לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 &\lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix} }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחתית הדף את השורה הבאה:

== כותרת שאלה ==

ולכתוב מתחתיה את השאלה שלכם.

שאלות

שאלה לדוגמא

מה זה Span?

תשובה

אוסף כל הצירופים הלינאריים --ארז שיינר 20:07, 22 באוקטובר 2009 (UTC)

הבנתי, תודה.

בשמחה

יותר קונסטרוקטיבי לחשוב על זה כ"המרחב הנפרש", התת-מרחב הקטן ביותר שמכיל את הקבוצה הנתונה.

תרגיל 2.14

איך פותרים את תרגיל 2.14?

תשובה

לפי ההדרכה. אפשר להניח שתרגיל 1.10 הוא נכון. תזכורת: יש n שורשי יחידה מסדר n. --ארז שיינר 12:13, 29 באוקטובר 2009 (UTC)

בנוסף, אפשר להעזר בתרגיל 7.4 בעמוד 76 --ארז שיינר 13:18, 29 באוקטובר 2009 (UTC)

שאלה נוספת בנוגע לאותו תרגיל:

בנוגע להגדרה שניתנה על p^0, p, p^2, ... , p^n-1

• האם הכוונה היא ש-P הוא הערך העצמי של הוקטור?
• בנוסף, איך אני יכול להסיק שכל ערכי ה-P שונים זה מזה? (נראה הכרחי, אחרת הוקטורים לא בת"ל)

תשובה

שים לב שp הינו שורש יחידה מסדר n. כפי שציינתי קודם לכן, יש n שורשי יחידה שונים מסדר n. הערך העצמי של הוקטור אינו p בהכרח ואינו רלוונטי לשאלה 2.14. --ארז שיינר 16:23, 29 באוקטובר 2009 (UTC)

הבנתי, תודה

אבל מדובר בשדה F כלשהו. כיצד ניתן להסביר שלמשוואה x^n-1=0 מעל שדה F יש בדיוק n פתרונות?

יפה מאד! זו הערה נכונה, לא שמתי לב לכך. התייחסו למטריצה כמרוכבת, ולא כמעל שדה כלשהו. --ארז שיינר 18:09, 29 באוקטובר 2009 (UTC)

עוד שאלה, ניתן להניח שתרגיל 7.4 בעמוד 76 נכון?

כן. צריך להסביר היטב אבל

• תודה רבה על העזרה - אבל נותרתי עם שאלה אחת... למה הכוונה "שורשי היחידה", אם לא לערכים של למדא שיאפסו את הפולינום האופייני?

שורשי יחידה לא קשורים לפולינום אופיינים או כלל למטריצות. שורשי יחידה מסדר n הם מספרים שאם תעלה אותם בחזקת n תקבל 1. במילים אחרות הם השורשים של הפולינום [math]\displaystyle{ z^n=1 }[/math]. --ארז שיינר 09:53, 31 באוקטובר 2009 (UTC)

ארז האם תוכל להסביר את תרגיל 2.14 ואת כל השלבים שצריך לעשות ואיך לעשות אותם כי דיברתי עם כמה אנשים בתכנית ואין להם מושג איך לעשות את זה ומה זה הדטרמיננטה של מטריצ ונדרמונדה ומה זה מטריצת ונדרמונדה ואיך מוכיחים שוקטורים עצמיים הם בלתי תלויים זאת אומרת איך מגיעים לזה ואם יש לי n ערכים עצמיים זה אומר שיש לי n וקטורים עצמיים ? חשוב שתענה על כל השאלות בשביל שנוכל להבין .. תודה !!

מטרת הפורום היא לכוון ולא שאני אפתור בשבילכם. מבין התרגילים 7.4, 1.10 וההדרכה של 2.14 עצמו אני לא רואה סיבה שלא תוכלו לפתור.

כמובן שלא תראה סיבה כי אתה מתרגל אתה עברת את זה בהצטיינות אנחנו לומדים וצריכים את המידע הזה בשביל שגם אנחנו נכול להבין ולעבור בהצטיינות כמוך וזה השלב בו אנחנו שואלים שאלות ומצפים לתשובות ( זה לא מבחן ) כל עוד יש לנו זמן ומותר לנו לשאול לדעתי אתה צריך לעשות הכל בשביל שאנחנו נבין ככה שאנחנו מצפים לתשובה בשביל שנוכל לדעת איך להמשיך .. זו זכותינו אנחנו כאן בשביל ללמוד ולהצליח

אתם מקבלים פתרונות לתרגילים. בוודאי לא אפרסם פתרונות לפני הגשת התרגיל.

אל תפרסם .. רק תסביר את הרעיון ואת החשיבה שעומדת מאוריי זה כדי שנוכל להיכנס לראש. מה זה הדטרמיננטה של מטריצה ונדרמונדה ומה זה בכלל המטריצה הזאת לא למדנו את זה

מה שחשוב לדעת לגבי המטריצה הוא שזו הדטרמיננטה שלה: [math]\displaystyle{ \det(A) = \prod_{1\le i\lt j\le n} (a_j-a_i). }[/math] (למטריצה כפי שהיא רשומה בתרגיל 7.4).

תרגיל 3.17

כיצד מוצאים מטריצה הופכית בעזרת פולינום אופייני? (משפט קיילי המילטון רק אומר שהמטריצה מאפסת את הפולינום האופייני שלה)

אני אנסה להראות דרך

[math]\displaystyle{ 0=p(A)=A^n+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_1A+(-1)^n\det(A)I_n }[/math]

שזה כמו

[math]\displaystyle{ -(-1)^n\det(A)I_n = A(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots+c_{1}I_n) }[/math],

נכפיל בהופכית של A מצד שמאל

[math]\displaystyle{ A^{-1}=\frac{(-1)^{n-1}}{\det(A)}(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots+c_{1}I_n) }[/math].

