מבחנים ופתרונות

סרטוני ותקציר ההרצאות

תהי $A \subseteq R$ אזי:
- $M \in A$ נקרא המקסימום של A או האיבר הגדול ביותר של A אם לכל $a \in A$ מתקיים כי $a \leq M$
- $M \in R$ נקרא חסם מלעיל של A אם לכל $a \in A$ מתקיים כי $a \leq M$
- $m \in A$ נקרא המינימום של A או האיבר הקטן ביותר של A אם לכל $a \in A$ מתקיים כי $a \geq M$
- $m \in R$ נקרא חסם מלרע של A אם לכל $a \in A$ מתקיים כי $a \geq M$

כמו כן:
- אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של A הוא נקרא החסם העליון של A, או הסופרמום של A ומסומן $sup (A)$
- אם יש איבר גדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של A הוא נקרא החסם התחתון של A, או האינפימום של A ומסומן $inf (A)$

בשדה הממשיים לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון, ולכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע יש חסם תחתון.
בשדה הרציונאליים זה לא נכון; לקבוצה $A = {x \in Q | x^{2} < 2}$ אין מספר רציונאלי קטן ביותר מבין חסמי המלעיל שלה.

תהי $A \subseteq R$ ויהי $M \in R$ אזי:
- M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר $M - ε < M$ קיים מספר $a \in A$ כך ש $a > M - ε$
- m הוא החסם התחתון של A אם ורק אם m הוא חסם מלרע של A ולכל מספר $m < m + ε$ קיים מספר $a \in A$ כך ש $a < m + ε$

דוגמא: תהיינה $\emptyset \neq A, B \subseteq R$ חסומות מלעיל כך שA אינה מכילה חסמי מלעיל של B, אזי $sup (A) \leq sup (B)$

הגדרת הגבול של סדרה:
תהי סדרה ממשית $a_{n}$ ויהי מספר ממשי $L \in R$ .
$L$ הינו גבול הסדרה $a_{n}$ (מסומן $lim a_{n} = L$ או $a_{n} \to L$ ) אם:
- לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר:
- לכל מרחק $ε > 0$ קיים מקום $N \in N$ כך שאחריו לכל $n > N$ מתקיים כי $| a_{n} - L | < ε$

נגדיר ש $a_{n} \to \infty$ אם לכל $M > 0$ קיים $N \in N$ כך שלכל $n > N$ מתקיים כי $a_{n} > M$
נגדיר ש $a_{n} \to - \infty$ אם $- a_{n} \to \infty$

סנדביץ' וחצי סדנביץ'
$a_{n} \to 0 ⟺ | a_{n} | \to 0$
חסומה כפול אפיסה היא אפיסה.
מבחן המנה (הוכחה בסיכום הבא על אי-שוויון הממוצעים).
- תהי סדרה $a_{n}$ המקיימת כי גבול המנה הוא $| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | \to L$ אזי:
  - אם $1 < L \leq \infty$ מתקיים כי $| a_{n} | \to \infty$
  - אם $0 \leq L < 1$ מתקיים כי $a_{n} \to 0$
  - מתקיים כי $\sqrt[n]{| a_{n} |} \to L$

אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
- חסומה כפול אפיסה = אפיסה
- חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
- $\infty + \infty = \infty$
- $\infty \cdot \infty = \infty$
- $\infty^{\infty} = \infty$
- $\frac{1}{0} \neq \infty$
- $\frac{1}{0^{+}} = \infty$
- $0^{\infty} = 0$
- אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
- אינסוף כפול סדרההשואפת למספר שלילי = אינסוף.
- יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
- אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
- אם $a > 1$ אזי $a^{\infty} = \infty$
- חזקת סדרות שואפת לחזקת הגבולות.
המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
- $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0 \cdot \infty, \infty - \infty, 0^{0}, \infty^{0}, 1^{\infty}$
מבחן המנה (אי-שוויון הממוצעים).
הגבול של השורש הn של n.