88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4
מתוך Math-Wiki
מרחבים וקטורים
דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ
עם חיבור
וכפל בסקלאר הוא מרחב וקטורי.
ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.
הגדרה: מרחב וקטורי הוא רביעיה , כאשר
-
היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של חיבור (+). כלומר
-
הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של
וכפל בסקלאר.
- כפל בסקלאר (
) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי
. פורמאלית
אקסיומות מרחב וקטורי:
- אקסיומות של החיבור ב
: לכל
מתקיים
- מוגדרות:
.
- קיבוץ:
.
- חילוף:
.
- איבר נטרלי:
.
- איבר נגדי:
.
- מוגדרות:
- אקסיומות של כפל וחיבור של שדה: בהגדרת שדה
- אקסיומות כפל בסקלאר: לכל
מתקיים
- מוגדרות
- קיבוץ:
- כפל ביחידה (של השדה):
- פילוג:
- מוגדרות
טרמינולוגיה: אומרים ש מרחב וקטורי מעל
.
איברי נקראים וקטורים. איברי
נקראים סקלארים.
תכונות בסיסיות:
.1
.2
דוגמאות
1.
מעל
עם חיבור
וכפל בסקלאר
2.
מרחב המטריצות מעל שדה
עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.
3.
מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית
מעל שדה
עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.
4.
מרחב הפולינומים עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.