קוד:רציפות במ"ש

עד כה הגדרנו רציפות באופן נקודתי ואמרנו שפונקציה רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע בנפרד.

באופן אינטואיטיבי, אומרים כי פונקציה מתכנסת 'יותר מהר' אל הגבול שלה, אם הדלתא הנדרש לאפסילון הוא גדול יותר (כלומר הפונקציה קרובה לגבול בתחום יותר רחב). אנו רוצים להגדיר פונקציות אשר מהירות ההתכנסות שלהן דומה בכל נקודה בקטע מסויים.

\begin{definition} פונקציה f נקראת רציפה במידה שווה (רציפה במ"ש) בקטע A אם:

לכל $\epsilon >0$ קיים $\delta>0$ כך שלכל זוג נקודות $x_1,x_2\in A$ המקיימות $|x_1-x_2|<\delta$ מתקיים $|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$

שימו לב כי ברציפות רגילה בקטע A, לכל נקודה בקטע ההתאמה של הדלתא לאפסילון עשוייה להיות שונה. כאשר הפונקציה רציפה במ"ש, לכל אפסילון יש דלתא המתאים לכל הקטע A.

הערה: ברור שאם פונקציה רציפה במ"ש על קטע A, היא גם רציפה במ"ש על כל קטע המוכל ב-A.

\end{definition}

\begin{example} נבחן את הפונקציה $f(x)=x$, ונוכיח כי היא רציפה במ"ש על כל ציר הממשיים.

אכן, לכל אפסילון ניקח דלתא שווה לאפסילון ונקבל כי $|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1-x_2|<\delta=\epsilon$

\end{example} בדוגמא הבאה נלמד כי פונקציה מסויימת עשוייה להיות רציפה במ"ש בקטע מסויים אך לא רציפה במ"ש בקטע אחר. כפי שנראה בהמשך, כל פונקציה הרציפה על קטע סופי וסגור רציפה בו במ"ש, ואילו ישנן פונקציות רציפות שאינן רציפות במ"ש על כל ציר הממשיים.

ראשית, נביט ב $f(x)=x^2$ על הקטע הסופי $(a,b)$. יהי אפסילון גדול מאפס, אזי:

$|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1^2-x_2^2|=|(x_1-x_2)(x_1+x_2)|\leq |x_1-x_2|\cdot 2max(|a|,|b|)$

כעת, אם ניקח $\delta = \frac{\epsilon}{2max(|a|,|b|)}$ נקבל את הדרוש.

עכשיו, נבחן את אותה הפונקציה $f(x)=x^2$ על כל הממשיים, ונוכיח כי היא אינה רציפה שם במ"ש.

ניקח $\epsilon=1$. צריך להוכיח כי לכל $\delta>0$ קיים זוג מספרים ממשיים המקיימים $|x_1-x_2|<\delta$ וגם $|f(x_1)-f(x_2)|\geq 1$.

ניקח $x_2=x_1+\frac{\delta}{2}$ ונראה כי אם נבחר את $x_1$ להיות גדול מספיק, נקבל את הדרוש. ברור כי $|x_1-x_2|=\frac{\delta}{2}<\delta$

$|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1^2-x_2^2|=|(x_1-x_2)(x_1+x_2)|=\frac{\delta}{2}|2x_1+\frac{\delta}{2}|$

ברור שאם נגדיל את $x_1$ מספיק נקבל את הדרוש.

\begin{example}

\begin{thm} אם $f$ רציפה במ"ש ב- $A$ אזי רציפה שם. \end{thm}

\begin{proof} יהי $x_0 \in A $ , נרצה להראות ש- $f$ רציפה בו. כלומר $\forall \varepsilon>0 \exists \delta \forall x : |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon $ . אבל ידוע מהנתון שלכל אפסילון קיים דלתא כך שהתנאי נכון לכל $x_1,x_2 $ שמרחקם זה מזה קטן מ- $\delta $ , בפרט ל- $x,x_0 $ . \end{proof}

\begin{thm} אם $f,g$ רבמ"ש ב-$A$ אזי לכל $\alpha,\beta \in \mathbb{R} $ מתקיים ש- $\alpha f+ \beta g $ רבמ"ש ב-$A$.

שימו לב, כפל אינו רציף במ"ש בהכרח, לדוגמא $x^2=x\cdot x$, כאשר הפונקציה משמאל אינה רציפה במ"ש על כל הממשיים, ואילו הפונקציות מימין כן.

\end{thm}

\begin{proof} יהי $\varepsilon>0 $ . אזי ידוע שקיימים $\delta_1 , \delta_2 $ כך ש-

$$ \forall x_1,x_2 : |x_1-x_2|<\delta_1 \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2|\alpha|} $$ $$ \forall x_1,x_2 : |x_1-x_2|<\delta_2 \Rightarrow |g(x_1)-g(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2|\beta|} $$

נגדיר $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2 \} $ . יהיו $x_1,x_2 $ כך ש- $|x_1-x_2|<\delta $ . נראה כי

$$|\alpha f(x_1)+\beta g(x_1)-(\alpha f(x_2)+\beta g(x_2))|\leq |\alpha| \cdot |f(x_1)-f(x_2)| + |\beta| \cdot |g(x_1)-g(x_2)| < |\alpha| \frac{\varepsilon}{2|\alpha|} + \beta \frac{\varepsilon}{2|\beta|} = \varepsilon $$ \end{proof}

\begin{thm} פונקציה f אינה רציפה במ"ש בקטע A אם"ם קיים זוג סדרות (עם איברים מ-A) המקיימות:

$|x_n-y_n|\rightarrow 0$

וגם

$|f(x_n)-f(y_n)|\not\rightarrow 0$

\end{thm}

\begin{proof} אם הפונקציה אינה רציפה במ"ש אזי קיים אפסילון גדול מאפס כך שלכל דלתא גדול מאפס יש זוג מספרים בקטע במרחק קטן מדלתא, כך שהפרש התמונות בינהם גדול או שווה לאפסילון.

