לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

[math]\displaystyle{ \dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

הודעה חשובה !!! - יש להגיש את התרגילים הנוספים (13 , ו 14 כרשות למי שמגיש ) עד ,וכולל , 16.9.2010 ! למשל לתא הבודקת הילה הלוי בכר , או לתומר ביום רביעי או לניר ביום חמישי - בתרגולי החזרה . אנא הודיעו למי שאתם יודעים שלא יגיע לתרגולים אלו . תודה:)

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1

ארכיון 2 - תרגיל 2

ארכיון 3 - בוחן + תרגיל 3

ארכיון 4 - תרגיל 3

שאלות

קיים וקטור v+

זה בסדר אם אני אומר שאם [math]\displaystyle{ P\begin{pmatrix}v&Av&\cdots&A^{k-1}v\end{pmatrix}=v }[/math] לכל וקטור [math]\displaystyle{ A^{k-1}v\not=\vec0 }[/math] (בשאלה 7.19) עבור מטריצה P כלשהי אז [math]\displaystyle{ (v^+P)\begin{pmatrix}v&Av&\cdots&A^{k-1}v\end{pmatrix}=v^+v=I }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ v^+ }[/math] הוא מקיים [math]\displaystyle{ v^+v=I }[/math] (נקרא הפסבדו הופכי של v)? במילים אחרות, האם צריך להוכיח שלכל וקטור המקיים [math]\displaystyle{ A^{k-1}v\not=\vec0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ v^+ }[/math] כנ"ל?

7.32

אם המטריצות הן מעל c אז איך בכלל ניתן לייצג אותן מעל r?

שאלה

האם ניתן להגיד ש [math]\displaystyle{ dim(A)\gt =dim(span(A)) }[/math] תמיד? וצריך להסביר את זה בצורה כלשהי? ועוד משהו- אם נתון לי ש A מוכלת בspan(B)- אפשר להגיד ש[math]\displaystyle{ dim(A)\lt =dim(span(B)) }[/math]?

A אינו בהכרח מ"ו ולכן זה לא נכון. אתה יכול להגיד ש-[math]\displaystyle{ \forall A:|A|\ge\dim(\operatorname{span}(A)) }[/math]. לשאלה השנייה אין שום טעם - העוצמה של A יכולה להיות גדולה, קטנה או שווה למימד. למשל [math]\displaystyle{ A_1=\{(1,0)\},A_2=\{(1,0),(0,1)\},A_3=\{(1,0),(0,1),(1,1)\} }[/math] מקיימות [math]\displaystyle{ 1=|A_1|\lt \dim(\mathbb R^2),2=|A_2|=\dim(\mathbb R^2),3=|A_3|\gt \dim(\mathbb R^2) }[/math]

#בהמשך לשאלה: "דרך הפתרון ל7.9"

ובהקשר לשאלה השלישית, אתה יודע בעצמך מהו הבסיס ונובע מזה שהמימד הוא n (כי יש בבסיס n איברים)

כמה שאלות קטנות

• הגדרה מתמטית של מרחב שורות: בהגדרה המתמטית כופלים את השיחלוף של המטריצה ב-v שהוא וקטור (שייך ל-[math]\displaystyle{ F^m }[/math]). אז וקטור יש, ואיפה הסקלר? ולמה המטריצה?
• האם יש משפט שאומר שאחרי דירוג קנוני של המטריצה (או שמספיק דירוג רגיל?), כל וקטורי השורות (מלבד וקטור 0) שמתקבלים הם בת"ל? (כמובן שזה די טריוויאלי אבל האם מספיק טריוויאלי בשביל להשתמש בזה בתרגיל בלי הסבר?)
• האם יש משפט שאומר ש-[math]\displaystyle{ dim(R^n)=n }[/math]?

תודה מראש!

7.19

הצלחתי להוכיח את מה שהיה צ"ל ברמז (ש v, Av,..Ak-1v בת"ל). אפשר עזרה לגבי- מה עושים עכשיו? איך הרמז מתקשר בכלל לשאלה? תודה.

נראה לי שהבנתי, האם הפתרון של מקובל? לפי תשובה לשאלה קודמת פה, הכמות המקסימלית לאיברים בקבוצה בת"ל הוא כמימד המרחב, ולכן ak=an2 ולכן an2=0 ולכן an*an=0 וזה אומר ש an=0? תודה. (מחקו אם יש עדיפות לא להראות פתרונות והפתרון נכון, תודה.)

זה אמור להיות [math]\displaystyle{ a_n^2 }[/math]? במטריצות יש מחלקי אפס ואי אפשר להסיק כפי שהסקת. אבל אפשר להסיק על [math]\displaystyle{ A^{n}v }[/math] כמו שתארתי.

כן זה היה אמור להיות n בריבוע, סימן שטעיתי. אבל לא הבנתי איך אפשר להסיק על Anv ואיך זה עוזר.

חוץ מזה לא הבנתי עוד משהו, אמרת שאם קבוצה עם n איברים היא בת"ל (מקסימלית?) אזי האיבר הn+1 שווה אפס. למה זה נכון, הוא יכול להיות גם תלוי לינארית באיברים 1 עד n, לא?

העתקה לינארית

מותר להשתמש בעובדה ש-[math]\displaystyle{ [\ ]_B:V\to\mathbb F^n }[/math] היא העתקה לינארית? או שצריך להוכיח?

תשובה

אם למדתם בהרצאה, מותר להשתמש (חייבים להזכיר את זה כמובן)

שאלה בקשר לתשובה

בהרצאה הראנו שההעתקה היא ליניארית וגם חח"ע ועל אז בשאלות בדף מותר לי להניח את זה (ולציין שכך הראנו בהרצאה) ורק להראות את ההתחייבות שהבת"ל נשמר (ב-2 א) או ההשתייכות לנפרש(ב- 2ב)?

I]^B_C]

צ"ל ש-[math]\displaystyle{ [I]_C^B }[/math] מטריצה ריבועית?

כן.

שאלה 6.5

לא הבנתי איך מוצאים את האיבר הכללי, אפשר הסבר? (קראתי את התשובות למטה ועדיין לא הבנתי..)

