אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/1.8.12

פונקציה רציפה למקוטעין

הגדרה: הפונקציה [math]\displaystyle{ f:[-\pi,\pi]\to\C }[/math] תקרא רציפה למקוטעין אם:

ל־[math]\displaystyle{ f }[/math] יש לכל היותר מספר סופי של נקודות אי־רציפות.
בכל נקודת אי־רציפות קיימים הגבולות החד־צדדיים. כלומר, אם [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אי־רציפות אזי [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to x_0^+}f(x),\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x) }[/math] קיימים במובן הצר.

הערה: מובן שניתן לדבר גם על פונקציות רציפות למקוטעין בתחומים אחרים, אולם אנו לא נעסוק בהן.

תכונות

סכום, הפרש או כפל של פונקציות רציפות למקוטעין גם היא רציפה למקוטעין.
הכפלה של פונקציה רציפה למקוטעין בסקלר היא פונקציה רציפה למקוטעין.

לפיכך מתקיימים התנאים לתת־מרחב לינארי, כלומר קבוצת הפונקציות הרציפות למקוטעין הוא מרחב לינארי. נסמן מרחב זה ב־[math]\displaystyle{ E }[/math]. המכפלה הפנימית בו מוגדרת כ־[math]\displaystyle{ \displaystyle\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\overline{g(x)}dx }[/math].

משפט

סדרת הפונקציות [math]\displaystyle{ \left\{\frac{1}{\sqrt2},\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x),\ldots\right\} }[/math] היא מערכת אורתונורמלית ב־[math]\displaystyle{ E }[/math].

הוכחה

נראה כי מכפלה פנימית של כל זוג אברים שונים במערכת שווה ל־0, ושנורמה של כל אבר היא 1:

[math]\displaystyle{ \begin{align}\left\langle\frac{1}{\sqrt2},\sin(nx)\right\rangle&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1}{\sqrt2}\sin(nx)dx=\left[-\frac{1}{\sqrt2\pi n}\cos(nx)\right]_{-\pi}^\pi=\frac{-1}{\sqrt2\pi n}\Big(\cos(n\pi)-\cos(n\pi)\Big)=0\\\left\langle\frac{1}{\sqrt2},\cos(nx)\right\rangle&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1}{\sqrt2}\cos(nx)dx=\left[\frac{1}{\sqrt2\pi n}\sin(nx)\right]_{-\pi}^\pi=\frac{1}{\sqrt2\pi n}\Big(\sin(n\pi)-\sin(n\pi)\Big)=0\\\bigl\langle\sin(mx),\cos(nx)\bigr\rangle&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(mx)\cos(nx)dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{\sin((n+n)x)+\sin((m-n)x)}{2}dx\\&=-\frac{1}{2\pi}\left[\frac{\cos((m+n)x)}{m+n}+\frac{\cos((m-n)x)}{m-n}\right]_{-\pi}^\pi=0\end{align} }[/math]

הערה: נעזרנו בזהות [math]\displaystyle{ \sin(\alpha)\cos(\beta)=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2} }[/math]. דרך נוספת תהיה להשתמש פעמיים באינטגרציה בחלקים:

[math]\displaystyle{ \int\sin(mx)\cos(nx)dx=\left[\dfrac{n\sin(mx)\sin(nx)-m\cos(mx)\cos(nx)}{1-m^2}\right]_{-\pi}^\pi=0 }[/math]

עדיף לבדוק לפני ביצוע האינטגרציה אם מדובר בפונקציה זוגית או אי־זוגית.

באותו אופן ניתן להראות כי [math]\displaystyle{ \langle\sin(mx),\sin(nx)\rangle=\langle\cos(mx),\cos(nx)\rangle=0 }[/math].

עתה נראה שהנורמה של כל אבר היא 1:

[math]\displaystyle{ \begin{align}\left\|\frac{1}{\sqrt2}\right\|^2&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{dx}{\sqrt{2}^2}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\\\|\sin(nx)\|^2&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(nx)^2dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1-\cos(2nx)}{2}dx=\frac{1}{\pi}\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin(2nx)}{4n}\right]_{-\pi}^\pi=1\\\|\cos(nx)\|^2&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\cos(nx)^2dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1+\cos(2nx)}{2}dx=1\end{align} }[/math]

מערכת סגורה

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ \{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\dots\} }[/math] מערכת אורתונורמלית אינסופית במרחב מ״פ [math]\displaystyle{ V }[/math]. המערכת תקרא סגורה ב־[math]\displaystyle{ V }[/math] אם

[math]\displaystyle{ \forall\mathbf u\in V:\ \lim\limits_{n\to\infty}\left\|\mathbf u-\sum\limits_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k\right\|=0 }[/math]

מסקנה: ניתן להציג כל [math]\displaystyle{ f }[/math] בעזרת צירוף לינארי אינסופי של האברים השייכים למערכת האורתונורמלית האינסופית. נמצא את סדרת מקדמי פורייה עבור המערכת האורתונורמלית החדשה שהגדרנו.

