יחסים

המכפלה הקרטזית

הגדרה: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות A וB הינה אוסף כל הזוגות הסדורים - [math]\displaystyle{ A\times B = \{(a,b)|a\in A \and b\in B\} }[/math]. ההבדל בין זוג סדור לבין קבוצה המכילה זוג איברים היא שהאיברים יכולים להיות שווים בזוג סדור, והסדר שלהם מהותי. כלומר שני האיברים הבאים שונים [math]\displaystyle{ (1,2),(2,1) }[/math] והאיבר הבא הינו זוג חוקי [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math].

ניתן להכליל את ההגדרה לעיל לn-יה סדורה - כלומר n איברים מסודרים.

דוגמא: [math]\displaystyle{ A=\{1,2,3\} }[/math] ו[math]\displaystyle{ B=\{a,b\} }[/math] אזי מתקיים [math]\displaystyle{ A\times B =\{(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)\} }[/math]

תרגיל

הוכח שלכל קבוצות A,B,C,D מתקיים [math]\displaystyle{ (A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D) }[/math]

פתרון

[math]\displaystyle{ (x,y)\in (A\times B)\cap (C\times D) \iff (x,y)\in A\times B \land (x,y)\in C\times D \iff (x\in A \and y\in B) \and (x\in C\and y\in D) \iff (x\in A\and x\in C) \and (y\in B\and y\in D) \iff (x,y)\in (A\cap C)\times (B\cap D) }[/math]

יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים

הגדרה: יהיו A,B קבוצות, [math]\displaystyle{ R\subseteq A\times B }[/math] אזי R יקרא יחס (בין A ל -B). הרעיון שעומד בבסיסו של יחס הוא האפשרות "להשוות" בין איברי A ל B דוגמא: [math]\displaystyle{ A=\{1,2,3\},B=\{0,2,6\} }[/math] ונביט בתת הקבוצה [math]\displaystyle{ R\subseteq A\times B }[/math] הבאה: [math]\displaystyle{ R=\{(1,2),(1,6),(2,2),(2,6),(3,6)\} }[/math]. מה מיוחד בזוגות אלה?

זוגות אלה הינן כל זוגות האיברים (a,b) כך ש [math]\displaystyle{ a\leq b }[/math]. (כלומר הגדרנו את היחס המייצג "קטן שווה")

הערה: יחס לא חייב לייצג חוקיות מסוימת למשל גם הקבוצה [math]\displaystyle{ S=\{(1,2),(1,6),(2,0),(2,2)\} }[/math] היא יחס. גם [math]\displaystyle{ \emptyset }[/math] היא יחס. וגם [math]\displaystyle{ A\times B }[/math] הוא יחס.

סימון: אם זוג מסוים, (a,b), נמצא בקבוצת היחס R נהוג לסמן aRb, או [math]\displaystyle{ (a,b)\in R }[/math]. (אם יש משמעות ליחס כמו לעיל ניתן גם לסמן פשוט [math]\displaystyle{ a\leq b }[/math].

דוגמא: נביט בקבוצת האנשים A. נגדיר את יחס "בן של" על ידי קבוצת הזוגות הסדורים [math]\displaystyle{ R\subseteq A\times A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ (x,y)\in R }[/math] אם"ם x הוא בן של y. שימו לב שיש משמעות לכיוון היחס, שכן יש הבדל בין העובדה שאני הבן של מישהו לבין העובדה שהוא הבן שלי.

הגדרה: בהינתן יחס [math]\displaystyle{ R\subseteq A\times B }[/math] היחס ההפוך [math]\displaystyle{ R^{-1}\subseteq B\times A }[/math] הוא היחס המוגדר ע"י היפוך הזוגות הסדורים: [math]\displaystyle{ R^{-1}=\{(b,a):aRb\} }[/math]

הגדרה: תהי קבוצה A. יחס הזהות הוא [math]\displaystyle{ R\subseteq A\times A }[/math] כך ש: [math]\displaystyle{ I_A=R=\{(a,a):a\in A\} }[/math].

הגדרה: יהיו A,B,C קבוצות, ו[math]\displaystyle{ R\subseteq A\times B, S\subseteq B\times C }[/math] יחס הכפל הוא היחס: [math]\displaystyle{ RS=\{(a,c)\in A\times C | \exists b\in B : (a,b)\in R \land (b,c)\in S\} }[/math]

תרגיל

יהיו [math]\displaystyle{ A=\{1,2\}, B=\{3,4,5\} }[/math]. נגדיר את היחס: [math]\displaystyle{ R=\{(1,3),(2,4)\} }[/math]. בדוק האם:

א. [math]\displaystyle{ RR^{-1}=I_A }[/math]

ב. [math]\displaystyle{ R^{-1}R=I_B }[/math]

תכונות של יחסים על קבוצה

הגדרה: יחס R על קבוצה A פירושו [math]\displaystyle{ R\subseteq A\times A }[/math]

תהי קבוצה A ויחס R עליה אזי

R נקרא רפלקסיבי אם כל איבר מקיים את היחס עם עצמו ( מתקיים [math]\displaystyle{ \forall a\in A:(a,a)\in R }[/math])
R נקרא סימטרי אם aRb גורר שגם bRa (מתקיים [math]\displaystyle{ \forall a,b\in A:[(a,b)\in R \rightarrow (b,a)\in R] }[/math])
R נקרא טרנזיטיבי אם יחס בין ראשון לשני, ויחס בין השני לשלישי גורר יחס בין הראשון לשלישי (מתקיים [math]\displaystyle{ \forall a,b,c\in A:[((a,b)\in R) \and ((b,c)\in R) \rightarrow ((a,c)\in R)] }[/math])
R נקרא אנטי סימטרי (חלש) אם aRb וגם bRa גורר כי a=b (מתקיים [math]\displaystyle{ \forall a,b\in A:[(a,b)\in R \and (b,a)\in R \rightarrow a=b] }[/math] ובאופן שקול: [math]\displaystyle{ \forall a\neq b\in A: \lnot (aRb\land bRa) }[/math])

דוגמאות:

יחס 'שיוויון' הינו רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי
יחס 'קטן שווה' הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי סימטרי
יחס 'קטן ממש' הינו טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי
יחס 'שיוויון מודולו n' הינו רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי
יחס 'הכלה' הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי
יחס 'a מחלק את b' הינו רפלקסיבי וטרנזיטיבי
יחס 'אדם x שמע על אדם y' הינו רפלקסיבי

הערה: יחס יכול להיות גם סימטרי וגם אנטי סימטרי. וכמו כן הוא יכול להיות לא זה ולא זה! לדוגמא: [math]\displaystyle{ A=\{ 1,2,3\} , R=\{ (1,1)\} , S=\{ (1,2),(2,1),(3,2)\} }[/math] ואז R גם וגם, S לא ולא.