תשובה

אפשר בעזרת קואורדינטות ואפשר באמצעות פתרון ישיר של מערכת משוואות

[math]\displaystyle{ a+bx+cx^2=\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3 }[/math] כאשר a,b,c פרמטרים נתונים, וצריך לחשב את אלפא בטא גמא (הדוגמא שנתתי היא פולינום כללי, וקטור כללי יהיה [math]\displaystyle{ (a,b,c) }[/math] וכדומה).

שאלה בקשר לתשובה

בסעיף של הפולינומים אפשר לכתוב את האיבר הכללי כ פולינום מהצורה : a+b)+(2b+c)x+(3c)x^2+(a+b+2c)x^3) כאשר a,b,c פרמטרים? (זו אינה התשובה)

צ"ל?

יהי C בסיס למ"ו U. האם צריך להוכיח שקיים בסיס [math]\displaystyle{ C\subseteq B }[/math] ל-[math]\displaystyle{ U\le V }[/math]? או שזה טריוויאלי?

תשובה

לא. רושמים "נשלים לבסיס למרחב כולו"

6.5ג

ב-6.5, סעיף ג', הכוונה ב-[math]\displaystyle{ \mathbb F^{2\times2} }[/math] היא [math]\displaystyle{ \mathbb R^{2\times2} }[/math]?

תשובה

זה לא משנה באמת, השאלה בסדר כמו שהיא.

כלומר מספיק למצוא הפרכה לשדה F כלשהו? או שצריך לבדוק אם לכל שדה F הטענה לא מתקיימת (ואם לא - מה לעשות?)?

כן, מספיק למצוא הפרכה לשדה מסויים או להוכיח לכל שדה.

שאלה

נתון [math]\displaystyle{ V=\mathbb{F}^n }[/math] וגם ש[math]\displaystyle{ \mathbb{H} }[/math] תת שדה של [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] אם אני יודע שהמימד של F מעל H הוא m אז אני יכול להגיד דבר כזה: [math]\displaystyle{ V=\mathbb{F}^n=(\mathbb{H}^m)^n=\mathbb{H}^{mn} }[/math] כלומר המימד של V מעל השדה H הוא mn? תודה מראש!

תשובה

לא, זה מה שצריך להוכיח.

אבל אני יודע ש:[math]\displaystyle{ V=\mathbb{F}^n }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{H}^m }[/math] אז כאילו אני מציב ומקבל [math]\displaystyle{ V=\mathbb{H}^{nm} }[/math]

אבל לא למדנו חוקי חזקות למרחבים וקטורים - זה מה שצריך להוכיח.

וחובה להשתמש בזה שH תת שדה של F? (לא אותו אחד ששאל מקודם.)

צריך להשתמש בכך שF מ"ו מעל H

שאלה ראשונה בדף

האם הנימוק הבא מספיק: מספר האיברים של כל בסיס של מרחב וקטורי ממימד N שווה ל N => מספר האיברים ב B שווה לN, מספר האיברים ב C שווה ל N => יהיו לי N עמודות (כל עמודה מייצגת את הקורדינטות ליצוג איבר מסויים מB לפי איברי C ובגלל שיש N איברים יש N עמודות כאלה שמיצגות אותם) ויהיו N שורות (מכיוון שבC יש N איברים כל וקטור בB מוצג כצירוף ליניארי של N האיברים בC ולכן מספר הקורדינטות שווה לN ומכאן שיש N איברים בכל עמודה שזה אומר N שורות) => המטריצה ריבועית. לפי מה שהוכחנו בכיתה לכל וקטור במרחב יש הצגה יחידה לפי בסיס מסויים ולכן לכל איבר בB יש הצגה יחידה לפי C ומכאן שלכל איבר בB יש וקטור קורדינטות יחיד => לפי המשפט שאם קבוצת וקטורים בת"ל אזי קבוצת וקטורי הקורדינטות שלהם בת"ל (מוכיחים את זה בשאלה הבאה אני מניח שמותר לי להשתמש בזה לא?) אזי העמודות של המטריצה שקיבלנו בת"ל. => מכיוון שקיבלנו מטריצה ריבועית שעמודותיה בת"ל ומכאן לפי משפט מטריצה זו הפיכה. זה הסבר מילולי קצת ארוך אבל האם הוא מספיק מפורט בשביל להוות הוכחה ללא חישובים? תודה (בבקשה שרק מתרגל יענה)

תשובה

" לפי המשפט שאם קבוצת וקטורים בת"ל אזי קבוצת וקטורי הקורדינטות שלהם בת"ל אזי העמודות של המטריצה שקיבלנו בת"ל. => מכיוון שקיבלנו מטריצה ריבועית שעמודותיה בת"ל ומכאן לפי משפט מטריצה זו הפיכה"

אני לא מבין מה צריך את כל הסיפור לפני כן.

אז אני יכול להסיק ישר שהמטריצה ריבועית ואז לכתוב את המשפט הזה וזה הוכחה שתופסת?

אה הבנתי עכשיו שאתה מראה שם שהמטריצה ריבועית, זה אכן חשוב. תנסה לתמצת את הסיפור. למשל מספר האיברים בB הוא n לכן [math]\displaystyle{ [v]_B\in F^n }[/math]. וכדומה.

אני אראה איך אני יכול לתמצת אבל בכללי הדרך הוכחה הזו מספיקה או שחסר בה משהו שצריך לציין או להסביר?

זה מספיק.

בהמשך לשאלה: "דרך הפתרון ל7.9"

לא הבנתי את מה שכתבתם שם, ונראה לי שזה יכול לקצר ולהקל מאוד על פתרון שאלות מהסוג הזה, אז חשוב לי להבין. מה עוזר דירוג המטריצה שהשורות שלה הם הוקטורים הנתונים? מה ניתן להסיק ממה שמתקבל? אם מתקבלת שורת אפסים - מה זה אומר? ואם לא? ואם מתקבל טור אפסים?

תודה מראש!

תשובה

אתה חייב לציין מה לא הבנת בדיוק.

