88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8

העתקות לינאריות (ה"ל)

הגדרה: יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] שני מ"ו מעל אותו שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. ה"ל היא פונקציה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] אם

1. [math]\displaystyle{ \forall v_1,v_2\in V : \; T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2) }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \forall \alpha\in \mathbb{F}, v\in V : \; T(\alpha v)=\alpha T(v) }[/math]

(או באופן שקול: אם לכל [math]\displaystyle{ v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ T(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha T(v_{1})+T(v_{2}) }[/math])

תכונות בסיסיות:

.1 [math]\displaystyle{ T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n}) }[/math]

.2 [math]\displaystyle{ T(0_{V})=0_{W} }[/math]

דוגמאות

1. יהיו [math]\displaystyle{ V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m} }[/math] שניהם מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. תהא[math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] אזי העתקה [math]\displaystyle{ L_{A}:V\to W }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ v\mapsto Av }[/math] היא ה"ל.

הוכחה: לכל [math]\displaystyle{ v_{1},v_{2}\in V,\,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ L_{A}(\alpha v_{1}+v_{2})=A(\alpha v_{1}+v_{2})=\alpha Av_{1}+Av_{2}=\alpha L_{A}(v_{1})+L_{A}(v_{2}) }[/math]

2. [math]\displaystyle{ V=\mathbb{F}^{n\times n},\,W=\mathbb{F} }[/math] שניהם מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. אזי העתקה [math]\displaystyle{ trace:V\to W }[/math] המגודרת [math]\displaystyle{ A\mapsto tr(A) }[/math] היא ה"ל.

הוכחה: לכל [math]\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{F}, A,B\in \mathbb{F}^{n\times n} }[/math]

[math]\displaystyle{ tr(\alpha A+B)=\alpha tr(A)+tr(B) }[/math]

3. [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}_{n}[x],\,W=\mathbb{R}_{n-1}[x] }[/math] שניהם מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]. אזי העתקה [math]\displaystyle{ D:V\to W }[/math] המגודרת [math]\displaystyle{ p(x)\mapsto\frac{d}{dx}p(x)=p'(x) }[/math] היא ה"ל.

הוכחה:

[math]\displaystyle{ D[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]=[\alpha p_{1}(x)+p_{2}(x)]'=\alpha p_{1}'(x)+p_{2}'(x)=\alpha D[p_{1}(x)]+D[p_{2}(x)] }[/math]

4. העתקת הזהות [math]\displaystyle{ I:V\to V }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ v\mapsto v }[/math] היא ה"ל.

5. העתקת האפס [math]\displaystyle{ 0:V\to W }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ v\mapsto 0 }[/math] היא ה"ל.

6. יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] מימד [math]\displaystyle{ n }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס אזי הפונקציה [math]\displaystyle{ T:V\to \mathbb{F}^n }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ v\mapsto [v]_B }[/math] היא ה"ל.

דוגמאות נגדיות

1. יהיו [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^{2}=W }[/math]. אזי העתקה [math]\displaystyle{ f:V\to W }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} a^2 \\ b \end{pmatrix}v }[/math] אינה ה"ל.

כי למשל

[math]\displaystyle{ f( 3\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}) = f( \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} )= \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \end{pmatrix} }[/math]

שלא שווה ל

[math]\displaystyle{ 3 f(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ) = 3\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} }[/math]

תרגיל

יהיו [math]\displaystyle{ T,S:V\to W }[/math] שתי ה"ל. [math]\displaystyle{ B=\{v_{1},\dots,v_{n}\} }[/math] בסיס ל [math]\displaystyle{ V }[/math]. נניח [math]\displaystyle{ T(v_{i})=S(v_{i}) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ 1\leq i\leq n }[/math]

הוכח: [math]\displaystyle{ T=S }[/math]. כלומר לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ T(v)=S(v) }[/math]

הוכחה: יהי [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] אזי [math]\displaystyle{ v=\sum\limits _{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i} }[/math] כי [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס ובפרט פורשת. ואז

[math]\displaystyle{ T(v)=T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n}) = \\ = \alpha_{1}S(v_{1})+\alpha_{2}S(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}S(v_{n})=S(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=S(v) }[/math]

משפט ההגדרה

יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] שני מ"ו מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ B=\{v_{1},\dots,v_{n}\} }[/math] בסיס ל [math]\displaystyle{ V }[/math] ויהיו [math]\displaystyle{ w_{1},\dots,w_{n}\in W }[/math] וקטורים כלשהם.

