88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1.5

אלגברה לינארית 1 - מערך תרגול

מערכות משוואות לינאריות

(תיאוריה מההרצאה, אם אין צורך בזה אפשר לדלג יש לתרגילים)

מערכות משוואות לינאריות בn משתנים עם m משוואות הינה מערכת מהצורה

[math]\displaystyle{ a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+...+a_{1,n}x_n=b_1 }[/math]

[math]\displaystyle{ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+...+a_{2,n}x_n=b_2 }[/math]

... [math]\displaystyle{ a_{m,1}x_1+a_{m,2}x_2+...+a_{m,n}x_n=b_m }[/math]

(סה"כ m משוואות)

ניתן להציג כל מערכת כזו באמצעות טבלת מספרים הנקראת מטריצה. לדוגמה:

[math]\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} x+3y=5\\ y-z=2\\ x+2y+z=4 \end{matrix}\right. }[/math]

את המערכת הנ"ל נייצג באמצעות המטריצה

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & |5 \\ 0 & 1 & -1 & |2 \\ 1 & 2 & 1 & |4 \end{pmatrix} }[/math]

ניתן להבחין במספר פעולות שלא ישנו את פתרונות מערכת המשוואות:

• כפל שני אגפי המשוואה במספר שונה מאפס (שקול לכפל שורה במטריצה במספר שונה מאפס)

[math]\displaystyle{ A\to [2R_1\to R_1] \to \begin{pmatrix} 2 & 6 & 0 & |10 \\ 0 & 1 & -1 & |2 \\ 1 & 2 & 1 & |4 \end{pmatrix} }[/math]

• חיבור שני אגפי משוואה אחת כפול קבוע, לשני אגפי משוואה שנייה (שקול לחיבור שורה אחת כפול קבוע במטריצה לשורה אחרת)

[math]\displaystyle{ A\to [-R_1+R_3\to R_3] \to \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & |5 \\ 0 & 1 & -1 & |2 \\ 0 & -1 & 1 & |-1 \end{pmatrix} }[/math]

• החלפת סדר המשוואות (שקול להחלפת סדר השורות במטריצה)

[math]\displaystyle{ A\to [R_1\leftrightarrow R_2] \to \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & |2 \\ 1 & 3 & 0 & |5 \\ 1 & 2 & 1 & |4 \end{pmatrix} }[/math]

דירוג גאוס

איבר מוביל/פותח/ציר הינו האיבר הראשון בשורה ששונה מאפס (משמאל לימין). מטריצה נקראת מדורגת אם מתחת לכל איבר מוביל שלה יש אפסים בלבד וכל איבר מוביל נמצא מימין לאיברים המובילים הקודמים. בנוסף, יש את הדרישה כי שורות אפסים (אם קיימות) נמצאות בסוף. מטריצה נקראת מדורגת קנונית אם היא מדורגת, ובנוסף יש אפסים מעל לכל איבר מוביל והאיברים המובילים חייבים להיות שווים למספר אחד.

הערה: לכל מטריצה קיימת צורה קנונית יחידה.

צורה סכמטית של צורה מדורגת היא הצורה (כאשר * מסמן ציר ו ? מסמן ערך כלשהוא) [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} * & ? & ? & ? & ?\\ 0 & 0 & * & ? &? \\ 0 & 0 & 0 & * & ? \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]

צורה סכמטית של צורה קנונית היא הצורה (כאשר  ? מסמן ערך כלשהוא) [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & ? & 0 & 0 & ?\\ 0 & 0 & 1 & 0 &? \\ 0 & 0 & 0 & 1 & ? \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]

כעת נלמד אלגוריתם המאפשר לנו לפתור מערכת משוואות לינארית באמצעות הצורה המטריצית שלה (בפרט, נדרג את המטריצה לצורתה הקנונית). תהליך זה נקרא אלגוריתם לדירוג גאוס.