האם אתה מבין מהו מרחב שורות? ושלמטריצות שקולות שורה יש אותו מרחב שורות?

תשובה לתשובה

את ההגדרה המילולית: "מרחב השורות הוא אוסף הצירופים הלינאריים של כל השורות במטריצה" אני מבינה, פשוט מתייחסים לכל שורה כוקטור ומרחב השורות הוא הנפרש שלהם. את ההגדרה המתמטית לא כל כך הבנתי (למה כופלים את המטריצה המשוחלפת בוקטור? לפי ההגדרה המילולית אמורים לכפול את הוקטור בסקלר, לא?)

את המשפט שלמטריצות שקולות שורה יש אותו מרחב שורות הבנתי.

ניסיתי לפרט כמה שיותר מה לא הבנתי, הנה:

"מה עוזר דירוג המטריצה שהשורות שלה הם הוקטורים הנתונים? מה ניתן להסיק ממה שמתקבל? אם מתקבלת שורת אפסים - מה זה אומר? ואם לא? ואם מתקבל טור אפסים?"

תודה על העזרה!

• ההגדרה המתמטית מסתמכת על העובדה ש[math]\displaystyle{ Ax }[/math] הוא צירוף לינארי של עמודות A עם הסקלרים מהוקטור x. כאשר שמים את A משוחלפת, העמודות שלה הן השורות של A. זה שקול ללכפול את השורות של A בסקלרים ולחבר.

• אם את מסכימה שלמטריצות שקולות שורה יש אותו מרחב שורה, אז מה לא ברור בפעולת הדירוג? פעולות דירוג מעבירות מטריצה אחת למטריצה אחרת ששקולת שורה לראשונה. לכן לאחר פעולות שורה, המטריצה שהתקבל היא בעלת אותו מרחב שורות כמו הראשונה. זה ברור?

• בצורה המדורגת השורות השונות מאפס מהוות בסיס למרחב השורות. כך ניתן לדעת מהו המימד של מרחב השורות. אם קיבלת שורת אפסים, זה אומר שבקבוצה המקורית היו יותר וקטורים מאשר גודל המימד ולכן היא הייתה בהכרח ת"ל. טור אפסים לא רלוונטי לתהליך הספציפי הזה.

תודה רבה!!! נשארו רק כמה דברים קטנים מאוד שלא הבנתי (והעברתי את השאלות למעלה)

שאלה כללית

האם מותר לי לומר ישירות שהבסיס של תת מרחב שמכיל רק איבר האפס הוא 1? ( ד"א האם קבוצה כזו בכלל נחשבת תת מרחב?)

תשובה

לפי מה שידוע לי, 0 לא יכול לשמש כבסיס כי כל צירוף לינארי שיש בו 0 הוא תלוי לינארית (כי אפשר להגיע ל-0 מצירוף לא טריוויאלי). אז אני די בטוח שמספר האיברים בבסיס של תת מרחב כזה הוא 0.

#שאלה על מימדים

8.2.1/2

בסעיף ד אם אני מגיע לכך שהתחום חייב להתקיים האם זה מספיק או שצריך לתת דוגמא לכל אפשרות בתחום ?(כי פתרנו משהו דומה בתרגול ואמרת לנו שצריך להראות דוגמאות אבל אני לא מבין למה צריך במקרה זה, כי אם זה לא מתקיים עבור אחד המקרה בתחום זה עדין אומר שכל מימד של חיתוך כזה חייב להיות בתחום)

תשובה

השאלה בכיתה הייתה "מהן האפשרויות" והיית צריך להראות שיש דוגמאות על מנת לדעת שצמצמת את התחום מספיק.

כאן מבקשים ממך להוכיח אי שיוויון בלבד, זה לא מעניינך אם אפשר למצוא אי שיוויון טוב יותר או שאי אפשר.

7.7 ב'

בשביל להוכיח את ב' לא השתמשתי בנתון ש-U תת מרחב וקטורי של V. האם אני אמורה להשתמש בו? כי גם בסעיף ג' הם אומרים שהקבוצה B מוכלת ב-V ואני לא רואה למה הנתון הזה הכרחי...

תשובה

ברור שזה חשוב, הנה דוגמא נגדית אחרת: [math]\displaystyle{ U=span\{(0,1,0),(0,0,1)\} }[/math], [math]\displaystyle{ V=span\{(1,0,0),(0,1,0)\} }[/math]

dimU=dimV=2 אבל [math]\displaystyle{ U\neq V }[/math]

תשובה לתשובה

תודה!

אם כך, אני חושבת שבחלק מהמשפטים שהוכחנו בהרצאה לא כתבנו את כל התנאים, כי יש לי במחברת משפט שאומר: "יהי V מ"ו כאשר dimV=n, אז כל קבוצה בת"ל עם n איברים היא בסיס ל-V". מהו המשפט הנכון?

"...אזי כל קבוצה המוכלת בV שהיא בת"ל עם n איברים...."

"יהי V מ"ו כאשר dimV=n, אזי כל קבוצה בת"ל המוכלת ב-V עם n איברים היא בסיס ל-V". תודה רבה!

שאלה 8.2.1/2

בסעיף ג' מותר לקחת בתור U ו-W מרחבים שהסכום שלהם אינו ישר?(במטרה שלהראות שאם הביטוי בשמאל מתקיים לא בהכרח הביטוי מימין גם מתקיים)
תודה

תשובה

אם זה לא סותר את נתוני השאלה אתה יכול לקחת את מה שאתה רוצה.

צ"ל?

יהי בסיס B ויהיו [math]\displaystyle{ b_i }[/math] איברי B. האם צריך להוכיח שלכל i, מספר האיברים ב-[math]\displaystyle{ b_i }[/math] שווה לעוצמת הבסיס? או שזה מספיק טריוויאלי?

תשובה

זה לא ממש הגיוני מה שרשמת,הרי [math]\displaystyle{ b_i }[/math] איבר ולא בהכרח קבוצה, אז איך יהיה לו מספר איברים?

