88-133 תשעד סמסטר ב מדמח/מבחן דמה

זמן המבחן: שלוש שעות

חומר עזר מותר: מחשבון

יש לענות על כל השאלות

1

חשבו את האינטגרל

[math]\displaystyle{ f(x)=\int_0^x{arctan(t)dt} }[/math]

חשבו את הגבול

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} }[/math]

תהי f פונקציה מונוטונית בעלת נגזרת רציפה בקטע [0,1]

הוכיחו או הפריכו:

[math]\displaystyle{ f'(0)+f'(\frac{1}{3}) + f'(\frac{2}{3})\leq 3f(1)-3f(0) }[/math]

מצאו כמה פתרונות יש למשוואה

[math]\displaystyle{ e^{sin(2x)}=sin(x)cos(x) }[/math]

מצאו כמה פתרונות אי שליליים יש למשוואה

[math]\displaystyle{ e^x=cos(x) }[/math]

מצאו לאילו ערכי [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] האינטגרל הבא מתכנס

[math]\displaystyle{ \int_0^\infty{\frac{1-e^{-x}}{x^\alpha}dx} }[/math]

חשבו את האינטרגל

[math]\displaystyle{ \int{\frac{x+1+\int_{-x}^x{tsin(cos(t))dt}}{x^2+2x+3}dx} }[/math]

חשבו את סכום הטור

[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n2^n} }[/math]

תהי f פונקציה רציפה ואי שלילית עבורה האינטגרל

[math]\displaystyle{ \int_1^\infty f(x)dx }[/math]

מתכנס.

הוכיחו/הפריכו:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 }[/math]

קבעו את תחום ההתכנסות של סדרת הפונקציות

[math]\displaystyle{ f_n(x)=\frac{arctan(nx)}{n} }[/math]

האם הסדרה מתכנסת במ״ש בתחום זה?

מצאו את הערך המינימלי והערך המקסימלי של הפונקציה

[math]\displaystyle{ f(x,y)=x+y }[/math]

בחצי העליון של עיגול היחידה [math]\displaystyle{ D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq 1\wedge y\geq 0\} }[/math]