הגדרות בסיסיות

הגדרה: גרף [math]\displaystyle{ G }[/math] מעל קבוצה [math]\displaystyle{ V }[/math] הוא זוג סדור [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ E \subseteq V\times V }[/math] - כלומר קבוצה המכילה זוגות סדורים מאיברי [math]\displaystyle{ V }[/math].

הקבוצה [math]\displaystyle{ V }[/math] היא קבוצת הקדקודים של הגרף, והקבוצה [math]\displaystyle{ E }[/math] היא קבוצת הקשתות/צלעות של הגרף.

הגדרה: הסדר של גרף [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ |V| }[/math]. גרף יקרא סופי אם הסדר שלו סופי, וקבוצת הקשתות [math]\displaystyle{ E }[/math] סופית.

הגדרה: גרף [math]\displaystyle{ G }[/math] ייקרא לא מכוון אם היחס [math]\displaystyle{ E }[/math] הוא סימטרי, כלומר אין משמעות לכיוון הצלע. אחרת הגרף ייקרא מכוון. בגרף לא מכוון, אין משמעות לכיוון הצלע, ולכן לעתים מסמנים [math]\displaystyle{ (u,v) }[/math] בתור [math]\displaystyle{ \{u,v\} }[/math].

דוגמא: [math]\displaystyle{ V=\{1,2,3\}, E=\Big\{\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}\Big\} }[/math] מייצג משולש. הסדר שלו הוא 3, כמספר הקדקודים במשולש. זהו גרף סופי.

דוגמא: נביט בקבוצה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} }[/math], ובגרף [math]\displaystyle{ G }[/math] מעליה, בו מחברים בין כל שני קדקודים במרחק 1 זה מזה - מתקבלת רשת אינסופית. זהו גרף אינסופי, בו לכל קדקוד יש ארבעה שכנים.

הערה: שימו לב שמהניסוח לעיל נובע-

בגרף יכולה להיות קשת מקדקוד אל עצמו (לולאה). זה שקול ל- [math]\displaystyle{ \exists (v,v) \in E }[/math].
צלע בין שני קדקודים יכולה להופיע אך ורק פעם אחת (כי [math]\displaystyle{ E }[/math] קבוצה). בפועל, יש גרפים שבהם מופיעה יותר מצלע אחת בין שני קדקודים (למשל שתי לולאות סביב נקודה). נסו לחשוב איך להגדיר את זה פורמלית.

הבהרה: אנחנו נעסוק בגרפים סופיים, לא מכוונים, בלי צלעות כפולות ובלי לולאות.

הגדרה יהיה [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math]. נאמר כי [math]\displaystyle{ v,w\in V }[/math] שכנים אם [math]\displaystyle{ (v,w)\in E }[/math]. במקרה זה נאמר כי הצלע [math]\displaystyle{ \{v,w\}\in E }[/math] חלה ב [math]\displaystyle{ w }[/math] (או חלה ב [math]\displaystyle{ v }[/math])

את קבוצת השכנים של [math]\displaystyle{ u }[/math] מסמנים [math]\displaystyle{ \Gamma(u)=\{v\in V \; :\; \{v,u\}\in E\} }[/math].

הדרגה של [math]\displaystyle{ u }[/math], המסומנת [math]\displaystyle{ \text{degree}(u) }[/math], היא מספר הצלעות החלות ב [math]\displaystyle{ u }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ |\Gamma(u)| }[/math].

דוגמא: במשולש, כל 2 קדקודים שכנים. כל קדקוד מדרגה 2: השכנים של כל קדקוד הם שני הקדקודים האחרים.

משפט (לחיצת הידיים)

יהי [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] גרף לא מכוון. אזי [math]\displaystyle{ \sum_{v\in V}\text{degree}(v)=2|E| }[/math].

תרגיל

נאמר כי גרף [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ k }[/math]-רגולרי אם הדרגה של כל קדקוד שווה ל-[math]\displaystyle{ k }[/math]. למשל, משולש הוא גרף 2-רגולרי.

הוכח כי אם [math]\displaystyle{ k,n }[/math] אי-זוגיים, לא קיים גרף [math]\displaystyle{ k }[/math]-רגולרי מסדר [math]\displaystyle{ n }[/math].

הוכחה:

לפי משפט לחיצת הידיים [math]\displaystyle{ 2|E|=\sum_{v\in V}\text{degree}(v)=n\cdot k }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ nk }[/math] זוגי, ולכן [math]\displaystyle{ k }[/math] זוגי או [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי.

הגדרות נוספות

יהי [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] גרף לא מכוון. סדרת קדקודים (סדורה) [math]\displaystyle{ (v_0,v_1,\dots,v_n) }[/math] נקראת מסלול אם [math]\displaystyle{ \forall i : \{v_i,v_{i+1}\}\in E }[/math] וגם כל הצלעות שונות - כלומר לכל [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (v_i,v_{i+1}) \neq (v_j,v_{j+1}) }[/math].

