נקודת פיתול
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־12:43, 4 בנובמבר 2016 מאת יהודה שמחה (שיחה | תרומות)
הגדרה
תהי פונקציה ממשית הגזירה בנקודה .
נקראת נקודת פיתול אם קיימת סביבה שלה כך שמצד אחד של הפונקציה גדולה או שווה למשיק ל- , ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו.
מציאת נקודות פיתול
נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן חשודות לפיתול, ויש לסווג אותן.
- משפט
תהי גזירה פעמיים בסביבת כך שמצד אחד של הנגזרת השניה אי-שלילית ובצד השני אי-חיובית, אזי נקודת פיתול של .
- הוכחה
לפי טיילור מתקיים:
- .
ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה הנו
כיון שהנקודה נמצאת בין ו- , קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן הנה נקודת פיתול כפי שרצינו.