88-212 תשעז סמסטר ב/פתרון3
כאן אפשר לשאול ולענות על תרגיל בית 3 בקורס מבוא לחוגים ומודלים בשנת תשע"ז.
פתרונות סרוקים
שאלה 1
שאלה 2
שאלה 3
שאלה 4
סעיף 4א
נגדיר [math]\displaystyle{ \phi:\mathbb{F}_2[x]\longrightarrow\mathbb{F}_2[x]/_{\lt x^2\gt } }[/math] לפי [math]\displaystyle{ \phi(x+1)=\phi(x-1)=x }[/math] (השאר ישלח לעצמו). זה הומ' עם גרעין [math]\displaystyle{ \lt x^2-1\gt }[/math], ולכן לפי איזו' 1 נקבל את הדרוש.
סעיף 4ב
קל לראות שהאידיאלים [math]\displaystyle{ \lt x-1\gt ,\lt x+1\gt \vartriangleleft\mathbb{Q}[x] }[/math] הם קו-מקסימליים. ולכן לפי משפט השאריות הסיני: [math]\displaystyle{ S=\mathbb{Q}[x]/_{\lt x^2-1\gt }\cong\mathbb{Q}[x]/_{\lt x+1\gt }\times\mathbb{Q}[x]/_{\lt x-1\gt }\cong\mathbb{Q^2} }[/math]. ב-S אין איברים נילפוטנטיים אבל ב-R יש ([math]\displaystyle{ x^2 }[/math]), לכן הם לא איזומורפיים.