דוגמאות להוכחת התכנסות באמצעות קריטריון קושי

תרגיל 1

תרגיל: תהי סדרה [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] עבורה [math]\displaystyle{ |a_n-a_{n-1}|\lt \frac{1}{2^n} }[/math]. הוכח כי [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] מתכנסת.

פתרון: נוכיח כי [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

[math]\displaystyle{ \begin{align}|a_m-a_n|&=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}+\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\\&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|\\&\lt \dfrac{1}{2^m}+\dfrac{1}{2^{m-1}}+\cdots+\dfrac{1}{2^{n+1}}=\dfrac{1}{2^{n+1}}\left[\dfrac{1}{2^{m-n-1}}+\cdots+1\right]\\&=\dfrac{1}{2^{n+1}}\left[\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac12}\right]=\frac{1}{2^n}\left[1-\frac{1}{2^{m-n}}\right]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\le\frac{1}{2^n}\to0\end{align} }[/math]

תרגיל 2

תרגיל: תהי סדרה [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] עבורה [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}| }[/math]. הוכח כי [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] מתכנסת עבור [math]\displaystyle{ 0\lt p\lt 1 }[/math].

פתרון: נוכיח כי [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

ראשית, נשים לב כי

[math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_n|\le p|a_n-a_{n-1}|\le p^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\le\cdots\le p^{n-1}|a_2-a_1| }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ d=|a_2-a_1| }[/math] ולכן סה"כ [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_n|\le p^{n-1}d }[/math].

כעת

[math]\displaystyle{ \begin{align}|a_m-a_n|&=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}+\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\\&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|\\&\le p^{m-2}d+\cdots+p^{n-1}d\\&=p^{n-1}d(p^{m-n-1}+\cdots+1)\\&=p^{n-1}d\left[\frac{1-p^{m-n-1}}{1-p}\right]\\&\le p^{n-1}\frac{d}{1-p}\to0\end{align} }[/math]

מכיוון ש־[math]\displaystyle{ p^n\to0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ p\lt 1 }[/math].