מקווה שעזרתי, סער

פתרון יפה, אבל איך יודעים שA הפיכה?

אם יש מטריצה הופכית, אז המטריצה הפיכה. הוא הראה שיש מטריצה שאם תכפול בה בA תקבל את מטריצת היחידה. זה אומר ישירות שA הפיכה. --ארז שיינר 12:07, 30 באוקטובר 2009 (UTC)

למי ששאל איך יודעים ש-A הפיכה - תראה שהדטרמיננטה שלה שונה מאפס :) זה אחד הדברים היותר פשוטים בתרגילים עם נתונים "מספריים". אגב, בפולינום האופייני : הדטרמיננטה תהיה שווה למקדם של x^0 (של החזקה הכי קטנה)

תרגיל 4.3

אני לא כל כך מבין איך למצוא את המטריצה המשולשית העליונה הדומה - מישהו יכול לעזור?

תשובה

בוא ננסה ביחד, ותסביר באיזה שלב אתה לא מצליח. נניח A מטריצה ריבועית, רוצים לשלש אותה:

• מוצאים את הע"ע של המטריצה
• לוקחים ערך עצמי [math]\displaystyle{ \lambda_1 }[/math] עם ריבוי אלגברי מקסימלי (במילים פשוטות, שורש של הפולינום האופייני שהחזקה שלו בפולינום היא מקסימלית). למשל, 2 אם הפולינום האופייני היה [math]\displaystyle{ f_A=(\lambda-2)^2(\lambda-1) }[/math].
• לוקחים בסיס למרחב העצמי של [math]\displaystyle{ \lambda_1 }[/math], כלומר הוקטורים העצמיים ש[math]\displaystyle{ \lambda_1 }[/math] הוא הע"ע שלהם. נניח הבסיס הוא [math]\displaystyle{ v_1,v_2,...,v_k }[/math]. משלימים את הבסיס הזה לבסיס למרחב [math]\displaystyle{ v_1,v_2,...,v_n }[/math].
• יוצרים מטריצה M שעמודותיה הן הוקטורים [math]\displaystyle{ v_1,v_2,...,v_n }[/math].
• [math]\displaystyle{ M^{-1}AM }[/math] היא מטריצה שיש לה אפסים מתחת לאלכסון הראשי בk העמודות הראשונות.
• לוקחים את המטריצה ללא k השורות והעמודות הראשונות, ומקבלים מטריצה מסדר n-k על n-k. נקרא לה [math]\displaystyle{ A_{n-k} }[/math]
• מוצאים מטריצה [math]\displaystyle{ M_{n-k} }[/math] באותו אופן (מוצאים בסיס למרחב עצמי של [math]\displaystyle{ A_{n-k} }[/math], משלימים לבסיס של המרחב) , ומשלימים אותה למטריצה מגודל n על n באופן הבא [math]\displaystyle{ M_1=\begin{bmatrix}I_{k} & 0 \\ 0 & M_{n-k}\end{bmatrix} }[/math]
• מסתכלים על [math]\displaystyle{ M_1^{-1}M^{-1}AMM_1 }[/math]. למטריצה הזו יש אפסים מתחת לאלכסון הראשי בk+m העמודות הראשונות, כאשר m הוא המימד של המרחב העצמי בשלב השני.
• ממשיכים בתהליך עד שמקבלים מטריצה משולשית.

--ארז שיינר 15:32, 30 באוקטובר 2009 (UTC)

אפשר לקחת בהתחלה את כל הוקטורים העצמיים ולהשלים אותם לבסיס, במקום רק את הוקטורים העצמיים של ערך עצמי אחד?

ואז מה השלב הבא? זה לא ישלש את המטריצה בהכרח. מותר לעשות את זה, כי זה דומה ללקחת את הו"ע העצמיים של ע"ע אחד, ואז להשלים את הבסיס עם וקטורים עצמיים אחרים. אבל אני לא יודע אם זה יחסוך שלבים. שים לב שבאלגוריתם, כל פעם הוקטורים העצמיים הם ממרחב וקטורי ממימד קטן יותר. --ארז שיינר 18:43, 30 באוקטובר 2009 (UTC)

האמת שחשבתי על זה, ויכול להיות שזה כן מקצר את האלגוריתם. מוזמנים לנסות --ארז שיינר 18:53, 30 באוקטובר 2009 (UTC)

• יש לי הסבר למה לפעמים עדיף לקחת רק ו"ע של אחד מהערכים : כי אז תצטרכו להשלים לו"ע כרצונכם, כלומר תוכלו להשלים גם לפי ו"ע קלים יחסית שיקלו על הכפל-מטריצות בהמשך..

יש לי שאלה

יש לי נקע בזרת ואני לא יכול לכתוב, השאלה היא האם אני יכול לבקש ממישהו בקורס (שאני מכיר) לכתוב לי את התשובות לשיעורים ואני יקריא לו? זה מותר? אם לא מה לעשות? אני לא רוצה שירד לי ציון... אשמח לתשובה בהקדם

אני לא כל כך מבין את מהות השאלה. ככלל אנחנו לא בודקים את הכתב של התרגיל. אם התרגיל הוא שלך ומכיל תשובות שלך זה בסדר. אם מישהו אחר עשה בשבילך את התרגיל זה לא בסדר. פשוט :) --ארז שיינר 20:58, 30 באוקטובר 2009 (UTC)

לגבי מטריצות הפיכות

אם כופלים מטריצה הפיכה במטריצה לא הפיכה, התוצאה תהיה מטריצה לא הפיכה?

