קוד:פונקציות רציפות הפיכות

\begin{definition} \begin{enumerate} \item פונקציה $f:A\to B $ נקראת "חד-חד ערכית" (או בקיצור חח"ע) אם לכל $x\neq y $ ב-$A$ מתקיים ש- $f(x)\neq f(y) $ . \item הפונקציה נקראת "על" אם $\forall_{y\in B} \exists_{x\in A} : f(x)=y $ . \item במקרה שפונקציה היא חח"ע ועל אומרים שהיא "הפיכה", משום שאפשר להגדיר $f^{-1}:B\to A $ כך ש- $f^{-1}\circ f = Id_A ,f\circ f^{-1} = Id_B $, או במילים אחרות $\forall x\in A : f^{-1}(f(x))=x,\forall y\in B: f(f^{-1} (y))=y $ \end{enumerate} \end{definition}

\begin{definition} פונקציה $f:A\to \mathbb{R} $ נקראת מונוטונית עולה ממש אם $\forall x<y : f(x)<f(y) $ ובאופן אנלוגי מונוטוני יורדת ממש. \end{definition}

סימון: כאשר נסמן $<a,b> $ הכוונה היא לאחת מהאפשרויות $[a,b) , (a,b] , [a,b] , (a,b) $ (כל אחת תתאים).

\begin{thm} נניח ש- $f:<a,b>\to \mathbb{R} $ רציפה אזי $f$ חח"ע אם ורק אם f מונוטונית עולה ממש או מונוטונית יורדת ממש. \end{thm}

\begin{proof}

\boxed{\Rightarrow} טריוויאלי מההגדרה

\boxed{\Leftarrow} נניח $f$ לא מונוטונית ממש, ולכן $$\exists x_1 <x_2 : f(x_1)\leq f(x_2) , \exists x_3<x_4 f(x_3)\geq f(x_4) $$ (כך לא מונוטונית יורדת ולא מונוטונית עולה) . לכן $$\exists \alpha, \beta,\gamma \in \{x_1,x_2,x_3,x_4\}: \alpha<\beta<\gamma \land f(\beta)\geq f(\alpha),f(\gamma) $$ ואם נניח בה"כ ש- $f(\alpha)<f(\gamma) $ אזי נזכור ש- $f$ רציפה ועבור $t\in (f(\gamma),f(\beta)) $ לפי משפט ערך הביניים $\exists c_1 \in [\alpha ,\beta] : f(c_1)=t , \exists c_2\in [\beta,\gamma] : f(c_2)=t $ ומכאן ש- $f$ אינה חח"ע. \end{proof}

הבחנה:

תהי $f:[a,b]\to\mathbb{R} $ רציפה בקטע ומונוטונית ממש בו. ממשפט וויירשטראס ניתן להגדיר $d=\sup f , c=\inf f $ סופיים ואז אפשר לצמצם את טווח הפונקציה מכל $\mathbb R $ אל $[c,d] $ . כעת מהמשפט השני של וויירשטראס $f$ מקבלת את הערכים האלו ולכן $c,d\in \operatorname{Im} f $ וממשפט ערך הביניים נסיק כי $f:[a,b]\to [c,d] $ פונקציה על וכיוון שהיא גם מונוטונית ממש אז היא חח"ע ואז הפיכה. כעת אפשר לדבר על $f^{-1} $ במקרה הזה.

\begin{thm} באותם התנאים של ההבחנה הקודמת, הפונקציה $f^{-1} : [c,d]\to [a,b] $ רציפה ומונוטונית ממש . \end{thm}

\begin{proof} מספיק להראות עבור $f$ מונוטונית עולה ממש ועבור יורדת ממש נוכיח באופן אנלוגי.\\ יהיו $y_1<y_2 \in [c,d] $ ונראה כי $f^{-1}(y_1)<f^{-1}(y_2) $ משום שאחרת מזה ש- $f$ מונוטונית עולה ממש נקבל ש- $y_1=f(f^{-1}(y_1))\geq f(f^{-1} (y_2))=y_2 $ בסתירה לכך ש- $y_1>y_2 $ .\\ כעת בתור פונקציה מונוטונית עולה ממש, ובפרט מונוטונית, נק' אי הרציפות של הפונקציה הם רק מסדר ראשון. נניח $y_0 $ נק' אי רציפות מסדר ראשון ואז\\ $\lim_{y\to y_0^-} f^{-1} (y) < f(y_0) $ ואם נסתכל על $x\in (\lim_{y\to y_0^-} f(y) , f(y_0)) $ נראה שאין לו מקור משום שהפונקציה מונוטונית עולה ממש, בסתירה להגדרה של פונקציה הפוכה! \end{proof}