ניקח סדרת דלתאות כלשהי השואפת לאפס. הסדרות המורכבות מהזוגות המותאמים לדלתאות מקיימות את הדרוש.

בכיוון ההפוך, אם יש זוג סדרות כזה, כיוון שסדרת ההפרשים בין התמונות אינה שואפת לאפס יש לה תת סדרה שמתכנסת למספר שונה מאפס (הגבול העליון). תת הסדרות המתאימות של הזוגות יספקו זוג מתאים לכל דלתא, כאשר האפסילון יהיה חצי מגבול סדרת ההפרשים.

\end{proof}

\begin{thm} אם $f$ רבמ"ש על קטע סופי אזי היא חסומה שם. המשפט ההפוך לא נכון, לדוגמה $f(x)=\sin \frac{1}{x} $ ב- $(0,1) $ \end{thm}

\begin{proof} נניח הקטע הסופי הוא מהצורה $(a,b) $ (עבור קטעים סופיים אחרים יותר קל). ידוע ש- $f$ רבמ"ש על הקטע אזי

$$\exists \delta \forall x_1,x_2 : |x_1-x_2|\leq \delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<1 $$

נקבע $x_0\in (a,b) $ ונסתכל על הסדרה $b_n=x_0+\delta n \to \infty $ ומכאן שלכל $x>x_0 $ קיים $N_x $ כך ש- $x<b_{N_x} $ ואז מתקיים ש- $$|f(x)-f(x_0)|=|f(x)-f(b_{N_x -1})+f(b_{N_x -1})-\cdots -f(x_0)| =\leq$$ $$|f(x)-f(b_{N_x -1})|+|f(b_{N_x -1})-f(b_{N_x -2})| +\cdots + |f(b_1)-f(x_0)| <1+1+\cdots 1 \leq N_x$$

אבל $N_x \not \to \infty $ כש- $x\to b $, ומכאן שבכל אופן יש איזה $N_b $ מקסימלי ומתקיים ש- $\forall x>x_0 : |f(x)-f(x_0)|<N_b $ . באופן דומה $\forall x<x_0 : |f(x)-f(x_0)|<N_a $

לכן הפונקציה חסומה מלעיל ע"י $f(x_0)+N_a+N_b $ ומלרע ע"י $f(x_0)-N_a-N_b $ \end{proof}

\begin{thm} משפט קנטור: פונקציה רציפה בקטע סגור וסופי, רציפה שם במ"ש

\end{thm}

\begin{proof} תהי f רציפה על קטע סגור וסופי $[a,b]$. נניח בשלילה שהיא לא רציפה שם במ"ש. לכן קיים אפסילון גדול מאפס, כך שלכל דלתא גדול מאפס, יש שתי נקודות במרחק קטן מדלתא כך שהפרש התמונות שלהן גדול או שווה לאפסילון. ניתן אם כך לבנות סדרה של זוגות של נקודות

$x_n,y_n$ כך שמתקיים $ x_n-y_n\rightarrow 0 $ אבל $|f(x_n)-f(y_n)|\geq \epsilon$

לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרות, יש ל$x_n$ תת סדרה מתכנסת $x_{n_k}$ (כיוון שהקטע סופי, הסדרה חסומה).

בנוסף, לתת הסדרה $y_{n_k}$ יש תת סדרה מתכנסת. אם כך, בנינו זוג סדרות מתכנסות המקיימות את התנאים:

$x'_n-y'_n\rightarrow 0$

$|f(x'_n)-f(y'_n)|\geq \epsilon$

אבל כיוון שזה קטע סגור, נקודת הגבול של הסדרות המתכנסות שייכת לקטע (נקודת הגבול בינהן זהה כי המרחק בינהן שואף לאפס). לכן, לפי רציפות,

$\lim f(x'_n)=\lim f(y'_n)$

בסתירה.

\end{proof}

\begin{thm} נניח $f:A\to B $ רבמ"ש ו- $g:B\to \mathbb{R} $ רבמ"ש אזי $h=g\circ f $ רבמ"ש \end{thm}

\begin{proof} תהיינה $x_n,y_n $ סדרות של נק' כך ש- $|x_n-y_n|\to 0 $ .

$f$ רבמ"ש ולכן $|f(x_n)-f(y_n)|\to 0 $ אבל גם $g$ רבמ"ש ולכן $|g(f(x_1))-g(f(x_2))|=|h(x_1)-h(x_2)|\to 0 $ . מהשלילה של אחת הטענות הקודמות נקבל ש- $h$ רבמ"ש. \end{proof} <tex>קוד:זנב</tex> </latex2pdf>