תשובה

נכון. קל לראות את זה מחוקי דטרמיננטות

[math]\displaystyle{ A }[/math]הפיכה [math]\displaystyle{ |A|\neq 0 \iff }[/math]

נניח [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה ו[math]\displaystyle{ B }[/math] לא הפיכה, לכן [math]\displaystyle{ |B|=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ |AB|=|A||B|=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ AB }[/math] לא הפיכה

איך מוכיחים שמטריצה אינה לכסינה?

איך מוכיחים שמטריצה אינה לכסינה? תודה.

תשובה

אם אין בסיס למרחב המכיל וקטורים עצמיים של המטריצה בלבד. כלומר, מוצאים את הוקטורים העצמיים של המטריצה ומראים שהם לא פורשים את כל המרחב.

או אם מראים שעבור ע"ע כלשהו הריבוי הגיאומטרי שונה מהריבוי האלגברי, לא?

נכון, זה גם מספיק.

תרגיל 4.4

לא הבנתי מה הרעיון בסעיף ג מה זאת אומרת לנסח טענות דומות ולהוכיח אותם???

תשובה

נסח טענות דומות, כלומר מצא יחס בין הערכים העצמיים והדטרמיננטה בתנאים דומים לסעיפים א' וב'. קח דוגמא פשוטה (למשל מטריצה ניתנת ללכסון) ותראה מה הקשר בין הדטרמיננטה לערכים העצמיים.

לא ברור לאיזה A צריך לנסח את השאלה..A ריבועית? לכסינה? ניתנת לשילוש?

A כמו בסעיף הראשון, לכן רשום נסח טענה דומה.

תרגיל 5.14

היי ארז, מה הכוונה ב"מינימום צעדים"? עלי למצוא את כל האפשרויות ולהציב את A בכל אחת מהן (אף על פי שזה ארוך), נכון?

תשובה

העניין הוא שיש מעט אפשרויות, ואם מתחילים מלמטה זה מעט צעדים. במיוחד יחסית לשיטה של מערכת המשוואות.

שאלה

יש אפשרות בבקשה לפרסם את הפתרון לתרגיל 2.5ג'? (משיעורי הבית הראשונים), כי פרסמתם את הפיתרון של א' וב' אבל לא של ג'.. (בעמוד 84)

תשובה

אני אפרסם פתרונות להכל

שאלה לארז - בנוגע לאינפי

ארז שלום! באתר של התרגיל שלנו באינפי אין איפה לשאול שאלות, ודווקא בתרגילים באינפי יש אי הבנות. האם אפשר לפתוח דף נוסף באתר זה שישמש לדיון על בעיות באינפי (בין מי שלומד בקורס, רק שנוכל להיעזר אחד בשני)? תודה רבה!

תשובה

בוודאי, אני גם אשמח שיהיה שימוש באתר, המטרה שלו היא לשמש ליותר מקורס אחד. אם אתם לא מסתדרים בלפתוח לבד, תגידו לי (או אם תרצו קישור בעמוד הראשי. --ארז שיינר 20:29, 5 בנובמבר 2009 (UTC)

תודה רבה!

הנה קישור לדף : http://math-wiki.com/index.php/%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D אנא תוסיף קישור אליו בעמוד הראשי כדי שיתפתח קצת. תודה!

הוספתי, והזזתי אותו לקישור אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע

לגבי שאלה 5.21 ב' ג' ו-5.22 א'

ארז שלום, את שאלה 5.21 אני מנסה כבר הרבה זמן לנסות להוכיח או להפריך ואני נתקע, אני פשוט לא יודע מה לעשות שם.. בשאלה 5.22 אני לא מבין איך למצוא את הפולינום המינימלי - משוואות לינאריות לא עוזרות שם, וגם אין דרך למצוא לזה פולינום אופייני. עשיתי לפולינום המינימלי נוסחא של פולינום כללי, הצבתי את A והשוותי ל-0, החלפתי את כל החזקות של A, ב-A עצמה ומשם אני נתקע. כמו כן לא הבנתי למה בסעיף ד' יש אפשרויות ל-tr(A). אשמח אם תענה במהרה, תודה

תשובה

• 5.21 - תנסה להעזר בבלוקי ז'ורדן, או במטריצות שהן דומות לבלוק ז'ורדן. לא צריך למצוא מטריצות מסובכות מידי.
• 5.22 - שוב, אל תסתבך יותר מידי, אתה רוצה למצוא פולינום שמאפס את המטריצה. יש אחד ממש ממש פשוט. תחשוב טוב. אחרי שתמצא אותו אני מקווה שהשאר יזרום יותר.

צריך להניח שA שונה ממטריצת האפס, נכון? :)

כן

ומה לגבי שונה ממטריצת היחידה?

האמת שאפשר לפתור עבור שני המקרים האלה, אין צורך להתעלם מהם, פשוט עוד שני מילים

בקשר לשאלה 4.4

בסעיף א', לא צריך בכלל את משפט השילוש.. מספיק לנו לדעת שהפולינום האופייני של A מתפרק לגורמים ליניאריים, ואז לפי משפט שהוכחנו בכיתה, a(n-1) של הפולינום הוא tr(a)-, ולפי פתיחת סוגריים של הפולינום מצד שני ניתן להגיד לכן שזה מינוס סכום הערכים העצמיים, ואז הוכחנו.. (מצטערת אם יצא קצת מסורבל)

תשובה

צריך להוכיח את זה לפי משפט השילוש, ולא בעזרת המשפט שלמדתם בכיתה. איך הוכחתם בכיתה שהמקדם של [math]\displaystyle{ a_{n-1} }[/math] שווה ל[math]\displaystyle{ tr(A) }[/math]?

לפי תמורות.

אוקיי. הדרך שהצעת הינה יפה, אני בכל זאת מעדיף שזה יעשה עם משפט השילוש, כי זו מטרת התרגיל.

