[math]\displaystyle{ \dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

הודעה חשובה !!! - יש להגיש את התרגילים הנוספים (13 , ו 14 כרשות למי שמגיש ) עד ,וכולל , 16.9.2010 ! למשל לתא הבודקת הילה הלוי בכר , או לתומר ביום רביעי או לניר ביום חמישי - בתרגולי החזרה . אנא הודיעו למי שאתם יודעים שלא יגיע לתרגולים אלו . תודה:)

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1

ארכיון 2 - תרגיל 2

ארכיון 3 - בוחן + תרגיל 3

ארכיון 4 - תרגיל 3

שאלות

אם אני יודע ש: v מרחב וקטורי נוצר סופית,[math]\displaystyle{ B\subseteq V }[/math] ובנוסף:

[math]\displaystyle{ sp(B)=V }[/math]
B בת"ל.

אז אני יכול להגיד ש-B בסיס עבור V?

שאלה 7.10

העברתי את המטריצות לעמודות, ודירגתי את המטריצה שהתקבלה. יצאו לי ארבע שורות אפסים, האם זה אומר שהן תלויות לינארית ? איך מנמקים את זה?

תשובה

השאלה היא לא כמה שורות אפסים יש, אלא כמה משתנים חופשיים יש. אם קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת Ax=0 אזי עמודות A תלויות לינארית.

שאלה

איך מוכיחים שקבוצה היא פורשת? ואיך מוצאים בסיס לקבוצה?

תשובה

למדנו שמרחבי השורות של מטריצות שקולות שורה הם זהים. לכן על מנת למצוא בסיס לקבוצת וקטורים יש לשים אותם בשורות מטריצה ולדרג את המטריצה. בצורה המדורגת של המטריצה, השורות השונות מאפס מהוות בסיס למרחב השורות.

הspan של הקבוצה הוא כמובן הspan של השורות השונות מאפס בצורה המדורגת. כך ניתן לדעת מה הקבוצה פורשת (קבוצה תמיד פורשת את הspan שלה - זו ההגדרה).

כאשר יש מרחב וקטורי של פולינומים או מטריצות - מעבירים אותו לצורה וקטורית פשוטה כמו בתרגיל לדוגמא שפרסמנו בעמוד הראשי.

שאלה על מימדים

מה המימד של המרחב הוקטורי המכיל רק 0? האם סכום ישר אומר שהחיתוך נותן 0? כי אם כך אז המימד של {(a,b,0,0) סכום ישר (0a,0,d,c)} שווה לסכום המימדים שהוא 4, פחות מימד החיתוך שהוא 1, לא? אזי מימד הסכום שווה ל3 אבל הוא באמת שווה ל-4. מה הולך פה?

תשובה

המימד של מרחב האפס {0} הוא אפס. הבסיס שלו הוא הקבוצה הריקה.

שאלה כללית

האם שורותיה של מטריצה בדורגת הם בהכרח בת"ל?

תשובה

שורותיה השונות מאפס של מטריצה מדורגת הן בהכרח בת"ל. אף שורה איננה צ"ל של קודמותיה, כי יש לה אפסים במקומות בהם יש לשורות הקודמות איברים פותחים.

שאלה

האם אני יכול להגיד את הדבר הבא? [math]\displaystyle{ span(A+B)=span(span(A\cup B))=span(A\cup B)=A\cup B=span(A)\cup span(B) }[/math] תודה מראש...

תשובה

לא. האיחוד של תתי מרחבים לרוב אינו תת מרחב. שאלה זו מופיעה בתרגיל 3, והפרכתה נמצאת בפתרונות.

המעבר הראשון הלא חוקי (משמאל לימין) הוא שאפשר להוריד את הspan ולהשאיר שיוויון. מה פתאום הspan של קבוצה שווה לקבוצה? הרי הקבוצה יכולה להיות סופית, ואוסף כל הצירופים הלינאריים הוא אינו סופי (מעל שדה אינסופי כמובן)

שאלה

1.אם (V1,v2...vn) וקטורים בת"ל וגם (u1,u2,...,un) וקטורים בת"ל ומתקיים ש: v1=a1u1+a2u2...anun,...,vn=b1u1+b2u2+...+bnun , אני יכולה להגיד ש {a1,...,an}..{b1,...,bn הם בת"ל?

2. מטריצת מעבר היא חייבת להיות ריבועית?

