תרגול 12 תשעז
חזרה לדף מערכי התרגול.
תוכן עניינים
פונקציות
הגדרה: יהיו קבוצות ו-
יחס בינהן. אזי:
- התחום של R הינו
- התמונה של R הינה
הערה: ישירות מהגדרה מתקיים כי .
דוגמה:
אזי התחום הוא
והתמונה הינה
.
הגדרה:
- יחס
מ-
ל-
נקרא על אם
כלומר
.
- יחס
מ-
ל-
נקרא מלא אם
כלומר
- יחס
נקרא חד ערכי אם
כלומר אין איבר מ-
שמתאים לשני איברים שונים מ-
.
הגדרה:
יחס חד ערכי ומלא נקרא פונקציה; נסמן במקרה זה .
ובאופן כללי
.
(
נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה ו-
נקרא הטווח של הפונקציה.)
פונקציה נקראת חד-חד ערכית אם בנוסף היחס ההפוך הוא חד ערכי.
כלומר:
חח"ע אמ"מ
אמ"מ
.
הגדרה:
תהא קבוצה. פונקציית הזהות היא פונקציה
המקיימת
. נהוג לסמנה
. פונקציית הזהות היא חח"ע ועל.
דוגמאות
כאשר
חח"ע ואינה על.
כאשר
אינה חח"ע ואינה על.
כאשר
לא מוגדרת כי
.
כאשר
חח"ע ועל.
כאשר
חח"ע ועל.
- תהא פונקציה
אזי
המוגדרת לכל
לפי
היא על (במילים: פשוט חושבים על הטווח של
להיות התמונה של
).
- תהא
אזי הפונקציה
המוגדרת לכל
לפי
נקראת פונקציה ההכלה (אם
זו פונקצית הזהות). פונקצית ההכלה היא חח"ע.
תרגיל
נסמן ב- את אוסף הפונקציות מהטבעיים לעצמם.
נתבונן בפונקציה המוגדרת ע"י
האם היא חח"ע? האם היא על?
פתרון
לא חח"ע כי יש הרבה פונקציות שנותנות ל-1,2 (יחד!) את אותם ערכים.
על: לכל זוג סדור הפונקציה ששולחת את 1 ל-
, ואת 2 ל-
, היא המקור (את שאר הטבעיים נשלח לאן שנרצה).
תרגיל
תהא קבוצה. נגדיר פונקציה
ע"י:
האם היא חח"ע? על?
פתרון
חח"ע: כן. תהיינה אם
אזי
. אחרת
.
על: לא. למשל לקבוצה אין מקור. אין תת קבוצה שהאוסף הזה הוא בדיוק אוסף הקבוצות המכילות אותה.
תרגיל
יהיו ו-
קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכיחו שכל פונקציה מ-
ל-
הינה על אם"ם היא חח"ע.
הוכחה:
נסמן . כאשר כל האיברים ב-
שונים זה מזה וכנ"ל ב-
.
נניח חח"ע אזי
כיוון ש-
ובשניהם יש אותו מספר איברים, מתקיים שיוון ולכן
על.
נניח על. נניח בשלילה ש-
אינה חח"ע אזי
(כי יש שני איברים שנשלחים לאותו מקום) ואז
אינה על, שזו סתירה.
הערה: הדבר אינו נכון אם ו-
קבוצות אינסופיות. נסו למצוא דוגמה.
הרכבת פונקציות
הגדרה:
יהיו שתי פונקציות אזי ההרכבה של
על
היא פונקציה
המוגדרת על ידי הכלל
.
הערה: אם מתייחסים לפונקציות כאל יחסים - מקבלים את ההגדרה של הרכבת יחסים.
משפט:
- אם
חח"ע אזי
חח"ע.
- אם
על אזי
על.
- מסקנה: אם
חח"ע ועל אזי
חח"ע ו-
על.
פונקציות הפיכות
הערה: לכל פונקציה מתקיים
וגם
.
הגדרה: תהי פונקציה
. פונקציה
תיקרא הפונקציה ההופכית ל-
אם
וגם
. במקרה זה נסמן את
על ידי
, ונאמר שהפונקציה
היא הפיכה.
תרגיל (בהרצאה):
הוכיחו כי פונקציה הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל.
הוכחה:
אם הפיכה, אזי
וגם
. מכיוון שפונקציית הזהות הינה חח"ע ועל, נובע ש-
חח"ע ועל לפי משפט קודם.
אם חח"ע ועל, אז נגדיר
ע"י: עבור
קיים (כי
על)
יחיד (כי
חח"ע) כך ש-
. נגדיר
. תרגיל: בדקו כי
היא ההופכית של
.