מסלול יקרא פשוט אם כל הקדקודים [math]\displaystyle{ (v_0,v_1,\dots,v_n) }[/math] שונים זה מזה, פרט אולי ל [math]\displaystyle{ v_0=v_n }[/math], ובמקרה זה המסלול נקרא מעגל. אורך המסלול [math]\displaystyle{ (v_0,v_1,\dots,v_n) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ n }[/math], והנקודות [math]\displaystyle{ v_0 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ v_n }[/math] נקראות נקודות ההתחלה והסיום של המסלול.

הגדרה: המרחק בין [math]\displaystyle{ v,u\in V }[/math] הוא המסלול עם אורך מינימלי בין [math]\displaystyle{ v,u\in V }[/math]. אם אין מסלול בין הנקודות, אומרים שהמרחק הוא אינסוף. מסמנים את המרחק [math]\displaystyle{ d(u,v) }[/math], ואם יש צורך להדגיש את הגרפים אז מסמנים [math]\displaystyle{ d_G(u,v) }[/math].

הקוטר של גרף [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] מוגדר כמרחק המקסימאלי בין זוגות קדקודים - כלומר [math]\displaystyle{ \text{diam}(G)=\max_{u,v\in V}{d(v,u)} }[/math]

בניה

עבור גרף לא מכוון [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] נגדיר יחס שקילות [math]\displaystyle{ \to }[/math] על [math]\displaystyle{ V }[/math], כך: לכל [math]\displaystyle{ v,u\in V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ v\to u }[/math] אמ"מ קיים מסלול מ[math]\displaystyle{ v }[/math] ל-[math]\displaystyle{ u }[/math] (כלומר [math]\displaystyle{ u \to v \iff d(v,u)\lt \infty }[/math]).

תרגיל: הוכח כי זהו יחס שקילות.

פתרון:

רפלקסיבי - לכל קדקוד, המסלול [math]\displaystyle{ (v) }[/math] עושה את העבודה.
סימטרי - אם [math]\displaystyle{ v\to u }[/math], אז יש מסלול [math]\displaystyle{ (v_0,\dots,v_n) }[/math] בין [math]\displaystyle{ v }[/math] ל-[math]\displaystyle{ u }[/math]. נביט במסלול ההפוך - [math]\displaystyle{ (v_n, v_{n-1}\dots ,v_1,v_0) }[/math] - זהו מסלול בין [math]\displaystyle{ u }[/math] ל-[math]\displaystyle{ v }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ u \to v }[/math].
טרנזיטיבי - אם [math]\displaystyle{ v\to u }[/math] וגם [math]\displaystyle{ u\to t }[/math], אז יש מסלולים [math]\displaystyle{ (v_1,\dots,v_n) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ (v_1',\dots,v_n') }[/math]. היות ש-[math]\displaystyle{ v_n=v=v_1' }[/math], נביט במסלול [math]\displaystyle{ (v_1,\dots,v_n=v_1',\dots,v_n') }[/math] - זהו מסלול המעיד על כך ש-[math]\displaystyle{ v\to t }[/math].

הגדרה מחלקות השקילות של יחס זה נקראים רכיבי קשירות.

דוגמא: ציור חביב לפי דעת המתרגל.

תרגילים נוספים

תרגיל: יהי גרף לא מכוון [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] בעל [math]\displaystyle{ 3\leq n }[/math] קדקודים. אם בגרף [math]\displaystyle{ n\leq m }[/math] צלעות אזי בגרף יש מעגל.

פתרון: באינדוקציה.

עבור [math]\displaystyle{ n=3 }[/math] אזי יש מדובר במשולש (לא יכול להיות יותר מ -4 צלעות ב-3 קדקודים) ואכן מתקיים כי יש מעגל.

נניח כי הטכנה נכונה עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] ונוכיח עבור [math]\displaystyle{ n+1 }[/math]. יהי יהי גרף לא מכוון [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] בעל [math]\displaystyle{ 3\lt n+1 }[/math] קדקודים ו- [math]\displaystyle{ n+1\leq m }[/math] צלעות.

אפשרות 1: קיים [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] מדרגה 1. נוריד את הקדקוד הזה (ואת כל הצלעות שחלות בו) ונקבל גרף חדש עם [math]\displaystyle{ n }[/math] קדקודים ו[math]\displaystyle{ n\leq m-1 }[/math] צלעות. לפי הנחת האינדוקציה קיים בו מעגל. מעגל זה קיים גם בגרף בו התחלנו.

אפשרות 2: לכל קדקוד יש דרגה גדולה שווה 2. נבחר [math]\displaystyle{ v_0\in V }[/math] ונצא ממנו לאחד משכניו. מפה נמשיך למסלול רנדומאלי כך שאם הולכים מ [math]\displaystyle{ v\to u }[/math] הצעד הבא לא יהיה [math]\displaystyle{ u\to v }[/math] (זה אפשרי כי כל קדקוד יש לפחות 2 שכנים אז אם נכנסים אליו משכן א ניתן לצאת משכן ב). כיוון שיש מספר סופי של קדקודים נקבל חזרה על קדקוד בשלב כלשהו. בפעם הראשונה שנקבל חזרה קיבלנו מעגל!

תרגיל: יהי [math]\displaystyle{ G }[/math] גרף פשוט (ללא לולאות וללא צלעות מקבילות) מסדר [math]\displaystyle{ 1\lt n }[/math]. הוכח שקיימים 2 קדקודים בעל אותה דרגה.

פתרון: נבנה פונקציה [math]\displaystyle{ f:V\to \{0,1,\dots n-1\} }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ v\mapsto deg(v) }[/math].

אם קיים קדקוד מדרגה n-1 אזי הוא מחובר לכולם ולכן אין קדקוד מדרגה אפס. במקרה זה נוכל להגדיר [math]\displaystyle{ f:V\to \{1,\dots n-1\} }[/math].

אם אין קדקוד כזה אז נוכל להגדיר [math]\displaystyle{ f:V\to \{0,1,\dots n-2\} }[/math].

בשני המקרים קיבלנו כי [math]\displaystyle{ |dom(f)|=|V|=n, |Im(f)|=n-1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f }[/math] אינה חח"ע. כלומר קיימים [math]\displaystyle{ v_1\neq v_2 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(v_1)=f(v_2) }[/math] כלומר בעלי דרגה שווה

תרגיל: יהיה [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] גרף פשוט עם 100 קדקודים כך שדרגת כל קדקוד לפחות 50. הוכח כי [math]\displaystyle{ G }[/math] קשיר.

פתרון: יהיו [math]\displaystyle{ v,u\in V }[/math] צריך להוכיח כי [math]\displaystyle{ [v]=[u] }[/math] (כך נסמן את רכיב הקשירות). נניח כי הם שונים אזי ב[math]\displaystyle{ |[v]|,|[u]|\geq 50 }[/math] והם זרים. לכן [math]\displaystyle{ [v]=[u]=50 }[/math] אבל ברכיב קשירות שיש בו 50 קדקודים דרגת כל קדקוד קטנה שווה ל 49. סתירה

תרגיל: יהי גרף לא מכוון [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math]. הוכח כי אם [math]\displaystyle{ \forall v\in V : \text{degree}(v)\geq 2 }[/math] אז בגרף יש מעגל.

פתרון: בגרף יש יותר מ 2 קדקודים (אחרת לא יהיה להם 2 שכנים). לפי משפט לחיצת הידיים מתקיים [math]\displaystyle{ 2|E|= \sum_{v\in V}\text{degree}(v)\geq \sum_{v\in V}2 =2|V| }[/math] ולכן מספר הצלעות גדול שווה ממספר הקדקודים. לפי משפט קודם קיים מעגל בגרף.

תרגיל: יהי גרף לא מכוון [math]\displaystyle{ G=(V,E) }[/math] ללא מעגלים עם [math]\displaystyle{ |V|\geq 2 }[/math]. הוכח כי קיימים [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in V }[/math] כך שדרגתם לכל היותר 1.

פתרון: לפי תרגיל קודם קיים [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] כך שדרגתו לכל היותר 1 (אחרת לכל הקדקודים יש דרגה לפחות 2 ואז יש מעגל לפי תרגיל קודם. סתירה!).

נמשיך באינדוקציה על [math]\displaystyle{ n }[/math] מספר הקדקודים בגרף.

אם [math]\displaystyle{ n=2 }[/math] אזי או שהגרף הוא 2 נקודות לא צלעות או 2 נקודות המחוברות בצלע. בכל מקרה 2 הנקודות של הגרף הם מדרגה קטנה שווה ל-1.

כעת נניח כי הטענה נכונה עבור [math]\displaystyle{ n\geq 2 }[/math]. נוכיח את הטענה עבור [math]\displaystyle{ n+1 }[/math].

נבחר את הקדקוד [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] שדרגתו לכל היותר 1. נוריד אותו ואת הצלע שחלה בו אזי נקבל גרף עם [math]\displaystyle{ n }[/math] קדקודים. לפי הנחת האינדוקציה יש בו 2 קדקודים[math]\displaystyle{ v_1,v_2 }[/math] בעלי דרגה 1 לכל היותר. כעת נשוב לגרף המקורי (הכולל את [math]\displaystyle{ v }[/math] שהשמטנו).

אם [math]\displaystyle{ v }[/math] שכן של [math]\displaystyle{ v_1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ v,v_2 }[/math] בעלי דרגה לכל היותר 1.

אם [math]\displaystyle{ v }[/math] שכן של [math]\displaystyle{ v_2 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ v,v_1 }[/math] בעלי דרגה לכל היותר 1.

אם [math]\displaystyle{ v }[/math] שכן של [math]\displaystyle{ v_1,v_2 }[/math] - סתירה כי הדרגה של [math]\displaystyle{ v }[/math] היא 1 לכל היותר.

אם [math]\displaystyle{ v }[/math] לא שכן של [math]\displaystyle{ v_1,v_2 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ v,v_1,v_2 }[/math] בעלי דרגה לכל היותר 1.

בכל מקרה קיבלנו כי קיימים 2 קדקודים בעלי דרגה 1 לכל היותר!.