קוד:שארית לגרנז' של פולינום טיילור

\begin{thm} תהי $f\in D^{n+1}(a,b) $ אזי

$$f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $$

כאשר $c\in[x_0,x] \cup [x,x_0]$ (לא ידוע מי קטן יותר ממי), או במילים אחרות $\exists 0\leq t\leq 1 : c=x_0+t(x-x_0) $ . במילים אחרות

$$R_n(x,x_0)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $$

כאשר $c$ תלוי ב- $x$ . \end{thm}

\begin{proof} יהיו $x,x_0 $ אזי מההגדרה $R_n(x,x_0)=f(x)-\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k $

כעת נגדיר $\varphi (t) = R_n (x,t) $ ונראה ש-

$$ \varphi (t)=f(x)-\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k $$

נגדיר גם בשביל הפשטות $\psi (t) = (x-t)^{n+1} $

נניח בה"כ ש- $x<x_0 $ , ועבור המצב ההפוך נעשה באופן אנלוגי:

ממשפט הערך הממוצע של קושי נקבל ש- $\exists c : \frac{\varphi(x_0)-\varphi(x)}{\psi(x_0)-\psi(x)}=\frac{\varphi'(c)}{\psi'(c)} $

כעת נשים לב ש-

$$\varphi'(t)=\left ( f(x)-\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k\right ) ' =0-\sum_{k=0}^n \left ( \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k\right ) ' $$

(הנגזרת של $f(x) $ זה $0$ משום שזהו מספר קבוע כי קבענו את $x$ בהתחלה ) . כעת אם נשתמש בכלל לייבניץ ונגזור בזהירות, נשים לב שזה פשוט $-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!} (x-t)^n $

עכשיו אם נחזור למסקנה של משפט קושי,

$$\exists c : \frac{\varphi'(c)}{\psi'(c)}=\frac{\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(x-c)^n}{(n+1)(x-c)^n}=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} =\frac{\varphi(x_0)-\varphi(x)}{\psi(x_0)-\psi(x)}=$$

$$ \frac{0-R_n(x,x_0)}{(x-x_0)^{n+1}} \Rightarrow R_n(x) =\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$ \end{proof}