אז לא הבנתי.. הדרך שאני עשיתי היא -השתמשתי במשפט השילוש כדי למצוא מטריצה B שדומה לA, ואיברי אלכסונה הם הע"ע של A. ואז השתמשתי בעובדה שיש להם אותו פולינום אופייני, ובגלל המשפט הנ"ל, מתקיים שמינוס טרייס A = מקדם של האיבר הn-1 בפולינום = מינוס טרייס B. ולכן טרייס A שווה לסכום הערכים העצמיים. זה בסדר?

הגעת למטריצה דומה עם אלכסון שמורכב מהע"ע. מה אנחנו יודעים על הtrace של מטריצות דומות?

הtrace של מטריצות דומות שווה. איך אפשר להוכיח את זה, אגב?

למדנו ש[math]\displaystyle{ tr(AB)=tr(BA) }[/math]. לכן אם [math]\displaystyle{ A=P^{-1}AP }[/math] אז [math]\displaystyle{ tr(B)=tr(P^{-1}AP)=tr(PP^{-1}A)=tr(A) }[/math]

שאלה בקשר לפולינום מינימלי ואופייני

לפי מה שהבנתי, כל גורם אי פריק שמופיע בפולינום האופייני של מטריצה, יופיע גם בפולינום המינימלי שלה. אני מבין למה זה נכון עבור גורמים לינאריים שמופיעים בפולינום האופייני, כי את שני הפולינומים מה שמאפס זה הערכים העצמיים של המטריצה. אני לא מבין למה זה נכון עבור גורמים לא פריקים לא לינאריים. למשל, אם הפולינום האופייני של מטריצה הוא [math]\displaystyle{ P(t) = (t-1)(t-5)^2(t^2-5t+37)^5 }[/math] אז הגורם [math]\displaystyle{ t^2-5t+37 }[/math] יופיע בהכרח בפולינום המינימלי בגלל שהוא לא פריק (מעל השדה R). אשמח אם מישהו יתן הסבר למה.

תשובה

אם תסתכל על המטריצה כמעל המרוכבים, הפולינום המינמלי שלה יהיה בעל מקדמים ממשיים (תאחד את הגורמים הלינאריים חזרה לגורמים אי פריקים מעל הממשיים), ולכן גם פולינום מינימלי מעל הממשיים. (אם היה פולינום קטן יותר עם מקדמים ממשיים הוא היה מאפס את המטריצה גם מעל המרוכבים כמובן.

לא הבנתי. איך ניתן להסתכל על המטריצה כאילו היא מעל המרוכבים? המטריצה היא מעל שדה F כלשהו, לא חייב להיות R. שאלתי היא איך מוכיחים שכל גורם לא פריק שמופיע בפולינום האופייני מופיע גם בפולינום המינימלי.

האמת שאני לא בטוח, הוכחתם את זה בהרצאה? אני מנחש שהטיעון שנתתי יעבוד מעל כל שדה F, כלומר ניקח שדה שמכיל את F שבו הפולינום מתפרק לחלוטין ואז נחזור על הטיעון. אבל זה לא חומר שאתם אמורים לדעת, אז אם הוכחתם יכול להיות שיש הוכחה קלה שאני מפספס.

כשאתה אומר מתפרק לחלוטין, אתה מתכוון מתפרק לגורמים לינאריים? ולא הוכחנו את זה בהרצאה, אבל זה מופיע בתור תרגיל בחוברת, עמוד 92 תרגיל 5.11 א.

כן. לגבי התרגיל בספר, אני לא הכרתי את זה. זה נובע ישירות מתרגיל 5.10.

שתי שאלות: הראשונה: איך זה נובע מתרגיל 5.10? ושאלה שנייה, בהרצאה המרצה כתב את הטענה של תרגיל 5.10 בתור מסקנה של המשפט שאומר שכל ערך עצמי מאפס את הפולינום המינימלי. איך מסיקים מהמשפט הזה את הטענה של תרגיל 5.10? תודה רבה :)

אם [math]\displaystyle{ f_a|m_a^n }[/math] אז כל גורם אי פריק של [math]\displaystyle{ f_a }[/math] חייב לחלק את [math]\displaystyle{ m_a }[/math], בדומה לאם 12 מחלק את 6 בריבוע אז 2 ו3 חייבים לחלק את 6. ואני לא יודע איך זה נובע מכך שכל ערך עצמי מאפס את הפולינום המינימלי.

שאלה על תרגיל 5.21 ב'

יש לי שאלה - נכון כל מטריצה בת"ל דומה למטריצת הזהות? ונכון שאם A~B, וכן B~C אז A~C? אז מה הרעיון של סעיף ב'? כי אם הפולינום המינימלי זהה, אז קיימות שתי אפשרויות:

• הערך 0 מאפס את הפולינום המינימלי, ואז שתי המטריצות ת"ל, ולכן A~0, B~0 ולכן A~B.
• הערך 0 אינו מאפס את הפולינום המינימלי, ואז שתי המטריצות בת"ל, ואז A~I, B~I, ולכן A~B.

איפה הטעות שלי?

תשובה

מי אמר שמטריצה ששורותיה תלויות לינארית דומה למטריצת האפס? הרי למטריצות דומות יש אותם ע"ע, כל מטריצה ש0 הוא ע"ע שלה אז הוא הערך היחיד שלה? בוודאי שלא.

בהמשך לשאלה...

זהו, הבנתי! התבלבלתי כנראה עם המושג "שקול שורה", כלומר שאם מטריצה היא בת"ל אז אפשר להגיע בביצוע מספר סופי של פעולות שורה אלמנטריות למטריצת הזהות.. בכל מקרה, זה לא קשור לשאלה הזאת.

משום מה אני עדיין לא מצליח לחשוב על דרך להוכיח את ב'. רגע - האם מספיק לומר שאם לשתי מטריצות יש את אותם ערכים עצמיים, והן מאותו סדר - אז בהכרח הן דומות?

