קוד:נגזרות חד צדדיות

\begin{definition} מגדירים את $f'_+ (x_0)=\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ ואת $f'_- (x_0)=\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ להיות הנגזרות החד צדדיות (נגזרת מימין ומשמאל) של $f(x) $ \end{definition}

דוגמה:

$f(x)=|x| \Rightarrow f'_+(0)=\frac{x-0}{x-0}=1 , f'_-(0)=\frac{-x-0}{x-0}=-1 $ ולפי המשפט הבא קל לראות מזה מדוע אין נגזרת בנקודה $x=0$ לפונקציית הערך המוחלט.

\begin{thm} $f'(x_0) $ קיים אם ורק אם קיימות הנגזרות החד צדדיות (והן שוות לנגזרת). \end{thm}

\begin{proof} ראינו כי גבול קיים אם ורק אם הגבולות החד צדדיים שווים, בפרט לפונקציה $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ \end{proof}