שבה f,g מוגדרות נוכל לבחור [math]\displaystyle{ a\lt c(x)\lt x }[/math] שמקיימת [math]\displaystyle{ \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))} }[/math] ולכן נקבל [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a^{+}}\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))}=\lim_{c\to a^{+}}\frac{f'(c)}{g'(c)} }[/math] כרצוי השיוויון האחרון נובע מכך ש [math]\displaystyle{ a\lt c(x)\lt x }[/math] וממשפט הסנדויץ

שימוש בכלל לופיטל

תהיינה שתי פונקציות f,g. ותהי נקודה [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb{R} }[/math] או [math]\displaystyle{ x_0=\pm\infty }[/math] כך ש

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=L }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=M }[/math]

נראה כיצד ניתן להעזר בכלל לופיטל על מנת לחשב גבולות במקרים בהם משפטי האריתמטיקה הרגילים נכשלים.