והמון תודה על העזרה ועל המסירות!!

תשובה

אין בעד מה. מה הכוונה מאותו סדר? ולמה שזה יספיק להגיד שהן דומות? זו השאלה בעצם. אני אתן רמז נוסף, אמרתי להסתכל על בלוקי ז'ורדן. מה קורה אם מסתכלים על בלוק ז'ורדן אבל הופכים חלק מהאחדות לאפסים?

-

הממ.. אוקיי, אבל נניח שיש לי שתי מטריצות - איך אפשר להוכיח שהן לא דומות? אפשר להראות שהדט' שונה, או שהעקבה שונה או שהדרגה שונה, אבל בכל המקרים הללו הדוגמא שנתת לא תופסת כי הם כולם שווים. באופן כללי איך אפשר להוכיח ששתי מטריצות אינן דומות?

מימד מרחבים עצמיים שונה

אפשר גם להוכיח שיש להן צורת ז'ורדן שונה? או בפרט אם A ו-B מטריצות ז'ורדן שונות אזי בהכרח A לא דומה ל-B? (הרי אם כן, זה אומר של-A יש שתי צורות ז'ורדן, ולכל מטריצה יש צורת ז'ורדן יחידה עד כדי שינוי סדר התאים).

אני מניח שזה נכון (לא לשכוח שהיחידות של צורת ז'ורדן היא עד כדי סדר הבלוקים). זה לא תרגיל על צורת ז'ורדן, אבל זו תשובה מקובלת.

בעיה בתרגיל 5.18 סעיף ב'

לפי הגדרת הכמק"ב באותו עמוד, הכמק"ב אינו יחיד. אם למשל ניקח את הפולינום [math]\displaystyle{ x-1 }[/math] ו [math]\displaystyle{ x-2 }[/math], אז הכמק"ב שלהם יכול להיות [math]\displaystyle{ (x-1)(x-2) }[/math] ויכול להיות גם [math]\displaystyle{ 4(x-1)(x-2) }[/math]. אם כך, איך ניתן להוכיח בתרגיל הזה שהפולינום הוא אכן מתוקן? זהו תנאי לכך שהוא יהיה פולינום מינימלי.

תשובה

פשוט לוקחים את הכמק"ב המתוקן, כמו שאתה אומר ניתן היה לכפול את הפולינום בקבוע והוא עדיין יחלק את שני הפולינומים האחרים, אבל זה לא משמעותי.

אז להוכיח שקיים כמק"ב מתוקן, ואז להוכיח שהוא הפולינום המינימלי?

אין מה להוכיח שקיים כמק"ב מתוקן, זה טריויאלי, כי מחלקים במקדם של המונום הגבוה. מה שחשוב הוא שהפולינום המינימלי הוא כמק"ב.

שאלה - 5.21

ארז - אני פשוט לא מוצא דוגמא נגדית, אבל אני יודע שאפשר להפריך את הטענה! קראתי איפשהו שההפרכה תעבוד רק על מטריצות מסדר n>=4 או משהו כזה.. בכל מקרה, האם מותר לי לקחת שתי מטריצות שהפולינום המינימלי שלהן הוא 0? תודה!

תשובה

לאילו מטריצות יש פולינום מינימלי אפס?

• למטריצות עם ערך עצמי אפס (שהוא ע"ע יחיד).. לא?
  • לא, למטריצות כאלו הפולינום המינימלי הוא t^k. פולינום מינימלי מוגדר כפולינום המאפס מהמעלה הקטנה ביותר שאינו 0, הרי אחרת פולינום ה-0 היה הפולינום המינימלי לכל מטריצה.
    • אז רגע - איך אפשר אחרת להפריך את הטענה? ניסיתי כבר לפחות 6 זוגות שונים של מטריצות כשאחת מהן היא בלוק ג'ורדן, אתה לא יודע איזה מתסכל זה למצוא פולינום אופייני, ואח"כ להתחיל להציב ולחפש את הפולינום המינימלי ובסוף לגלות שהזוג שבחרת לא נכון...
      • על איזה סעיף אתה מדבר בכלל? תנסה מטריצות שהן מטריצות ג'ורדן ולא תאי ג'ורדן. ד"א, עם מטריצות ג'ורדן אין שום סיבה לחשב את הפולינום האופייני או המינימלי - את האופייני אפשר לדעת על פי אברי האלכסון שהם הערכים העצמיים, ואת המינימלי אפשר על פי משפט שהוכח בהרצאה, שאומר שמעלת הגורם הלינארי (t-x) בפולינום המינמלי כאשר x ע"ע של A, הוא גודל תא הג'ורדן הגדול ביותר בצורת הג'ורדן של A, וכך אפשר למצוא את הפולינום המינימלי מיד.
        • התכוונתי לסעיף ב'. ניסיתי את מטריצות ג'ורדן (J למדא..) אבל עדיין זה נראה לא הגיוני
          • J למדא הוא תא ז'ורדן. מטריצת ז'ורדן היא מטריצה שבנויה מתאי זורדן. שים לב שאם A ו-B שתי מטריצות ז'ורדן שונות (ולא שונות על ידי שינוי סדר התאים, אלא שונות בתאים עצמם), אז בהכרח A ו-B לא דומות, שכן לכל מטריצה יש רק צורת ז'ורדן אחת. תנסה לבנות שתי מטריצות ז'ורדן (תנסה מטריצות מסדר 4) עם ע"ע אחד, כך שהבלוק הכי גדול של שתי המטריצות הוא מאותו גודל אך הבלוק\ים האחרים בגודל שונה.
            • אלפי תודות :) !! הבנתי! ממש עזרת לי, ושוב תודה רבה!!
              • אני חייב לציין 2 דברים: 1. למקרה שזה לא ברור, זה לא עניתי ועזרתי, התודות למי שענה :) 2. אני קורא לזה בלוק ז'ורדן ולא תא ז'ורדן (לא שזה משנה כמובן, אני מציין כדי למנוע בלבול).--ארז שיינר 19:41, 9 בנובמבר 2009 (UTC)

תרגיל מספר 4

הקובץ של תרגיל מספר 4 לא עולה לי, מה לעשות?

