כלל לופיטל
תוכן עניינים
משפט לופיטל
נניח כי ונניח עוד כי
גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים
אז מתקיים
הוכחה
נוכל לבנות רציפות שמקיימות
הגבול של מנתם בa יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1 לשם נוחות נמשיך לקרוא להם .f,g על פי משפט ערך הביניים של קושי עבור כל x בסביבה הימנית של a שבה f,g מוגדרות נוכל לבחור
שמקיימת
ולכן נקבל
כרצוי השיוויון האחרון נובע מכך ש
וממשפט הסנדויץ
שימוש בכלל לופיטל
תהיינה שתי פונקציות f,g. ותהי נקודה או
כך ש
נראה כיצד ניתן להעזר בכלל לופיטל על מנת לחשב גבולות במקרים בהם משפטי האריתמטיקה הרגילים נכשלים.
מקרה ראשון
או ![\frac{\infty}{\infty}](/images/math/2/6/e/26ea0473a6b118c9e3bad5b0337f78e2.png)
נניח או
אזי אם הגבול קיים, הוא שווה לגבול
דוגמא 1
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
דוגמא 2
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
דוגמא 3
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
מקרה שני ![0\cdot \infty](/images/math/f/d/c/fdcd6954d6263fa2f89e6c9ff214160f.png)
במקרה זה, אנו מעבירים את הביטוי לצורה של שבר מהמקרה הראשון.
דוגמא 4
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נעביר את הביטוי לצורה של שבר (באמצעות כלל האוזן), ונפעיל את כלל לופיטל:
נגזור מונה ומכנה ונקבל
שימו לב: כלל לופיטל לא מוכרח להצליח. למשל במקרה זה, אם היינו מעבירים את הלוגריתם למכנה בתרגיל זה ומפעילים כלל לופיטל, לא היינו מתקדמים. נסו ותהנו.
דוגמא 5
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נעביר את הביטוי לצורה של שבר, ונפעיל את כלל לופיטל:
נגזור מונה ומכנה ונקבל
כעת, אין אנו רוצים לגזור ביטויים מסובכים. אנו יודעים כי , לכן נותר רק לחשב את הגבול
זהו מקרה של , לכן נפעיל כלל לופיטל (פעמיים):
אם נחבר את כל התוצאות יחדיו, נקבל כי