תרגיל

פתרו את המערכת [math]\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{rcl} x+y-z & = & 1\\ \phantom{2kx}y+z & = & -1\\ x-3y+3z & = & 9\\ -2x+4y-24z & = & -14 \end{array}\right. }[/math]

ואת פתרו את המערכת [math]\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{rcl} x+y-z & = & 1\\ \phantom{2kx}y+z & = & -1\\ x-3y+3z & = & 9\\ -2x+4y-24z & = & -24 \end{array}\right. }[/math] מעל הממשיים

תרגיל

פתרו את המערכת [math]\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} x+3y=5\\ y-z=2\\ x+2y+z=4 \end{matrix}\right. }[/math] מעל הממשיים

תרגיל

פתור את המערכת הבאה מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) }[/math]

פתרון

נשתמש בדירוג גאוס

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) \xrightarrow[]{R_1 \leftrightarrow R_3} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) \xrightarrow[]{-2R_1 +R_2 \to R_2} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) }[/math]

זוהי הצורה המדורגת שממנה ניתן לראות כי יש פתרון יחיד. נמשיך לצורה הקנונית

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) \xrightarrow[]{-0.5R_2 +R_1 \to R_1} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1.5 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) \xrightarrow[]{0.5R_2 \to R_2} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1.5 \\ 0 & 1 & 0 & -0.5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) }[/math] ומכאן קל לראות שהפתרון היחיד הוא [math]\displaystyle{ x=1.5, y=-0.5, z=1 }[/math]

תרגיל המשך

פתור את המערכת הבאה מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 4 & 0 & 1 \\ 0 &3 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) }[/math]

פתרון

נשתמש בדירוג גאוס

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) \xrightarrow[]{0.5R_1 \to R_1} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 0.5 \\ 0 & 3 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) \xrightarrow[]{R_1 \to R_1-2/3 R_2} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -2/3 & -1/6 \\ 0 & 3 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) \xrightarrow[]{R_2 \to 1/3 R_2} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -2/3 & -1/6 \\ 0 & 1 & 1/3 & 1/3 \\ \end{array}\right) }[/math]

זוהי הצורה הקנונית שממנה ניתן לראות כי יש אין סוף פתרונות. נסמן את המשתנה החופשי [math]\displaystyle{ z=t }[/math] ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. [math]\displaystyle{ y=1/3-1/3t, x= -1/6+2/3t }[/math] ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה

[math]\displaystyle{ \{\left( \begin{array}{c} -\frac{1}{6}+\frac{2}{3} t\\ \frac{1}{3}-\frac{1}{3}t\\ t \end{array}\right) : \, t\in \mathbb{R} \} }[/math]

תרגיל

.4 נניח כי אחרי דירוג של מערכת נתונה הגענו ל [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 3 \end{array}\right) }[/math]

מצאו את קבוצת הפתרונות למערכת (מעל הממשיים) בהנחה ש:

• המערכת הומוגנית עם 4 משתנים .
• המערכת לא הומוגנית עם 3 משתנים.

תרגיל

פתור את המערכת הבאה מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) }[/math]

פתרון

נשתמש בדירוג גאוס

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) \xrightarrow[]{-R_1 +R_2\to R_2} \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 4 & 1 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) \xrightarrow[]{R_2 \leftrightarrow R_3} \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & 0 \\ \end{array}\right) \xrightarrow[]{4R_2+R_3 \to R_3} \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{array}\right) }[/math]

בשורה השלישית קיבלנו [math]\displaystyle{ 0x+0y=4 }[/math] כלומר שורת סתירה ולכן אין פתרון.

תרגיל

פתור את המערכת הבאה מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math].

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{ccc|c} i & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2& 0 & -2+i \\ 1 & 1-2i & 1 & 1-3i \\ \end{array}\right) }[/math]

תרגיל

פתור את המערכת הבאה מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math].