תשובה נוספת

אני רואה פה כבר בילבול מושגים שחוזר על עצמו:

הוקטור (1,0,1) הינו איבר אחד בלבד כמו כן הפולינום 1+x^2 הוא איבר אחד בלבד. הם לא קבוצות עם 3 איברים. יש ב(1,0,1) 3 רכיבים: 1, 0 ושוב 1. בפולינום יש את הרכיבים 1, 0x, x^2.

כמות הרכיבים של וקטור הקואורדינטות זהה למספר האיברים בבסיס שהוא המימד. מאד מומלץ לקרוא את המסמך בעמוד הראשי בנושא

הבהרה

1. לפי ההגדרה המקובלת של קורטובסקי (Kazimierz Kuratowski), כל n-יה סדורה היא כן קבוצה ([math]\displaystyle{ (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\} }[/math] ו-n-יה סדורה מוגדרת רקורסיבית כזוג סדור, שהאיבר הראשון שלו הוא האיבר הראשון ב-n-יה הסדורה, והאיבר השני הוא ה-(n-1)-יה הסדורה שנותרה, כלומר: [math]\displaystyle{ (a_1,a_2,\cdots,a_n):=(a_1,(a_2,\cdots,a_n)) }[/math]).
2. לא הייתי בטוח איך לנסח את זה, אבל כשכתבתי "מספר האיברים ב-[math]\displaystyle{ b_i }[/math]" התכוונתי למספר ה"רכיבים": מספר האיברים/רכיבים ב-[math]\displaystyle{ (a_1,a_2,\cdots,a_n) }[/math] הוא n. ברור לי שזה לא אותו דבר כמו עוצמה (הרי העוצמה של n-יה סדורה היא 1 או שניים).
3. לא עניתם על השאלה: האם מותר לומר שמספר הרכיבים ב-[math]\displaystyle{ b_i }[/math] הוא [math]\displaystyle{ |B| }[/math], או שצריך להוכיח? תודה, 18:56, 20 באוגוסט 2010 (IDT)

תשובה

• אתה מניח פה שמרחב הוקטורי היחיד הוא מרחב הn-יות הסדורות. כפי שלמדנו זה לא נכון. לכן הניסוח המדויק הוא מספר הרכיבים בוקטור הקואורדינטות. וזה נכון כי וקטור הקואורדינטות הוא תמיד בF^n כאשר n הוא המימד של המרחב.

• חשוב מאד לשים לב לקואורדינטות לפי איזה בסיס מדובר. כלומר, אם תסתכל על הקואורדינטות לפי הבסיס B מספר הרכיבים יהיה העוצמה של B. אבל אם נגיד B פורש תת מרחב ממימד 2 במרחב ממימד 3, ואתה מסתכל על הקואורדינטות לפי בסיס למרחב כולו ולא הבסיס B יכול להיות שמספר הרכיבים שלו יהיה גדול מהעוצמה של B. למשל:

[math]\displaystyle{ B=\{(1,0,0)\} }[/math] מעוצמה 1 אבל הוקטורים הם עם 3 רכיבים (כי זה למעשה וקטור הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math]. לעומת זאת, הקואורדינטות של איבר הבסיס B לפי הבסיס B הם (1) עם רכיב אחד.

ואני אדגיש שוב את התשובה לשאלה: אין משמעות למושג מספר הרכיבים של וקטור באופן כללי.

מותר?

האם אפשר להוכיח תלות לינארית בין וקטורים נתונים לפי ציון מפורש של המקדמים, בלי להראות איך הגענו למקדמים האלה? למשל, נתונים [math]\displaystyle{ (1,2,3), (2,3,4), (2,2,2) }[/math] - האם מותר לומר שיש תלות לינארית כי [math]\displaystyle{ (2,3,4)=1\cdot(1,2,3)+\tfrac{1}{2}\cdot(2,2,2) }[/math], מבלי לציין איך הגענו למקדמים [math]\displaystyle{ 1,\tfrac{1}{2} }[/math]? תודה.

תשובה

מה אני אגיד? כן מותר, אבל אסור מן הסתם להעתיק את התשובה הזו מאחרים.

שאלה 2 בדף

בסעיף a, האם אפשר להגיד שנתאים לכל וקטור v1,..vn התאמה חח"ע, על והפיכה כך ש vi=[vi]b ולכן בכלל ש v1,..vn בת"ל אז [v1]b,..[vn]b בת"ל? ומכיוון שההתאמה הפיכה אז גם להפך? כי אני לא מצליח להוכיח את זה בצורה אחרת.

תשובה

כן ולא. בגדול מה שאתה אומר הוא נכון. אבל צריך להסביר 2 דברים:

1. מדוע ההתאמה הזו היא חח"ע

2. מדוע התאמה לינארית חח"ע משאירה קבוצה בת"ל - בת"ל.

שאלה 8.4

אפשר להגיד שאם [math]\displaystyle{ u1+u2=u1+u3 }[/math] אז [math]\displaystyle{ dim(u1+u3)=dim(u1+u2) }[/math]

כן. אם שני מ"ו שווים זה לזה אז הם אותו מרחב (כלומר, יש להם אותם איברים ואותן פעולות חיבור וקטורים וכפל בסקלר). לכן ברור שגם המימדים שלהם זהים.

שאלה 7.19

אפשר רמז? ולא הבנתי מה קשור הרמז שהם נתנו ואיך הוא עוזר? תודה רבה.

מתוך העמוד הראשי:

דוגמא לעבודה עם מטריצות כוקטורים

דוגמא שימושית לתרגיל 4.

קראתי את הדוגמה הזאת וזה ממש עזר לי ב2 התרגילים מהדף המצורף (ובכלל להבין את החומר) אבל זה ממש לא עזר לי להבין איך לפתור את 7.19

נכון, לכן תקרא את התשובה שלי בדיוק מתחת --ארז שיינר 14:24, 20 באוגוסט 2010 (IDT)

תשובה

דווקא אני לא בטוח שהדוגמא הזו עוזרת. צריך להוכיח שהקבוצה שם בת"ל לפי ההגדרה - כל צירוף לינארי שלה מתאפס. איך זה עוזר? כי בתוך מרחב ממימד n כמה וקטורים הכי הרבה יכולים להיות בקבוצה בת"ל?

n, אבל איך זה עוזר?