תשובה

1. סקלרים לא יכולים לעולם להיות בת"ל. ההגדרה של בת"ל תקפה רק לגבי וקטורים.

2. כן. כי הרי יש בה n עמודות (מספר האיברים בבסיס B) שכל אחת מהן באורך n (מספר האיברים בבסיס C). הרי מספר האיברים זהה בכל הבסיסים.

לגבי 1. אני לא מבינה! הרי כן אפשר להסתכל על כוקטורי עמודה {a1,..,an},{b1,...,bn ולשאול האם הם תלויים לינארית?

הסימון עם סוגריים מסולסלים מסמן קבוצה, ולא וקטור עמודה. את מתכוונת ל[math]\displaystyle{ (a_1,...,a_n),(b_1,...,b_n) }[/math]? (כלומר, 2 וקטורי קואורדינטות) אה.. אני בכלל מבין עכשיו את הטעות בסימון. מהם הסקלרים שבין a ל b?

אני מניח שהתכוונת ל

[math]\displaystyle{ v_i=a_{1i}u_1+...+a_{ni}u_n }[/math] ואז השאלה אם הקבוצה [math]\displaystyle{ \{(a_{1i},...,a_{ni})|1\leq i \leq n\} }[/math] היא בת"ל. אבל זה בדיוק השאלה בשיעורי הבית. צריך להוכיח את זה.

רמז: ההעתקה מv לקואורדינטות של v לפי בסיס מסוים, הינה העתקה לינארית.

שאלה 2 בדף המצורף

כל מספר מסוים של וקטורים מתוך מרחב מסוים שהם בת"ל הם בהכרח גם בסיס של אותו המרחב?

תשובה

בוודאי שלא. בסיס הוא פורש וגם בת"ל. אחד התנאים בלבד אינו מספיק. מספר הוקטורים היחיד שיכול להיות בבסיס הוא המימד של המרחב.

לדוגמא: [math]\displaystyle{ \{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3 }[/math] בת"ל אבל לא בסיס.

אבל (ואולי לזה התכוונת) אם ניקח קבוצה בת"ל עם מספר וקטורים כגודל המימד של המרחב היא אכן תהיה בסיס תודות למשפט השלישי חינם.

שאלה 6.4א

בשאלה מבקשים לוהכיח שאם חיתוך של שני ספאנים שונה מאפס, אבל כל ספאן יוצר צירוף לינארי מתאפס, אז הטענה בכלל לא יכולה להיות נכונה, האם זה בעיה בתרגיל?

תשובה

[math]\displaystyle{ \{0,1\}\neq \{0\} }[/math]

שאלה על התשובה

את/ה יכול/ה לתת דוגמא ל2 קבוצות שמקיימות את התנאי הזה?

דוגמא

ניקח [math]\displaystyle{ B=\{(1,0,1),(1,0,-1)\},A=\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3 }[/math]

[math]\displaystyle{ span(A)\cap span(B) = span\{(1,0,0)\}\neq \{0\} }[/math]

במילים: יש צירוף לינארי של A וצירוף לינארי של B ששניהם שווים זה לזה אבל שונים מאפס.

שאלה 3 ב בבוחן

שלום, לא הבנתי למה הזווית של 1+i היא בדיוק פי חלקי ארבע? מה החישוב שעושים?

תשובה

במישור המרוכב זו הנקודה (1,1) שנמצאת בדיוק על הקו הישר x=y שנמצא בזוית 45 מעלות (כי הוא חוצה את הזוית הישרה בין הצירים). אם זה לא מספיק ברור, גם [math]\displaystyle{ tg(\theta)=\frac{b}{a}=\frac{1}{1}=1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \theta = \frac{\pi}{4} }[/math]

שאלה 1 ב' בבוחן

בפתרונות כתוב שאם נדרג נמצא שורת סתירה עבור a=0ולכן אין פיתרון. דרגתי כמה וכמה פעמים ואני לא מוצאת שום שורת סתירה! אני כן מחלקת בa כחלק מהפעולות אלמנטריות אבל כשאני רוצה להוכיח שבאמת אין פיתרון עבור a=0 אני לא מצליחה! אתה יכול לפרט יותר?

תשובה

אסור לחלק בa כחלק מהפעולות האלמנטריות כאשר בודקים את המקרה a=0 זה מקור הטעות.

תציבי במטריצה המקורית a=0 ותראי לאן את מגיעה. אוקי תודה!