[math]\displaystyle{ \begin{align}1.&\mathbf e_1(x)=\frac{1}{\sqrt2}\\&a_0:=\langle f,\mathbf e_1\rangle\mathbf e_1=\left(\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\frac{1}{\sqrt2}dx\right)\frac{1}{\sqrt2}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx\\2.&\mathbf e_n=\sin(nx)\\&\langle f,\mathbf e_n\rangle\mathbf e_n=\underbrace{\left(\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx\right)}_{b_n}\sin(nx)\\3.&\mathbf e_n=\cos(nx)\\&\langle f,\mathbf e_n\rangle\mathbf e_n=\underbrace{\left(\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx\right)}_{a_n}\cos(nx)\end{align} }[/math]

לסיכום, ניתן לרשום את כל הטור בצורה הבאה:

[math]\displaystyle{ \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big)\\\begin{cases}\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx,&n=0,1,2,\ldots\\\displaystyle b_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx,&n=1,2,\ldots\end{cases} }[/math]

טור פורייה

תהי [math]\displaystyle{ f\in E }[/math]. הטור שמצאנו נקרא טור פורייה של [math]\displaystyle{ f }[/math] ויסומן

[math]\displaystyle{ \displaystyle f(x)\sim\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big) }[/math]

פונקציות זוגיות ואי־זוגיות

תכונות:

מכפלה של פונקציות זוגיות היא זוגית.
מכפלה של פונקציות אי־זוגיות היא זוגית.
מכפלה של פונקציה זוגית ופונקציה אי־זוגית היא אי־זוגית.

משפט

תהי [math]\displaystyle{ f\in E }[/math].

אם [math]\displaystyle{ f }[/math] זוגית אז טור פורייה שלה הוא [math]\displaystyle{ \dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cos(nx) }[/math]. טור כזה נקרא "טור קוסינוסים".
אם [math]\displaystyle{ f }[/math] אי־זוגית אז טור פורייה שלה הוא [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n\sin(nx) }[/math]. טור כזה נקרא "טור סינוסים".

תרגיל

מצא טור פורייה של [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}-2&:\!x\lt 0\\1&:\!x\ge0\end{cases} }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math].

פתרון

ראשית, נשים לב שהפונקציה אינה זוגית ואינה אי־זוגית. מתקיים

[math]\displaystyle{ \begin{align}a_0&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^0 -2\,dx+\frac{1}{\pi}\int\limits_0^\pi dx=\frac{1}{\pi}[-2x]_{-\pi}^0+\frac{1}{\pi}[x]_0^\pi=-2+1=-1\\a_n&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx=0\\b_n&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx=\begin{cases}0&:\!n\in2\Z\\\dfrac{6}{\pi n}&:\!n\in2\Z+1\end{cases}\end{align} }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ f(x)\sim-\dfrac12+\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{6}{(2n-1)\pi}\sin((2n-1)x) }[/math]. נשים לב שזה עדיין לא טור סינוסים, בגלל האבר [math]\displaystyle{ -\frac12 }[/math] שבהתחלה.

תרגיל

מצא טור פורייה של [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math] ב־[math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math].

פתרון

[math]\displaystyle{ f }[/math] אי־זוגית ולכן נחשב לה טור סינוסים:

[math]\displaystyle{ \begin{align}b_n&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi x\sin(nx)dx=\begin{bmatrix}u=x&u'=1\\v'=\sin(nx)&v=-\frac{\cos(nx)}{n}\end{bmatrix}\\&=\frac{2}{\pi}\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi+\frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi\frac{\cos(nx)}{n}dx=\frac{2}{\pi}\frac{-\pi(-1)^n}{n}+\frac{2}{\pi}\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_0^\pi=\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\end{align} }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ x\sim\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) }[/math].

תרגיל

נתונה [math]\displaystyle{ f\in E[-\pi,\pi] }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ a,b,c\in\C }[/math] נגדיר

[math]\displaystyle{ G(a,b,c)=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi|f(x)+a+b\cos(x)+c\sin(x)|dx }[/math]

עבור אלה ערכי [math]\displaystyle{ a,b,c }[/math] מקבלת [math]\displaystyle{ G }[/math] את ערכה המינימלי?

פתרון

נשים לב כי [math]\displaystyle{ G(a,b,c)=\Big\|f(x)-{\color{#0000FF}(-a-b\cos(x)-c\sin(x))}\Big\|^2 }[/math]. אם החלק הכחול הוא ההיטל האורתוגונלי של [math]\displaystyle{ f }[/math] אזי מובטח לנו כי [math]\displaystyle{ G(a,b,c) }[/math] מקבלת את ערכה המינימלי. נפתור זאת:

[math]\displaystyle{ \begin{align}-a&=\frac{\langle f,1\rangle}{\|1\|^2}=\dfrac{\displaystyle\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx}{\displaystyle\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi dx}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx\\-b&=\frac{\langle f,\cos\rangle}{\|\cos\|^2}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(x)dx\\-c&=\frac{\langle f,\sin\rangle}{\|\sin\|^2}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(x)dx\end{align} }[/math]

נתייחס למרחב הלינארי [math]\displaystyle{ \ell_2 }[/math] ולאבר [math]\displaystyle{ x=\left\{\dfrac{5^n-3^n}{7^n}\right\}_{n=1}^\infty }[/math]. מתקיים

[math]\displaystyle{ \displaystyle\|x\|_2^2=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{5^n-3^n}{7^n}\right)^2=\sum_{n=1}^\infty\frac{25^n-2\cdot15^n+9^n}{49^n}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{25}{49}\right)^n-2\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{15}{49}\right)^n+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac9{49}\right)^n }[/math]

אלה טורים הנדסיים והתוצאה היא [math]\displaystyle{ \frac{16}{85} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \|x\|_2=\frac{4}{\sqrt{85}} }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]