אם אין יותר מn איברים שונים מאפס, אז האיבר הn+1 שווה אפס.

צ"ל טריוויאלי

האם צ"ל שאם [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n{\left(\alpha_i\begin{pmatrix}b_1&b_2&\cdots&b_m\end{pmatrix}\right)[v_i]_B}=\vec0\iff\forall i\in\{1,\dots,n\}:\alpha_i\begin{pmatrix}b_1&b_2&\cdots&b_m\end{pmatrix}=\vec0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ [v_1]_B,[v_2]_B,\dots,[v_n]_B }[/math] בת"ל? (ההבדל בין הטענה הזו לבין מה שלמדנו בהרצאה הוא שכאן יש מכפלה וקטורית). או שזה מספיק טריוויאלי? תודה.

תשובה

אני לא מבין את הטענה ולכן היא אינה טריוויאלית. לא למדנו מכפלה וקטורית.

אני מדבר על מכפלה וקטורית במ"ו של מטריצות, ואותה כן למדנו.

זו לא מכפלה וקטורית, זה כפל מטריצות. ולכן צריכים להיות וקטורי קואודדינטות בעמודות ולא סתם וקטורים. בכל אופן, זה מראה שבעצם המטריצה עם הb_i (בנהחה שהם קואו' וזו אכן מטריצה) כפול [math]\displaystyle{ [v_i]_B }[/math] הם בת"ל ולא רק וקטורי העמודה [math]\displaystyle{ [v_i]_B }[/math].

שכחתי לציין שהבסיס הוא [math]\displaystyle{ B=\{b_1,b_2,\dots,b_m\} }[/math]. בכל אופן, אם אני מפרט שה-b-ים הם וקטורי הבסיס - אפשר לומר שוקטורי העמודה [math]\displaystyle{ [v_i]_B }[/math] בת"ל?

הם וקטורי בסיס, אבל יכולים להיות פולינומים. מה המשמעות של לשים פולינום כעמודה? אני עדיין לא רואה כיצד זה נובע, בוודאי בוודאי שזה לא טריוויאלי.

בסיס

מה הכוונה בהגדרה של מימד, מספר האיברים בבסיס?נניח [math]\displaystyle{ V=R^2 }[/math] וניקח בסיס {(1 0),(0 1)} אז אני מבין שיש שני וקטורים שפורשים ובכל וקטור שני רכיבים- 1,0. אז מה נחשב למספר האיברים בבסיס?

יהי מ"ו [math]\displaystyle{ V }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס שלו. אזי המימד של [math]\displaystyle{ V }[/math] יסומן [math]\displaystyle{ \dim(V) }[/math] ויוגדר כמספר האיברים בבסיס. כלומר: [math]\displaystyle{ \dim(V):=|B| }[/math].

לא ענית לי לשאלה!אני יודע את ההגדרה!השאלה שלי היא מה נחשב למספר האיברים בבסיס?לפי הדוגמא שהבאתי..

2, מן הסתם, כי יש שני איברים בבסיס [math]\displaystyle{ \Big) }[/math]שהם [math]\displaystyle{ (1,0) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \Big((0,1) }[/math]. באופן כללי, [math]\displaystyle{ \dim(\mathbb F^n)=n\cdot\dim(\mathbb F) }[/math].

בסיסים

הוכחנו בכיתה שאם יש קבוצה פורשת שבה n איברים ועוד קבוצה בת"ל שבה m איברים אז m<=n.

זה לא מסתדר לי, כי זה הרי אומר שמספר האיברים בכל הבסיסים שקיימים - שווה (כי בסיס פורש ובת"ל).

אפשר הסבר? תודה מראש!

תשובה

מספר האיברים בכל הבסיסים אכן שווה - זה משפט.

יותר מזה, מספר האיברים בבסיס (הרי לא משנה איזה בסיס בחרת זה אותו מספר) מוגדר להיות המימד של המרחב.

תשובה לתשובה

תודה, אבל לא הבנת את השאלה שלי. אני דיברתי על בסיסים שהם לא בסיסים של אותו המרחב אלא של מרחבים שונים זה מזה. כמובן שמספר האיברים בהם לא בהכרח שווה, אז אני כנראה הבנתי את המשפט הזה לא נכון..?

תשובה

המשפט מדבר על קבוצות בתוך מרחב ספציפי נתון, ולא בין מרחבים שונים. הרי המושג פורש מתייחס למרחב הנתון ששניהם נמצאים בו, אחרת כל קבוצה בעולם היא פורשת (שכן כל קבוצה פורסת את הSpan של עצמה).

הבהרה

אז המשפט אומר שאם יש שתי קבוצות: U פורשת, V בת"ל ושתיהן מוכלות במ"ו מסוים אז |U|>=|V| ?

רגע... איזו קבוצה U אמורה לפרוש? אני מבולבלת, תוכל לכתוב את המשפט כולו בבקשה? תודה מראש.

יהא V מ"ו, ויהיו שתי קבוצות [math]\displaystyle{ A,B\subseteq V }[/math]. אזי אם A פורשת את V כלומר (spanA=V) וB בת"ל אזי [math]\displaystyle{ |A|\geq |B| }[/math]

תודה!

שאלות בקשר ל6.5 ו-7.9

• הכוונה ב"לבטא את האיבר הכללי בקבוצה" הוא בעצם להגיע לוקטור מהסוג [math]\displaystyle{ v=(x+5y,6y+z,x+z) }[/math] או במקרה של פולינומים [math]\displaystyle{ f(x)=a+(5a+c)x+(b+c+d)x^2+(2a+7d)x^3 }[/math]? (כמובן שאלו דוגמאות ולא הפתרונות)
• לא כל כך הבנתי איך בודקים שקבוצה פורשת מרחב כמו בשאלה 7.9.

תשובה

• צריך להגיע למשוואה מהצורה [math]\displaystyle{ (x,y,z)=\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3 }[/math] כאשר אתה צריך לחשב את אלפא, בטא וגמא. במילים אחרות אתה צריך לחשב את הקואורדינטות של איבר כללי לפי הבסיס הנתון.