תשובה

למה הוא לא עולה? אני רואה שלאחרים אין בעייה. אתה לא מצליח להוריד את הקובץ או לפתוח אותו?

תרגיל 5.22 סעיף ד'

הפתרון שלו תלוי במאפיין של השדה F... האם עלי להתעלם ממנו?

תשובה

זה לא באמת תלוי, השאלה היא מה הן האפשרויות. בין האפשרויות השונות תקבל גם את האפשרויות של שדה ממאפיין שונה מאפס.

שאלה

מהו הפולינום המינימלי של המטריצה A=0 (מטריצה ריבועית מסדר 1x1 שהאיבר בה הוא 0)?

תשובה

הע"ע היחיד הוא 0, לכן t.

• ומהו t?
  • המשתנה של הפולינום. קוניאבסקי מסמן אותו ב-t, אולי צבאן מסמן אותו ב-x.
    • תודה רבה!! ושאלה אחרונה - את 5.21 ג' אפשר להוכיח, נכון? כי אם לכל מטריצה יש הצגת ג'ורדן יחידה, אז למטריצות ג'ורדן עם אותו פולינום מינימלי קל לראות שיש להן את אותו פולינום אופייני, אני צודק?
      • אבל אתה לא יודע שאלו מטריצות ז'ורדן, ואתה לא יודע שיש להן אותה צורת ז'ורדן. שים לב מה קורה לשתי מטריצות בעלות אותם ערכים עצמיים אך עם ריבוי אלגברי שונה לכל ערך עצמי.
        • עזוב את מטריצות ג'ורדן - מצאתי דרך להוכיח שזה חייב להיות נכון. שים לב שבתרגיל מבקשים ש-A ו-B יהיו מאותו סדר - לכן המעלה הגבוהה ביותר תהיה שווה בשני המקרים, בהנחה שהפולינום המינימלי שווה. לכן אם הפולינום המינימלי שווה אז בהכרח גם הפולינום האופייני שווה.
          • המעלה הגבוהה ביותר איפה? אתה לא יודע שהפולינום האופייני בכלל מתפרק לגורמים לינאריים וגם אם היית יודע את זה אז אתה יודע רק שסכום הריבויים האלגבריים שווה, אתה לא יודע שהריבוי האלגברי של כל ע"ע שווה, וזו בדיוק הדוגמה הנגדית.
            • אההה אוקיי שמתי לב עכשיו שכאן כבר יכלתי להביא דוגמא פשוטה של מטריצות אלכסוניות... סבבה, תודה :) !

5.22 ג'

איך אפשר להוכיח?

תשובה

אחרי שמצאת אותו בסעיף א', קל להראות שהוא מתפרק לגורמים לינאריים...

תרגיל רביעי, שאלה מס' 1

היי ארז. אם אני רוצה להוכיח שגם A וגם B דומות שתיהן לאותה צורת ג'ורדן, מספיק לצטט את התכונות שהכתבת בתרגול ולפעול לפיהן?

תשובה

ניתן לצטט את משפט ז'ורדן ולהשתמש בו בתרגיל.

ומה נעשה אנו שלמדנו אצל עדי ולא למדנו את משפט ז'ורדן?

לא למדתם את המשפט גם בהרצאה? לא ראיתם דוגמאות למציאת צורות ז'ורדן?

אבל אי אפשר להשתמש בתכונות שכתבת בתרגול? בכלליות, גם במבחן, ניתן להתייחס אליהן כברורות מאליו ואפשר להשתמש בהן או שצריך להוכיח?

אילו תכונות? את משפט ז'ורדן אין צורך להוכיח כמובן, כי לא למדתם להוכיח את זה בכלל.

התכוונתי ל4 התכונות.. התכונה הראשונה הייתה שסכום הסדרים של Jij עבור i קבוע הוא הריבוי האלגברי של למדהi.. וכו'..

זה משפט ז'ורדן, וכמו שאמרתי לא למדתם להוכיח אותו. מותר להשתמש

ארז (או כל אחד אחר), תוכל לכתוב כאן את 4 התכונות של משפט ז'ורדן (אלו שכתבת בתרגול שלך) בצורה מסודרת, למען אלו שלא זכו לשמוע אותן אצל המתרגל השני, בבקשה?

אני באמת חושב שצריך לעשות משהו בנוגע לזה, כי אני שלומד אצל עדי כל פעם מגיע לשיעורי הבית עם חוסר בשיטות לפתרון של תרגילים...

מחזק. אי אפשר שזה ימשך ככה...

