אנליזה מתקדמת למורים תרגול 7

חזרה ל מערכי תרגול.

מהי מד"ר?

מד"ר = משוואה דיפרנציאלית רגילה. כלומר, זוהי משוואה שמערבת פונקציה ונגזרות שלה (עם משתנה אחד). למשל: [math]\displaystyle{ y+y'-x^2+2=2y'' }[/math]. המטרה היא למצוא פונקציה [math]\displaystyle{ y }[/math] שפותרת את המשוואה.

אנחנו נלמד על שיטות לפתור משוואות כאלה, כלומר למצוא את הפונקציה [math]\displaystyle{ y }[/math] המתאימה (לפעמים זה יהיה עד כדי תוספת של קבוע, דבר שלא משפיע על הנגזרות).

מד"ר לינארית מסדר ראשון

מד"ר לינארית מסדר ראשון היא כזו שניתן למצוא פונקציות [math]\displaystyle{ a(x),b(x) }[/math] ולהביא את המשוואה לצורה: [math]\displaystyle{ y'+a(x)y=b(x) }[/math]. היא תקרא הומוגנית אם[math]\displaystyle{ b(x)=0 }[/math].

דוגמאות נחמדות.

איך פותרים משוואות כאלה?

הומוגנית

נתחיל משיטת פתרון להומוגנית:

המשוואה הנתונה היא כזו: [math]\displaystyle{ y'+a(x)y=0 }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ A(x)=\int a(x)dx }[/math], נכפיל בגורם שונה מאפס [math]\displaystyle{ e^{A(x)} }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=0 }[/math]. כעת נשים לה להפתעה הבאה:

[math]\displaystyle{ (ye^{A(x)})'=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}A'(x)=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}a(x)=0 }[/math].

כלומר, קיבלנו שאגף שמאל הוא הנגזרת [math]\displaystyle{ (ye^{A(x)})' }[/math], אבל אגף שמאל שווה אפס, ולכן הנגזרת הזו גם שווה לאפס. איך זה עוזר לנו? ניזכר שנגזרת של משהו שווה לאפס אם ורק אם הוא קבוע, ולכן קיבלנו [math]\displaystyle{ ye^{A(x)}=c }[/math]

ומכאן למסקנה החשובה: [math]\displaystyle{ y=ce^{-A(x)} }[/math]. זה מה שצריך לעשות בפועל!!

תרגיל

פתרו את המד"ר: [math]\displaystyle{ y'+\ln(x)y=0 }[/math]/

פתרון

בסימונים מלמעלה נקבל [math]\displaystyle{ a(x)=\ln(x)\Rightarrow A(x)=\int \ln(x)dx=x\ln(x)-x }[/math]. לכן נקבל [math]\displaystyle{ y=ce^{-x\ln(x)+x} }[/math].

לא הומוגנית

האמת היא שזה אותו רעיון בדיוק. כאן המד"ר היא [math]\displaystyle{ y'+a(x)y=b(x) }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ A(x)=\int a(x)dx }[/math], נכפיל בגורם שונה מאפס [math]\displaystyle{ e^{A(x)} }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=b(x)e^{A(x)} }[/math]. כעת נשים לה להפתעה הבאה:

[math]\displaystyle{ (ye^{A(x)})'=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}A'(x)=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}a(x)=b(x)e^{A(x)} }[/math].

כלומר, קיבלנו שאגף שמאל הוא הנגזרת [math]\displaystyle{ (ye^{A(x)})' }[/math], ולכן שווה לאגף ימין. לכן [math]\displaystyle{ ye^{A(x)}=\int b(x)e^{A(x)}dx+c }[/math].

ומכאן לנוסחא: [math]\displaystyle{ y=e^{-A(x)}(\int b(x)e^{A(x)}dx+c) }[/math].

תרגיל

פתרו את המד"ר הבאה: [math]\displaystyle{ y'+y=x }[/math].

פתרון

בסימונים מלמעלה נקבל [math]\displaystyle{ a(x)=1(\Rightarrow A(x)=x),b(x)=x }[/math], ולכן נקבל: [math]\displaystyle{ y=e^{-x}(\int xe^xdx+c) }[/math]. נפתור את האינטגרל בחלקים: [math]\displaystyle{ \int xe^xdx=\{f=x,g'=e^x,f'=1,g=e^x\}=fg-\int f'g=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x=e^x(x-1) }[/math]. ולכן: [math]\displaystyle{ y=e^{-x}(e^x(x-1)+c)=x-1+ce^{-x} }[/math].

פתרון פרטי ותנאי התחלה

כפי ששמתם לב, הפתרון שלנו הוא כללי - לכל [math]\displaystyle{ c }[/math] שנציב נקבל פונקציה אחרת. לפעמים אנחנו רוצים למצוא פונקציה ספציפית. אם נדע ערך בנקודה ספציפית נוכל לדעת מהי הפונקציה הספציפית. למשל בתרגיל הקודם, אם נתון לנו ש [math]\displaystyle{ y(0)=1 }[/math] נציב במשוואה הכללית שקיבלנו [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] ונקבל:

[math]\displaystyle{ 1=y(0)=0-1+ce^{-0}=-1+c\Rightarrow c=2 }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ y=x-1+2e^{-x} }[/math].

תרגיל

לפי חוק הקירור של ניוטון, קצב ההתקררות של גוף הנמצא באוויר פרופורצינאלי להפרש בין טמפרטורת החדר לטמפרטורת הגוף. אם טמפרטורת החדר היא 30 וטמפרטורת הגוף 100, וידוע שהגוף מתקרר מ100 ל70 במשך 15 דקות. מתי תהיה טמפרטורת הגוף 40?

פתרון

הפונקציה הבסיסית בסיפור היא הטמפרטורה כפונקצייה של הזמן: [math]\displaystyle{ T(x) }[/math] זו הטמפ' בזמן [math]\displaystyle{ x }[/math]. כעת קצב התקררות זה בדיוק השיפוע של פונקציית הטמפ', כלומר, הנגזרת. נתון שהוא פרופורציונאלי להפרש, לכן נקבל [math]\displaystyle{ T'=-k(T-30) }[/math]. נביא את המד"ר לצורה שאנחנו אוהבים: [math]\displaystyle{ T'+kT=30 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a(x)=k(\Rightarrow A(x)=kx),b(x)=30k }[/math], ולפי הנוסחא נקבל: [math]\displaystyle{ T=e^{-kx}(\int 30ke^{kx}dx+c)=e^{-kx}(30k^2e^{kx}+c)=30k^2+ce^{-kx} }[/math]. כעת נציב את נתוני ההתחלה: [math]\displaystyle{ T(0)=100,T(15)=70 }[/math], ונקבל: