חוג ריבועי
חוג ריבועי הוא חוג שבו כל איבר מקיים משוואה ממעלה שניה מעל השלמים.
עבור שלם D חופשי מריבועים (כלומר שאין לו מחלק ריבועי), נסמן . החוג
הוא "הסגור השלם" של חוג השלמים בשדה
. כל תחום שלמות ריבועי הוא תת-חוג של חוג מהצורה הזו.
תחומי שלמות ריבועיים הם "מעבדה" לבחינת מושגי היסוד של תחומי שלמות: איברים ראשוניים ואי-פריקים, פריקות יחידה ואידיאלים ראשיים, אוקלידיות וכדומה. חלק מהמושגים האלה דורשים חישוב של חוגי מנה. נדגים זאת בכמה מקרים.
חישוב חוגי מנה
נחשב את . כדי לוודא שלא תשתחל פנימה טעות בסימן של השורש, נחליף אותו בשם משתנה ונכתוב את החוג המקורי כמנה
, ואת חוג המנה המבוקש כמנה
. מכיוון שבחוג המנה הזה t=4, מתברר ש-
, כלומר המנה היא
.
נחשב את המנה . כאן חשוב עוד יותר להחליף שמות ולסמן
, כאשר
. מכיוון ש-
, אנחנו מחשבים את המנה
. הנורמה של 3+7x היא 177=3*59, ומכיוון שהנורמה היא (כמובן) כפולה של 3+7x, האידיאל מכיל את 177. זה אומר שהמנה שווה ל-
! בחוג הזה 7 הוא הפיך, ואפשר לפתור את המשוואה:
, כלומר x=-51. הצבת ערך זה מאפסת (שלא במפתיע) את התנאי הריבועי, ולכן חוג המנה הוא
.