אזי קימת ה"ל יחידה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ T(v_{i})=w_{i} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i }[/math]

מסקנה ניתן להגדיר ה"ל יחידה ע"י קביעה לאן ישלח בסיס ל V

דוגמאות

1. [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}_{2}[x] }[/math] מצא את הה"ל [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] המקימת [math]\displaystyle{ T(1)=x+2,\,T(x)=1,\,T(x^{2})=-2x+1 }[/math]. כתוב את העתקה מפורשות, כלומר לאן [math]\displaystyle{ T }[/math] שולחת פולינום כללי [math]\displaystyle{ a+bx+cx^{2} }[/math]

פתרון: [math]\displaystyle{ T(a+bx+cx^{2})=aT(1)+bT(x)+cT(x^{2}) = \\ =a(x+2)+b(1)+c(-2x+1)=(2a+b+c)+(a-2c)x }[/math]

הגדרות

תהא [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] ה"ל.

1. הגרעין של [math]\displaystyle{ T }[/math] מוגדר [math]\displaystyle{ kerT=\{v\in V\,|\,T(v)=0\}\subset V }[/math]
2. התמונה של [math]\displaystyle{ T }[/math] מוגדרת [math]\displaystyle{ ImgT=\{T(v)\,|\,v\in V\}\subset W }[/math]
3. הדרגה של [math]\displaystyle{ T }[/math] מוגדרת [math]\displaystyle{ rank(T)=dim(ImgT) }[/math]

דוגמאות

1. יהיו [math]\displaystyle{ V=\mathbb{F}^{n},\,W=\mathbb{F}^{m} }[/math]. תהא[math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math]ונסתכל על העתקה [math]\displaystyle{ L_{A}:V\to W }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ v\mapsto Av }[/math]. אזי

1. [math]\displaystyle{ kerT=N(A) }[/math]
2. [math]\displaystyle{ ImT=C(A) }[/math]

2. יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] מימד [math]\displaystyle{ n }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס והעל הלינארית [math]\displaystyle{ T:V\to \mathbb{F}^n }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ v\mapsto [v]_B }[/math].

אזי

1. [math]\displaystyle{ kerT=\{0\} }[/math]
2. [math]\displaystyle{ ImT=\mathbb{F}^n }[/math]

משפט

תהא [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] ה"ל.

אזי [math]\displaystyle{ T }[/math] חח"ע [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ kerT=\{0\} }[/math]

תרגיל:

תהא [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] ה"ל. ויהיו [math]\displaystyle{ \{v_1,\dots, v_n\} }[/math] וקטורים ב [math]\displaystyle{ V }[/math] אזי

1. אם [math]\displaystyle{ \{Tv_1,\dots, Tv_n\} }[/math] בת"ל אז [math]\displaystyle{ \{v_1,\dots, v_n\} }[/math] בת"ל
2. אם [math]\displaystyle{ T }[/math] חח"ע אז גם הכיוון ההפוך נכון. כלומר אם [math]\displaystyle{ \{v_1,\dots, v_n\} }[/math] בת"ל אז [math]\displaystyle{ \{Tv_1,\dots, Tv_n\} }[/math]

הוכחה

1. נניח [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0 }[/math]. נפעיל [math]\displaystyle{ T }[/math] על שני האגפים ונקבל מלינאריות של [math]\displaystyle{ T }[/math] כי [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\alpha_Tiv_i = 0 }[/math]. כיוון שנתון ש [math]\displaystyle{ \{Tv_1,\dots, Tv_n\} }[/math] בת"ל נקבל כי [math]\displaystyle{ \forall i \alpha_i=0 }[/math] כנדרש.
2. נניח כי [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\alpha_Tiv_i = 0 }[/math]. מלינאריות נקבל כי [math]\displaystyle{ T(\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i)_ = 0 }[/math] כיוון ש [math]\displaystyle{ T }[/math] חח"ע נקבל כי [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0 }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\alpha_iv_i = 0 }[/math] בת"ל נקבל כי [math]\displaystyle{ \forall i \alpha_i=0 }[/math] כנדרש.

תרגיל

[math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}_{2}[x],\,W=\mathbb{R}^{2} }[/math] האם קימת [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] ה"ל חח"ע?

פתרון: נניח בשלילה כי [math]\displaystyle{ T }[/math] חח"ע אזי כיוון ש [math]\displaystyle{ 1,x,x^2 }[/math] בתל גם [math]\displaystyle{ T(1),T(x),T(x^2) }[/math] בת"ל אבל [math]\displaystyle{ T(1),T(x),T(x^2) }[/math] שייכים למרחב וקטורי מימד 2 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 2.

תרגיל

[math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^3,\,W=\mathbb{R}^{4} }[/math] האם קימת [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] ה"ל על?