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{ccc|c} i & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1-2i & 1 & 5 \\ \end{array}\right) }[/math]

פתרון

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{ccc|c} i & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1-2i & 1 & 5 \\ \end{array}\right) \xrightarrow[]{iR_1+R_2 \to R_2} \left( \begin{array}{ccc|c} i & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1+i & 5+3i \\ \end{array}\right) \xrightarrow[]{R_1-2R_2 \to R_1} \left( \begin{array}{ccc|c} i & 0 & -1-2i & -7-6i \\ 0 & 1 & 1+i & 5+3i \\ \end{array}\right) \xrightarrow[]{-iR_1 \to R_1} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -2+i & -6+7i \\ 0 & 1 & 1+i & 5+3i \\ \end{array}\right) }[/math]

זוהי הצורה הקנונית שממנה ניתן לראות כי יש אין סוף פתרונות. נסמן את המשתנה החופשי [math]\displaystyle{ z=t }[/math] ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. [math]\displaystyle{ y=5+3i - t(1+i), x= -6+7i-t(-2+i) }[/math] ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה

[math]\displaystyle{ \{\left( \begin{array}{c} -6+7i-t(-2+i) \\ 5+3i - t(1+i)\\ t \end{array}\right) : \, t\in \mathbb{R} \} }[/math]

תרגיל 1.5 סעיף ב'

ברוב השנים לא מתעסקים עם מערכות משוואות מעל שדות סופיים וצריך לדלג

פתור את המערכת הבאה מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{11} }[/math].

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 5 & 3 & 3 & |0 \\ 7 & 3 & 7 & |0 \\ 7 & 9 & 0 & |3 \end{pmatrix} }[/math]

פתרון

נכפול את השורה הראשונה ב9 ואת השנייה והשלישית ב8. זכרו שכל הפעולות הן מודולו 11:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 5 & 5 & |0 \\ 1 & 2 & 1 & |0 \\ 1 & 6 & 0 & |2 \end{pmatrix} }[/math]

נחסר את השורה הראשונה מן השורות השנייה והשלישית.

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 5 & 5 & |0 \\ 0 & 8 & 7 & |0 \\ 0 & 1 & 6 & |2 \end{pmatrix} }[/math]

נכפול את השורה השנייה ב7

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 5 & 5 & |0 \\ 0 & 1 & 5 & |0 \\ 0 & 1 & 6 & |2 \end{pmatrix} }[/math]

נחסר את השורה השנייה מהשלישית לקבל

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 5 & 5 & |0 \\ 0 & 1 & 5 & |0 \\ 0 & 0 & 1 & |2 \end{pmatrix} }[/math]

ולכן הפיתרון הינו: [math]\displaystyle{ z=2, y=-10=1, x=-10-5=7 }[/math]

צורה מדורגת ומדורגת קנונית

אילו מבין ה [math]\displaystyle{ * }[/math] במטריצה הבאה [math]\displaystyle{ A=\left(\begin{array}{ccccc}* & 1 & 2 & 0 & *\\* & 0 & * & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 0 & *\end{array}\right) }[/math]

חייבים להיות אפסים בשביל ש:

• [math]\displaystyle{ A }[/math] מדורגת
• [math]\displaystyle{ A }[/math] מדורגת קנונית

מספר פתרונות

• נביט בצורה המדורגת של המטריצה.
• משתנה אשר בעמודה שלו בצורה המדורגת יש איבר מוביל (איבר ראשון משמאל בשורה, ששונה מאפס), נקרא משתנה תלוי.
• שאר המשתנים נקראים משתנים חופשיים.
• אם בצורה המדורגת יש שורת סתירה, אזי אין פתרונות למערכת.
• אם אין שורת סתירה בצורה המדורגת, מספר הפתרונות של המערכת הוא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.
  • בפרט, אם אין שורת סתירה ואין משתנים חופשיים אז יש פתרון יחיד.
  • בפרט, אם אין שורת סתירה, יש משתנים חופשיים ויש אינסוף מספרים בשדה אז יש אינסוף פתרונות.

תרגיל

מצא לאילו ערכים של הפרמטרים a יש למערכת פתרון יחיד, אין פתרון, או אינסוף פתרונות. במקרה של אינסוף פתרונות מצא את הפתרון הכללי.

