שיחה:89-214 סמסטר א' תשעא/תרגילים

הנחיות

ראשית, קיראו את ההנחיות בעמוד הראשי. דף זה מיועד לשאלות בנוגע לתרגילים - כולל קושיות ותהיות מתמטיות, וגם סוגיות טכניות (לפחות עד שנגְלה את אלה לדף אחר). אנא אל תפתחו כותרות ראשיות שלא לצורך. עוזי ו. 19:28, 7 באוקטובר 2010 (IST)

נושאים כלליים

האם בהרכבת של פעולה בינארית יכול להיות תנאי? לדוגמה:

a, b שייכים ל N

a + b =

1 אם a זוגי

אחרת 2

בוודאי שהגדרת הפעולה יכולה להיות מסובכת; פעולה בינארית מתאימה ערך לכל זוג סדור. אין שום סיבה לצפות שהפעולה תהיה מורכבת מפעולות מוכרות. עוזי ו. 20:44, 6 בנובמבר 2010 (IST)

תרגיל 2

שאלה 2

מהו X, הכוונה לכל X. X שייך לB,

X שייך לR??

-- ניתן לחשוב על X כעל משתנה (כמו בפולינומים), ולכן הוא לא שייך ל-R או ל-B. הרעיון הוא להסתכל על קבוצת כל הביטויים מהצורה [math]\displaystyle{ s+tx }[/math] כאשר הכפל (הפעולה) ביניהם מוגדר כפי שהוא מוגדר בשאלה (מיכאל פרידמן).

שאלה 5

האם בנוסף להנחות בשאלה מותר להניח כי:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\infty}=0 }[/math]?

-- כן (מיכאל פרידמן)

שאלה 6

כדי להוכיח שהקבוצה היא מונואיד (מלבד סגירות ואבר יחידה) מספיק לומר שהרכבת טרספו' לינאריות היא אסוציאטיבית או שצריך ממש להוכיח את זה? (איך מוכיחים דבר כזה?!)

העתקות ליניאריות הן פונקציות. הרכבה של פונקציות היא תמיד אסוציאטיבית. עוזי ו. 21:51, 26 באוקטובר 2010 (IST)

שונות

שאלה כללית לגבי תרגיל 2 - כשאני מנסה להוכיח האם קבוצה היא חבורה למחצה, האם עליי להוכיח סגירות ואסוציאטיביות או שמספיק להוכיח רק אסוצ'?

פורמלית, קבוצה אינה יכולה להיות חבורה למחצה: חבורה למחצה היא מערכת מתמטית הכוללת שני מרכיבים - קבוצה ופעולה בינארית. ופעולה, מעצם טיבה, היא "סגורה". לכן, אם נתונות קבוצה ופעולה, די להוכיח שהפעולה אסוציאטיבית. אם נתונות קבוצה ו"הצעה לפעולה", יש לבדוק שהפעולה אכן מוגדרת היטב, ואז שהיא גם אסוציאטיבית.

לפעמים יש ברקע חבורה למחצה A עם פעולה משלה, ויש לבדוק האם תת-קבוצה B מהווה חבורה למחצה. במקרה כזה הכוונה היא לפעולה המצומצמת מ-A, כלומר לפונקציה המחזירה עבור שני אברים של B את המכפלה שלהם ב-A; א-פריורי, הפונקציה הזו עלולה להחזיר איברים של A שאינם ב-B, ואז היא אינה פעולה. הפונקציה מוגדרת היטב על B אם היא מחזירה ערך ב-B לכל שני אברים של B (כלומר, אם הקבוצה B סגורה ביחס לפעולה). מאידך, את האסוציאטיביות אין צורך לבדוק בנפרד, משום שהיא מתקבלת בירושה מ-A. עוזי ו. 22:26, 31 באוקטובר 2010 (IST)

לא הבנתי איך אני מבדילה בתרגיל שקיבלנו (למשל בשאלה 1) בין פעולה "נתונה" ל"הצעה לפעולה"? --93.172.3.238 03:00, 1 בנובמבר 2010 (IST)

יש לבדוק גם סגירות. דורון פרלמן 03:52, 1 בנובמבר 2010 (IST)

לא כל מה שאומר "אני פעולה" הוא פעולה. לדוגמא, בסעיף ג' של שאלה 1 מבקשים שתוכיחו שהקבוצה [math]\displaystyle{ \ H=\{(x,y) \in \mathbb{Z}^2 | x^2-3y^2=1\} }[/math] עם ה"פעולה" [math]\displaystyle{ \ (x,y)*(z,w) = (xz+3yw,xw+yz) }[/math] היא חבורה למחצה. הצעד הראשון הוא לבדוק שזו באמת פעולה, כלומר, שהיא מחזירה איברים של H (ולא סתם זוגות סדורים). זו הסגירות המפורסמת. (ואכן, מה אם היו מבקשים לבדוק ש-H חבורה למחצה "תחת פעולת חיבור הוקטורים"?) אחריה, המועמד-לפעולה מקבל קידום ונעשה פעולה לכל דבר ועניין (ואז יש לבדוק שהיא אסוציאטיבית). עוזי ו. 11:37, 1 בנובמבר 2010 (IST)

תרגיל 3

• נניח שאני רוצה להגדיר חבורה (*,G). האם מותר לי לבנות את G כ-n-יה כאשר n הוא אינסוף?

80.74.111.178 13:49, 7 בנובמבר 2010 (IST)

כן. אני מניח שהתכוונת שכל אחד מאיברי G הוא n-יה אינסופית. ל-"n-יה אינסופית" קוראים בדרך כלל "סדרה" (שזו פשוט פונקציה שהתחום שלה הוא [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]). בכל אופן אתה יכול להגדיר את G בכל דרך שתרצה, כל עוד הכל מוגדר היטב. דורון פרלמן 17:11, 7 בנובמבר 2010 (IST)

• שאלה 4:

מה הכוונה [math]\displaystyle{ sl(f) \lt gl(f) }[/math]? למדנו יחס סדר בין חבורות?

• • הכוונה היא לאו דווקא ליחס סדר (אם כי אני לא לגמרי בטוח שזה לא מתקיים). כאן, הכוונה בביטוי [math]\displaystyle{ SL_n(\mathbb F) \lt GL_n(\mathbb F) }[/math] היא ש-[math]\displaystyle{ SL_n(\mathbb F) }[/math] היא תת-חבורה ("ממש") של [math]\displaystyle{ GL_n(\mathbb F) }[/math]. כלומר, [math]\displaystyle{ SL_n(\mathbb F) }[/math] היא חבורה שכל איבריה מוכלים ממש ב-[math]\displaystyle{ GL_n(\mathbb F) }[/math] כאשר הפעולה בשתי החבורות היא אותה פעולה.