• כמו שרשמתי למטה בתשובה לכמה שאלות. שמים בשורות מטריצה, מדרגים. אם בצורה המדורגת יש 5 שורות שונות מאפס אז זה אומר שהקבוצה פורסת מרחב ממימד 5. תת מרחב ממימד 5 במרחב ממימד 5 חייב להיות המרחב כולו.

בקשר ל 6.5

בשאלה צריך רק להראות את האיבר הכללי או להראות איבר כלשהו בקבוצה שאינו בנפרש? או שצריך לפרט למה זה שווה ואז להראות איבר כללי או להראות איבר שאינו שיך ולפרט למה?

תשובה

אם זה שווה צריך להראות איבר כללי. אם לא צריך למצוא איבר שאינו נפרש על ידי הspan.

אז לא צריך לפרט רק לציין?

צריך תמיד להסביר, אי אפשר לתת תשובה סופית בלבד. אפשר לא להציג את כל החישובים עד הסוף

טריוויאלי או צ"ל?

האם צ"ל שאם מטריצה A כלשהי מקיימת [math]\displaystyle{ \forall\vec x:A\vec x=\vec x }[/math] אז בהכרח [math]\displaystyle{ A=I }[/math]? או שזה טריוויאלי? תודה.

תשובה

אלא אם מבקשים להוכיח את זה, זה טריוויאלי (הרי פשוט מציבים [math]\displaystyle{ e_i }[/math] ומראים שעמודות המטריצה זהות לעמודות המטריצה I).

לכל בסיס של V (מ"ו מסוים) יש אותו מספר איברים

בהוכחה של מה שכתבתי בכותרת, לוקחים B1 בסיס של V עם n איברים, ו-B2 בסיס של V ומוכיחים שגם בו n איברים. בהתחלה מוכיחים שיש ב-B2 לכל היותר n איברים.

לאחר מכן אומרים שאם B2 מכיל פחות מ-n איברים אז B1 תלוי לינארית. למה?

תודה מראש!

יש משפט חשוב שהיה בהרצאה שאומר שאם A פורשת וB בת"ל, אז |A| גדול שווה מ |B|. אז שמתי לב שיש דרך יותר קלה להוכיח שבכל בסיס יש אותו מספר איברים, מאשר הדרך שהמרצה הוכיח אותה- פשוט אומרים שאם יש 2 בסיסים A וB, אזי A פורשת וB בת"ל (ולכן|A| גדול שווה מ |B|) וגם B פורשת וA בת"ל ולכן (ולכן ההפך מקודם) ולכן |A| = |B|.

תודה על התשובה המהירה! אמנם זו הוכחה פשוטה וקצרה, אבל גם ההוכחה של המרצה קצרה מאוד. רק לא הבנתי למה זה נכון: "אם B2 מכיל פחות מ-n איברים אז B1 תלוי לינארית".

זו אינה דרך קלה יותר- אתה פשוט מסתמך על ההוכחה הכבידה במהלך ההוכחה הקלה. תשים לב לסדר הוכחות המשפטים.

תשובה

משתמשים בהוכחה בלמת ההחלפה של שטייניץ (עמוד 39 למטה בחוברת). הרעיון הוא שאתה יכול להחליף את האיברים מB1 על ידי איברים מB2. בלשב מסויים יהיו בB1 כל האיברים מB2 ועוד כמה איברים אחרים. מכיוון שB2 פורסת, האיברים הנוספים האלה תלויים בקודמיהם ולכן B1 ת"ל.

תודה!

שאלה בדירוג מטריצה לבדיקת תלות לינארית

כשמדרגים מטריצה לבדיקת תלות לינארית של איברים, אם מגיעים לשורת אפסים זה אומר שהאיברים הם בת"ל או ת"ל? רק כדי להיות בטוח. תודה רבה!

תשובה

ת"ל לינארית כמובן. כי זה אומר שיש צירוף לינארי לא טריוויאלי של השורות שהתאפס (וגם שמימד מרחב השורות קטן ממספר האיברים בקבוצה ולכן בהכרח היא ת"ל).

תודה על הכל!

דרך הפתרון ל7.9

איך צריכים לפתור את השאלה? האם צריך להגיד ש (x1,x2,x3,x4,x5) = a(1,2,3,4,5) +b(5,4,3,2,1)+... ואז להראות שיש פתרון כללי ולכן הקבוצה הנתונה פורשת את R5? או שיש דרך אחרת יותר קלה? תודה.

תשובה

למדנו שלמטריצות שקולות שורה יש את אותו מרחב שורה. מספיק לשים את הוקטורים בשורות מטריצה ולדרג.

למדנו גם שהשורות השונות מאפס בצורה המדורגת של המטריצה מהוות בסיס למרחב השורות (זה לצורך חישוב מימד במקרה הזה, כי מבקשים בסיס שמוכל בבסיס המקורי, ולא בסיס כלשהו).

תודה. אבל תמיד מדרגים מטריצה כדי לבדוק תלות לינארית, לא האם קבוצה היא פורשת! הצלחתי בעזרת דירוג לפתור את ב', אך איך אנמק שהחמישיות פורשות את R5 בעזרת דירוג מטריצות? תודה.

אם שמת את כל הוקטורים בששת שורות מטריצה, ואחרי דירוג הראת שהמטריצה פורשת את [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^5 }[/math] הרי שששת הוקטורים פורסים את המרחב גם. לפי השלישי חינם כל 5 וקטורים בת"ל ב[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^5 }[/math] פורשים אותו.

אה נכון, בעזרת השלישי חינם! תודה וסליחה על בוֹרוּת.

בקשה

אני מבקש מכל מי ששואל שאלה\עונה תשובה לעשות את הכותרת שלו בדרגה 2, כלומר כך למשל: '==שאלה==' ולא כך: '=שאלה=' אחרת זה משרשר חדש(כי זה בדרגת כותרת של '=שאלות='), וזה נורא מציק לעין, תודה!