משפט הקיום והיחידות של צורת ז'ורדן

תהי מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] כך ש

[math]\displaystyle{ f_A(t)=(t-\lambda_1)^{n_1}(t-\lambda_2)^{n_2}\cdots (t-\lambda_r)^{n_r} }[/math] (כלומר [math]\displaystyle{ f }[/math] מתפרק לגורמים לינאריים). ו-

[math]\displaystyle{ m_A(t)=(t-\lambda_1)^{m_1}(t-\lambda_2)^{m_2}\cdots (t-\lambda_r)^{m_r} }[/math]

אזי [math]\displaystyle{ A }[/math] דומה לסכום ישר של בלוקי ז'ורדן [math]\displaystyle{ J_{ij}=J(\lambda_i) }[/math] בעלי התכונות הבאות:

• לכל ע"ע [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math] קיים לפחות בלוק אחד [math]\displaystyle{ J_{ij} }[/math] בגודל [math]\displaystyle{ m_i }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ J_{ij}=J_{m_i}(\lambda_i) }[/math]

• סכום הגדלים של הבלוקים [math]\displaystyle{ J_{ij} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i }[/math] קבוע שווה ל[math]\displaystyle{ n_i }[/math] (כלומר הריבוי האלגברי של [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math])

• מספר הבלוקים [math]\displaystyle{ J_{ij} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i }[/math] קבוע שווה לריבוי הגיאומטרי של [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math]. (תזכורת: זה המימד של המרחב העצמי של [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math])

• הגדלים של שאר הבלוקים [math]\displaystyle{ J_{ij} }[/math] נקבעים בצורה יחידה על פי המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math]. במילים פשוטות, צורת ז'ורדן היא יחידה עד כדי סדר הבלוקים בסכום הישר.

תרגיל מס 4 שאלה 2

איך אני יכול למצוא את מטריצת זורדן המתאימה אם לא נתון הפולינום המינימלי איך אני יכול לדעת מהו התא הכי גדול?

תשובה

אתה צריך למצוא את כל צורות הז'ורדן האפשריות בהתחשב בנתונים. שים לב שמסעיף ב' ברור שיש אפשרויות שונות לפולינום המינימלי.

תרגיל4 שאלה 3

מהו האיבר במקום האחרון (4,4) של המטריצה A? הכתב לא ממש ברור.

תשובה

אני מניח שאפס

תרגיל מספר 4

הקובץ המצורף של תרגיל 4 לא עולה לי, מה לעשות?

תשובה

למה הוא לא עולה? אני רואה שלאחרים אין בעייה. אתה לא מצליח להוריד את הקובץ או לפתוח אותו?

אי אפשר לפתוח/ להוריד אותו. זה כותב שהקובץ פגום.

אם הקובץ היה פגום, היה ניתן להוריד אותו והמחשב היה אומר שהוא פגום. אני אוסיף קישור שוב פה: תרגיל 4. אם זה לא עובד תנסה להוריד גרסא חדשה של acrobat

גם לי זה לא נפתח, מה אפשר לעשות?

אתם חייבים לפרט יותר. אני מנסה לעזור לכם ואתם רק אומרים שזה לא נפתח. ניסיתם את הקישור השני? עדכנתם גרסאת Acrobat?

שאלה

איך מראים שמטריצות אינן דומות (חוץ מדטרמינטה, trace ופולינום אופיני ומינימלי)? יש דרך להראות שהם דומות מבלי למצוא מטריצה ש"מקיימת את הדימיון"?

תשובה

קודם כל נתנה כבר תשובה לזה, ע"י מימד המרחב העצמי של ע"ע. ובזכות שלמדנו על צורות ז'ורדן, ניתן להראות שצורות הז'ורדן של המטריצות שונות (ביותר מאשר סדר הבלוקים) ולכן המטריצות לא דומות.

בתרגיל 2

האם אני צריך לציין גם אפשרויות שהם החלפת סדר התאים או רק אפשרויות שמשנות את הריבוי הגאומטרי והפולינום המינימלי?

תשובה

יש למצוא צורות ז'ורדן שונות, אין צורך להראות סדר אחר כי זו אותה צורת ז'ורדן. יש למצוא רק צורות בעלי בלוקים שונים.

שאלה

אם אני צריכה להוכיח שמכפלת ע"ע של מטריצה שווה לדטרמיננטה שלו, אני יכולה להסתמך על המשפט שכל מטריצה מעל המרוכבים דומה למטריצה משולשית שבאלכסונה הערכים העצמיים?

תשובה

כן. ועל העובדה שהדטרמיננטה של מטריצות דומות שווה מכיוון ש

[math]\displaystyle{ |A|=|P^{-1}BP|=|P^{-1}|\cdot |B|\cdot |P| =|P^{-1}|\cdot |P| \cdot |B| = |B| }[/math]

תודה. ובנוגע לסעיף ב' של אותה שאלה, איך אני יכולה להסתמך על סעיף א' אם נתון לי שA בR? לא בטוח שהפולינום האופייני שלו מתפרק לגורמים מעל R..

אני אניח שאת מתכוונת לשאלה אם [math]\displaystyle{ A^2=-I }[/math]. מה הקשר בין הע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] לאילו של [math]\displaystyle{ A^2 }[/math]?

(מישהו אחר) אז למה זה כן עובר ב-R2X2 אבל לא ב-R3X3?? מה זה משנה?

נניח [math]\displaystyle{ f }[/math] פולינום ויהי [math]\displaystyle{ z \in \mathbb{C} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(z)=0 }[/math]. למה שווה [math]\displaystyle{ f(\overline{z}) }[/math]?

יש קשר כמובן הין הע"ע של A וA^2, אבל עדיין זה לא אומר לי שהפולינום האופייני של A מתפרק לגורמים לינאריים מעל R

נכון, אבל מי אמר שהפולינום של A צריך להתפרק לגורמים לינאריים?

אומרים להעזר בא', וא' מתקיים רק אם התנאי הנ"ל מתקיים..

א' לא מתייחס כלל לפולינום של המטריצה בנתוני השאלה, אלא נכון לכל מטריצה מרוכבת. כל מטריצה ממשית היא בפרט מטריצה מרוכבת. זה נכון שהע"ע של המטריצה כמרוכבת וכממשית לא חייבים להיות זהים.

ארז, תודה על ההתמדה והמסירות :) אבל כדי להוכיח את א' הסתמכתי על זה שהפולינום שלה מל"ל כי היא מעל C.