פתרון: נניח בשלילה כי [math]\displaystyle{ T }[/math] על אזי יש מקור ל [math]\displaystyle{ e_1,e_2,e_3,e_4 }[/math]. נסמן את המקורות ב[math]\displaystyle{ v_i }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ Tv_i=e_i }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ e_1,e_2,e_3,e_4 }[/math] בת"ל גם [math]\displaystyle{ v_1,v_2,v_3,v_4 }[/math] בת"ל אבל [math]\displaystyle{ v_1,v_2,v_3,v_4 }[/math] שייכים למרחב וקטורי מימד 3 ולכן הקבוצה הבת"ל המקס' היא מגודל 3.

תרגיל

תהא [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] ה"ל. תהא [math]\displaystyle{ A\subseteq V }[/math] תת קבוצה. אזי [math]\displaystyle{ T(span(A))=spanT(A) }[/math]

הוכחה:

([math]\displaystyle{ \subseteq }[/math]) יהא [math]\displaystyle{ v=\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i }[/math] צ"ל באיברי [math]\displaystyle{ A }[/math] אזי [math]\displaystyle{ Tv\in T(span(A)) }[/math] הוא איבר כללי.

כעת [math]\displaystyle{ Tv=\sum_{i=1}^n\alpha_i Tv_i }[/math] שזה צ"ל באיברי [math]\displaystyle{ T(A) }[/math] ולכן שייך ל [math]\displaystyle{ spanT(A) }[/math]

([math]\displaystyle{ \supseteq }[/math]) יהא צ"ל באיברי [math]\displaystyle{ T(A) }[/math] אזי הוא מהצורה [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\alpha_i Tv_i }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ v_i\in A }[/math]

מלינאריות נקבל כי [math]\displaystyle{ T(\sum_{i=1}^n\alpha_i v_i)\in T(span(A)) }[/math]

מסקנה לכל תת מרחב [math]\displaystyle{ W\leq V }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ T(W) }[/math] תת מרחב.

תרגיל

יהיו [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^{3},\,W=\mathbb{R}^{2} }[/math] והמישור [math]\displaystyle{ U=\{ \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right): x+y+z=0\} = span\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ -1 \end{array}\right)\} \leq V }[/math]

מצא ה"ל [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ kerT=U }[/math] וגם [math]\displaystyle{ ImT=span(\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right)\}) }[/math]

פתרון

נשלים לבסיס ל V בעזרת [math]\displaystyle{ \{ v_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}, v_2= \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}, v_3= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \} }[/math]

לפי משפט ההגדרה מספיק להגדיר [math]\displaystyle{ T }[/math] בעזרת הבסיס.

נגדיר [math]\displaystyle{ Tv_1=Tv_2 = 0, Tv_3 = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix} }[/math]

ואז [math]\displaystyle{ T(U)=T(span\{v_1,v_2\})= span\{Tv_1,Tv_2\} = span\{0\} = \{0\} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ U\subseteq kerT }[/math]

בכיוון השני, יהיה [math]\displaystyle{ v=\alpha_1v_1 +\alpha_2v_2+\alpha_3v_3 \in KerT }[/math] אזי [math]\displaystyle{ 0=Tv= \alpha_1Tv_1 +\alpha_2Tv_2+\alpha_3Tv_3=\alpha_3 \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \alpha_3=0 }[/math] ואז [math]\displaystyle{ v\in U }[/math]

בנוסף, באופן דומה,

[math]\displaystyle{ ImT=T(V)=T(span\{v_1,v_2,v_3\}) = span\{Tv_1,Tv_2,Tv_3\} = span \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix} }[/math]

כנדרש.

תרגיל

תהא [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] ה"ל, [math]\displaystyle{ W\leq V }[/math] ת"מ. נתון כי [math]\displaystyle{ W\cap KerT=0 }[/math]. הוכח כי [math]\displaystyle{ \dim W = \dim T(W) }[/math]

הוכחה:

נסתכל על ה"ל [math]\displaystyle{ T_W:W\to V }[/math] אזי מתקיים כי [math]\displaystyle{ KerT_W = W\cap kerT=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ T_W }[/math] חח"ע. אם נבחר בסיס ל [math]\displaystyle{ B }[/math] אזי [math]\displaystyle{ T(B) }[/math] גם כן בסיס

ואז [math]\displaystyle{ \dim W =|B|=|T(B)|= \dim T(W) }[/math]

משפט הדרגה

תהא [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] ה"ל. אזי [math]\displaystyle{ \dim ImT+\dim KerT=dimV }[/math]

הערה: שימו לב שזה הכללה עבור מטריצה [math]\displaystyle{ A\in \mathbb{F}^{m\times n} }[/math] ומשפט [math]\displaystyle{ \dim C(A)+\dim N(A)=n }[/math] (זיכרו שמטריצה היא מקרה פרטי של ה"ל)

.