לא עדיף שתדגישו את זה בהוראות? (ואולי גם כהודעה בעמוד הראשי - כאן מעט מאוד יראו את זה).

לא אני כתבתי את ההערה.--ארז שיינר 21:20, 19 באוגוסט 2010 (IDT)

ובכל אופן, אני לא רואה איך אפשר להפוך את ההוראות לברורות יותר, אשמח להצעות.

שאלה על בסיסים ומ"וים

האם ניתן להגיד (או האם זה נכון בכלל) שאם ל2 מרחבים וקטוריים יש בדיוק את אותו בסיס מסוים, (כלומר מצאתי קבוצה שהיא בסיס לשניהם) אזי המרחבים זהים (הם אותו מרחב וקטורי)? אם כן, האם אפשר לכתוב את זה בלי הוכחה או שצריך לכתוב הוכחה? אם צריך לכתוב הוכחה, איך מוכיחים את זה? תודה רבה.

תשובה

זה טריוויאלי, אבל אם אתה רוצה להוכיח:

B בת"ל בסיס לV אם"ם spanB=V (לפי הגדרה). אם בנוסף B בסיס לU אזי spanB=U מכאן נובע V=U.

תודה!

שאלה

האם הסקלרים בכל צירוף לינארי כלשהוא חייבים להיות גדולים מאחד? (ובפרט בצירופים הלינאריים שבspan?)

תשובה

בשום צורה לא. הסקלרים הם סקלרים כלשהם מהשדה.

שאלה

האם כל span כולל את אפס?

תשובה

כן כל span הוא תת מרחב וקטורים.

הסבר אחר: span הוא אוסף כל הצירופים הלינאריים, בפרט הצ"ל הטריוויאלי - כלומר כל הסקלרים הם אפסים

7.20

אפשר קצת הסבר על השאלה? אני לא יודע איך להסתכל על זה..מה עוזר לי הנתון שV מ"ו מעל שדה F?ואיך זה בדיוק מתקשר למימד?? אם אפשר קצת רמזים..

תשובה

תמיד חשוב לזכור את ההגדרות - מימד הוא מספר האיברים בבסיס.

אני אתן דוגמא, מקווה שזה יעזור:

ניקח [math]\displaystyle{ V=\mathbb{C}^2,F=\mathbb{C},H=\mathbb{R} }[/math]. אפשר לראות שF הוא מרחב וקטורי מעל H עם הבסיס [math]\displaystyle{ \{1,i\} }[/math] שכן כל מספר מרוכב הוא מהצורה [math]\displaystyle{ a\cdot 1+b\cdot i }[/math] כאשר a,b ממשיים ובוודאי הסכום הזה מתאפס רק אם a=b=0. לכן הקבוצה הנ"ל פורשת ובת"ל ולכן היא בסיס. לכן F הוא ממימד 2 מעל H (כי יש 2 איברים בבסיס).

V הוא הוא ממימד 2 מעל F (זה ברור). נמצא לו בסיס מעל H: [math]\displaystyle{ \{(1,0),(i,0),(0,1),(0,i)\} }[/math] ואכן אנו רואים שV הוא ממימד 4=2x2 מעל H.

שאלה

אם אני יודע ש: v מרחב וקטורי נוצר סופית,[math]\displaystyle{ B\subseteq V }[/math] ובנוסף:

• [math]\displaystyle{ sp(B)=V }[/math]
• B בת"ל.

אז אני יכול להגיד ש-B בסיס עבור V?

תשובה

כן. זו ההגדרה של בסיס. Span(B)=V (פורש) ובת"ל

שאלה 7.10

העברתי את המטריצות לעמודות, ודירגתי את המטריצה שהתקבלה. יצאו לי ארבע שורות אפסים, האם זה אומר שהן תלויות לינארית ? איך מנמקים את זה?

תשובה

השאלה היא לא כמה שורות אפסים יש, אלא כמה משתנים חופשיים יש. אם קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת Ax=0 אזי עמודות A תלויות לינארית.

שאלה

איך מוכיחים שקבוצה היא פורשת? ואיך מוצאים בסיס לקבוצה?

תשובה

למדנו שמרחבי השורות של מטריצות שקולות שורה הם זהים. לכן על מנת למצוא בסיס לקבוצת וקטורים יש לשים אותם בשורות מטריצה ולדרג את המטריצה. בצורה המדורגת של המטריצה, השורות השונות מאפס מהוות בסיס למרחב השורות.

הspan של הקבוצה הוא כמובן הspan של השורות השונות מאפס בצורה המדורגת. כך ניתן לדעת מה הקבוצה פורשת (קבוצה תמיד פורשת את הspan שלה - זו ההגדרה).

כאשר יש מרחב וקטורי של פולינומים או מטריצות - מעבירים אותו לצורה וקטורית פשוטה כמו בתרגיל לדוגמא שפרסמנו בעמוד הראשי.

שאלה על מימדים

מה המימד של המרחב הוקטורי המכיל רק 0? האם סכום ישר אומר שהחיתוך נותן 0? כי אם כך אז המימד של {(a,b,0,0) סכום ישר (0a,0,d,c)} שווה לסכום המימדים שהוא 4, פחות מימד החיתוך שהוא 1, לא? אזי מימד הסכום שווה ל3 אבל הוא באמת שווה ל-4. מה הולך פה?

תשובה

המימד של מרחב האפס {0} הוא אפס. הבסיס שלו הוא הקבוצה הריקה.

שאלה כללית

האם שורותיה של מטריצה בדורגת הם בהכרח בת"ל?

תשובה

שורותיה השונות מאפס של מטריצה מדורגת הן בהכרח בת"ל. אף שורה איננה צ"ל של קודמותיה, כי יש לה אפסים במקומות בהם יש לשורות הקודמות איברים פותחים.

שאלה

האם אני יכול להגיד את הדבר הבא? [math]\displaystyle{ span(A+B)=span(span(A\cup B))=span(A\cup B)=A\cup B=span(A)\cup span(B) }[/math] תודה מראש...

תשובה

לא. האיחוד של תתי מרחבים לרוב אינו תת מרחב. שאלה זו מופיעה בתרגיל 3, והפרכתה נמצאת בפתרונות.