שים לב, אותו פולינום יכול להיות מל"ל מעל C אבל לא מעל R. אם תוכיח שמטריצות מסוימות הן לא שוות מעל המרוכבים (או לא דומות מעל המרוכבים) בוודאי הן לא שוות או דומות מעל הממשיים. אתה צודק שיכולים להיות ע"ע מרוכבים ולכן זה לא נכון למטריצה מגודל 2 על 2. בכל מקרה אפשר להשתמש בא' על מנת להוכיח שזה לא עובד מעל המרוכבים ולכן גם לא מעל הממשיים.

שאלה

ראיתי שהבוחן יוצא ב - 22 לדצמבר אבל יש לי מסע ישראלי מטעם בית הספר באותו הזמן - מה אני אמור לעשות?

תשובה

בדיוק כפי שד"ר צבאן הסביר. צריך להביא מסמכים ולהסביר בדיוק במה מדובר, ונטפל בזה אישית במידת האפשר.

שאלה

הוכחנו בשיעורי הבית הקודמים שמכפלת ע"ע של מטריצה שווה לדטרמיננטה שלה (תרגיל 4.4 סעיף ג'). צריך להוכיח את זה עוד פעם?

תשובה

זו הוכחה של 2 שורות.

שאלה

למה אם לשתי מטריצות יש צורת ז'ורדן שונה, הן בהכרח לא דומות?

תשובה

משפט הקיום והיחידות של צורת ז'ורדן אומרת שלכל מטריצה יש צורת ז'ורדן אחת (עד כדי סדר). אם לשתי מטריצות דומות היו צורות ז'ורדן שונות (ולא רק עד כדי סדר) אזי צורות הזו'רדן היו דומות אחת לשניה, וזה סתירה לצורת ז'ורדן יחידה.

בקשר לתרגיל הראשון

איך ניתן להפריך אותו? הרי בתרגיל, הכתבת לנו כמה תכונות של מטריצת ג'ורדן, והיא נקבעת בעצם לפי הפולינום המינימלי והאופייני, הריבוי האלגברי [הפולינום האופייני..], הריבוי הגיאומטרי ובשאלה נתון שכולם שווים!

תשובה

אתה אומר שהיא נקבעת על פי התכונות האלה, אם זה נכון תוכיח את זה. אם זה לא נכון תראה למה זה לא נכון וזו תהיה הפרכה.

שאלה

האם בתרגיל הראשון A ו-B חייבות להיות מעל אותו שדה?

תשובה

כמובן, אחרת איך הן יהיו דומות? לא תוכל לעשות כפל במטריצות שלא מאותו שדה.

שאלה

יש משפט שאומר שניתן לדרג מטריצה ללא שימוש בפעולת כפילת שורה בסקלר?

תשובה

לדרג עד מתי? שיהיה מדורג או קנוני?

על מנת לדרג קנונית חייבים לפעמים להשתמש בכפל בסקלר, על מנת לדרג סתם ניתן בלבד ע"י החלפת שורות וחיסור כפולה של שורה משורה אחרת.

תודה רבה לך.

שאלה

אם אני מחפש צורת ז'ורדן של מטריצה כלשהי, ידוע לי גם הפולינום האופייני, גם הפולינום המינימלי, וגם הריבוי הגיאומטרי של כל ע"ע, ועדיין אני לא מסוגל להחליט על צורת ז'ורדן כלשהי, מה עושים אז?

תשובה

שאלה יפה, זה לא חלק מחומר הקורס. בגדול התשובה היא שזה גם תלוי בוקטורים העצמיים ואיך הם מתנהגים עם המטריצה.

שאלה

אם עשיתי פעולות שורה על מטריצה, המטריצה המקורית והמטריצה של הפעולות שורה ועמודה דומות?

תשובה

לא. אחרת כל המטריצות ההפיכות למשל היו דומות למטריצת היחידה. דוגמא נגדית פשוטה:

[math]\displaystyle{ I=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} }[/math]

ע"י חיבור השורה השנייה לראשונה נקבל:

[math]\displaystyle{ I'=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix} }[/math]

שתי המטריצות הן בצורת ז'ורדן, הראשונה מכילה שני בלוקים בגודל 1 והשניה מכילה בלוק אחד בגודל 2. לכן הן לא דומות

שאלה - צורת ז'ורדן

אחרי שסיימתי את התרגיל יש עדיין משהו שאני לא לגמרי בטוח בו - אם יש לי שתי מטריצות מאותו סדר ומעל אותו שדה, ולשתיהן יש את אותו פולינום אופייני ואותו פולינום מינימלי - האם בהכרח לשתיהן יש את אותה צורת ז'ורדן (כמובן עד כדי סדר הבלוקים)?

תשובה

זה לא נכון, ואפילו אם הריבוי הגיאומטרי היה שווה זה עדיין לא נכון (זו התשובה לתרגיל)

אז מה עושים במקרה שאני מחפש צורת ז'ורדן של מטריצה, ונתקע אחרי כל 3 הפרמטרים? (פולינום אופיני מינימלי ור"ג)

לא למדנו את זה במסגרת הקורס ואינך נדרש לדעת. היינו לומדים את זה אם היינו מוכיחים את משפט הקיום של ז'ורדן אבל זו סטייה רצינית מהסילבוס של הקורס

טענה

לא הצלחתי להעלות את תרגיל 4! ולכן לא היה לי זמן להשלים אותו מחברים! (אני עובד על השיעורים רק מאוחר בלילה, אז אך אחד לא יכל לעזור לי...). לא הגשתי אותם- מה אני עושה?

תשובה

לא הייתה סיבה אמיתית שהוא לא יעלה, ואני עניתי דיי במיידית לטענות כאלה. לתרגיל שלא מוגש אין ציון, מותר להחסיר תרגיל אחד, ובסוף הסמסטר הממוצע יחשב בלעדיו.