חדוא 2 - ארז שיינר
תקציר ההרצאות
פרק 1 - האינטגרל הלא מסויים
- הגדרה: F נקראת פונקציה קדומה של f בקטע A אם לכל נקודה בקטע מתקיים כי [math]\displaystyle{ F'=f }[/math]
- האינטגרל הלא מסויים [math]\displaystyle{ \int f(x)dx }[/math] מסמן פונקציה קדומה של f.
- תהי F קדומה של f, אזי קבוצת כל הקדומות של f שווה ל[math]\displaystyle{ \{F+c|c\in\mathbb{R}\} }[/math]
- אינטגרלים מיידיים ידועים לנו מנוסחאות הגזירה.
שיטות למציאת קדומה
- תהיינה f,g פונקציות בעלות קדומות, אזי:
- [math]\displaystyle{ \int (cf) = c \int f }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int (f+g) = \int f + \int g }[/math]
אינטגרציה בחלקים
[math]\displaystyle{ \int f'g = fg - \int fg' }[/math]
שיטת הההצבה
פונקציה רציונאלית
- הורדת דרגת המונה ע"י חילוק פולינומים
- פירוק לשברים חלקיים
- חישוב אינטגרל של כל שבר חלקי
- נסמן [math]\displaystyle{ I_n=\int \frac{1}{(1+t^2)^n} dt }[/math]
- אזי [math]\displaystyle{ I_{n+1}=\frac{t}{2n(1+t^2)^n} + \left(1-\frac{1}{2n}\right)I_n }[/math]
כאשר תנאי ההתחלה הוא [math]\displaystyle{ I_1=\arctan(t) }[/math]
פרק 2 - האינטגרל המסויים
סכומי דרבו ואינטגרל עליון ותחתון
- [math]\displaystyle{ m(b-a)\leq \underline{S}(f,P)\leq \overline{S}(f,P)\leq M(b-a) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \underline{S}(f,P)\leq \underline{\int_a^b}f(x)dx\leq \overline{\int_a^b}f(x)dx\leq \overline{S}(f,P) }[/math]