המעבר הראשון הלא חוקי (משמאל לימין) הוא שאפשר להוריד את הspan ולהשאיר שיוויון. מה פתאום הspan של קבוצה שווה לקבוצה? הרי הקבוצה יכולה להיות סופית, ואוסף כל הצירופים הלינאריים הוא אינו סופי (מעל שדה אינסופי כמובן)

שאלה

1.אם (V1,v2...vn) וקטורים בת"ל וגם (u1,u2,...,un) וקטורים בת"ל ומתקיים ש: v1=a1u1+a2u2...anun,...,vn=b1u1+b2u2+...+bnun , אני יכולה להגיד ש {a1,...,an}..{b1,...,bn הם בת"ל?

2. מטריצת מעבר היא חייבת להיות ריבועית?

תשובה

1. סקלרים לא יכולים לעולם להיות בת"ל. ההגדרה של בת"ל תקפה רק לגבי וקטורים.

2. כן. כי הרי יש בה n עמודות (מספר האיברים בבסיס B) שכל אחת מהן באורך n (מספר האיברים בבסיס C). הרי מספר האיברים זהה בכל הבסיסים.

לגבי 1. אני לא מבינה! הרי כן אפשר להסתכל על כוקטורי עמודה {a1,..,an},{b1,...,bn ולשאול האם הם תלויים לינארית?

הסימון עם סוגריים מסולסלים מסמן קבוצה, ולא וקטור עמודה. את מתכוונת ל[math]\displaystyle{ (a_1,...,a_n),(b_1,...,b_n) }[/math]? (כלומר, 2 וקטורי קואורדינטות) אה.. אני בכלל מבין עכשיו את הטעות בסימון. מהם הסקלרים שבין a ל b?

אני מניח שהתכוונת ל

[math]\displaystyle{ v_i=a_{1i}u_1+...+a_{ni}u_n }[/math] ואז השאלה אם הקבוצה [math]\displaystyle{ \{(a_{1i},...,a_{ni})|1\leq i \leq n\} }[/math] היא בת"ל. אבל זה בדיוק השאלה בשיעורי הבית. צריך להוכיח את זה.

רמז: ההעתקה מv לקואורדינטות של v לפי בסיס מסוים, הינה העתקה לינארית.

שאלה לתשובה

רציתי לשאול עוד בנושא, נניח ואני מגיעה לכך ש

[math]\displaystyle{ (a1u1+...anun),(b1u1+..+bnun),...,(c1u1+..+cnun) }[/math] שונים מאפס ובת"ל.

האם אני יכולה להסיק ש [math]\displaystyle{ (a1..an),(b1..bn),...,(c1..cn) }[/math] חייבים להיות שונים מ0 ובת"ל?

• אי אפשר לרשום בסקלרים a,b...c זה כמו לרשום [math]\displaystyle{ a_1u_1,a_2u_2...a_3u_n }[/math] זה פשוט לא עובד.

• הסימון סוגריים מסולסלים שהיה במקור - שמור לקבוצות בלבד, לא לוקטורים.

• זה נכון, אבל צריך להוכיח את זה. (למעשה זו השאלה רק במילים אחרות).

שאלה 2 בדף המצורף

כל מספר מסוים של וקטורים מתוך מרחב מסוים שהם בת"ל הם בהכרח גם בסיס של אותו המרחב?

תשובה

בוודאי שלא. בסיס הוא פורש וגם בת"ל. אחד התנאים בלבד אינו מספיק. מספר הוקטורים היחיד שיכול להיות בבסיס הוא המימד של המרחב.

לדוגמא: [math]\displaystyle{ \{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3 }[/math] בת"ל אבל לא בסיס.

אבל (ואולי לזה התכוונת) אם ניקח קבוצה בת"ל עם מספר וקטורים כגודל המימד של המרחב היא אכן תהיה בסיס תודות למשפט השלישי חינם.

שאלה 6.4א

בשאלה מבקשים לוהכיח שאם חיתוך של שני ספאנים שונה מאפס, אבל כל ספאן יוצר צירוף לינארי מתאפס, אז הטענה בכלל לא יכולה להיות נכונה, האם זה בעיה בתרגיל?

תשובה

[math]\displaystyle{ \{0,1\}\neq \{0\} }[/math]

שאלה על התשובה

את/ה יכול/ה לתת דוגמא ל2 קבוצות שמקיימות את התנאי הזה?

דוגמא

ניקח [math]\displaystyle{ B=\{(1,0,1),(1,0,-1)\},A=\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3 }[/math]

[math]\displaystyle{ span(A)\cap span(B) = span\{(1,0,0)\}\neq \{0\} }[/math]

במילים: יש צירוף לינארי של A וצירוף לינארי של B ששניהם שווים זה לזה אבל שונים מאפס.

שאלה 3 ב בבוחן

שלום, לא הבנתי למה הזווית של 1+i היא בדיוק פי חלקי ארבע? מה החישוב שעושים?

תשובה

במישור המרוכב זו הנקודה (1,1) שנמצאת בדיוק על הקו הישר x=y שנמצא בזוית 45 מעלות (כי הוא חוצה את הזוית הישרה בין הצירים). אם זה לא מספיק ברור, גם [math]\displaystyle{ tg(\theta)=\frac{b}{a}=\frac{1}{1}=1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \theta = \frac{\pi}{4} }[/math]

שאלה 1 ב' בבוחן

בפתרונות כתוב שאם נדרג נמצא שורת סתירה עבור a=0ולכן אין פיתרון. דרגתי כמה וכמה פעמים ואני לא מוצאת שום שורת סתירה! אני כן מחלקת בa כחלק מהפעולות אלמנטריות אבל כשאני רוצה להוכיח שבאמת אין פיתרון עבור a=0 אני לא מצליחה! אתה יכול לפרט יותר?

תשובה

אסור לחלק בa כחלק מהפעולות האלמנטריות כאשר בודקים את המקרה a=0 זה מקור הטעות.

תציבי במטריצה המקורית a=0 ותראי לאן את מגיעה. אוקי תודה!