תרגול 8 תשעז
יחסים
הגדרה: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות A וB הינה אוסף כל הזוגות הסדורים - . ההבדל בין זוג סדור לבין קבוצה המכילה זוג איברים היא שהאיברים יכולים להיות שווים בזוג סדור, והסדר שלהם מהותי. כלומר שני האיברים הבאים שונים
והאיבר הבא הינו זוג חוקי
.
ניתן להכליל את ההגדרה לעיל לn-יה סדורה - כלומר n איברים מסודרים.
דוגמא: ו
אזי מתקיים
תרגיל
הוכח שלכל קבוצות A,B,C,D מתקיים
פתרון
יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים
הגדרה: יהיו A,B קבוצות, אזי R יקרא יחס (בין A ל -B).
הרעיון שעומד בבסיסו של יחס הוא האפשרות "להשוות" בין איברי A ל B
דוגמא:
ונביט בתת הקבוצה
הבאה:
. מה מיוחד בזוגות אלה?
זוגות אלה הינן כל זוגות האיברים (a,b) כך ש . (כלומר הגדרנו את היחס המייצג "קטן שווה")
הערה: יחס לא חייב לייצג חוקיות מסוימת למשל גם הקבוצה היא יחס. גם
היא יחס. וגם
הוא יחס.
סימון: אם זוג מסוים, (a,b), נמצא בקבוצת היחס R נהוג לסמן aRb, או . (אם יש משמעות ליחס כמו לעיל ניתן גם לסמן פשוט
.
דוגמא: נביט בקבוצת האנשים A. נגדיר את יחס "בן של" על ידי קבוצת הזוגות הסדורים כך ש
אם"ם x הוא בן של y. שימו לב שיש משמעות לכיוון היחס, שכן יש הבדל בין העובדה שאני הבן של מישהו לבין העובדה שהוא הבן שלי.
הגדרה: בהינתן יחס היחס ההפוך
הוא היחס המוגדר ע"י היפוך הזוגות הסדורים:
הגדרה: תהי קבוצה A. יחס הזהות הוא כך ש:
.
הגדרה: יהיו A,B,C קבוצות, ו היחס ההרכבה/הכפל הוא היחס:
תרגיל
יהיו . נגדיר את היחס:
. בדוק האם:
א.
ב.