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & a & 1 & 1 \\ a & a^2 & 1 & 2+a \\ a & 3a & 1 & 5\end{array}\right) }[/math]

פתרון

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & a & 1 & 1 \\ a & a^2 & 1 & 2+a \\ a & 3a & 1 & 5\end{array}\right) \xrightarrow[R_3 -aR_1 \to R_3]{ R_2 -aR_1 \to R_2} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & a & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1-a & 2 \\ 0 & a(3-a) & 1-a & 5-a \end{array}\right) \xrightarrow[]{ R_2 \leftrightarrow R_3} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & a & 1 & 1 \\ 0 & a(3-a) & 1-a & 5-a\\ 0 & 0 & 1-a & 2 \end{array}\right) }[/math]

ולכן:

• עבור [math]\displaystyle{ a\neq 0,1,3 }[/math] נקבל 3 צירים ולכן לא יהיו משתנים חופשיים. בנוסף לא תהיה שורת סתירה ולכן יהיה פתרון יחיד.
• עבור [math]\displaystyle{ a=1 }[/math] נקבל שורת סתירה בשורה השלישית
• עבור [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] נקבל את המטריצה

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right) }[/math] וגם פה יש סתירה כי מהשורה השניה נסיק [math]\displaystyle{ z=5 }[/math] ואילו מהשורה השלישית נסיק [math]\displaystyle{ z=2 }[/math] (אם היינו מדרגים את המטריצה היינו מקבלים שורת סתירה "קלאסית")

• עבור [math]\displaystyle{ a=3 }[/math] נקבל את המטריצה

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 2\\ 0 & 0 & -2 & 2 \end{array}\right) \xrightarrow[]{ R_3-R_2 \to R_3} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) }[/math] וגם שיש אין סוף פתרונות. נסמן את המשתנה החופשי [math]\displaystyle{ y=t }[/math] ונביע את שאר המשתנים בעזרתו. [math]\displaystyle{ z=-1, x= 1-z-3y=2-3t }[/math] ולכן קבוצת הפתרונות למערכת היא הקבוצה

[math]\displaystyle{ \{\left( \begin{array}{c} 2-3t \\ t\\ -1 \end{array}\right) : \, t\in \mathbb{R} \} }[/math]

תרגיל

מצא לאילו ערכים של הפרמטרים a,t יש למערכת פתרון יחיד, אין פתרון, או אינסוף פתרונות. במקרה של אינסוף פתרונות מצא את הפתרון הכללי (הערה: זהו הכללה של התרגיל הקודם. התרגיל הקודם מתקבל כאשר נציב t=-3 בתרגיל זה).

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & |1 \\ a & a^2 & 1 & |2+a \\ a & 3a & 1 & |2-t \end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ R_3:R_3-R2 }[/math]

[math]\displaystyle{ R_2:R_2-aR_1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & |1 \\ 0 & 0 & 1-a & |2 \\ 0 & 3a-a^2 & 0 & |-t-a \end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ R_2\leftrightarrow -R_3 }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & |1 \\ 0 & a(a-3) & 0 & |a+t \\ 0 & 0 & 1-a & |2 \end{pmatrix} }[/math]

כעת נניח [math]\displaystyle{ a\neq 0,1,3 }[/math]. נבצע פעולות שחוקיות רק תחת ההנחה הזו, ולאחר מכן לחזור לנקודה הזו בדיוק ונפתור את המקרים [math]\displaystyle{ a=0,1,3 }[/math] בצורה חוקית.

[math]\displaystyle{ R_2:\frac{R_2}{a(a-3)} }[/math]

[math]\displaystyle{ R_3:\frac{R_3}{1-a} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & |1 \\ 0 & 1 & 0 & |\frac{a+t}{a(a-3)} \\ 0 & 0 & 1 & |\frac{2}{1-a} \end{pmatrix} }[/math]

במקרה זה אין משתנים חופשיים ויש פתרון יחיד.

נחזור למקרים האחרים:

• נניח a=0 ונציב את הפרמטר הזו בנקודה בה עצרנו. נקבל:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & |1 \\ 0 & 0 & 0 & |t \\ 0 & 0 & 1 & |2 \end{pmatrix} }[/math]

אנו מקבלים משוואה מהצורה [math]\displaystyle{ 0=t }[/math].

• • אם [math]\displaystyle{ t\neq 0 }[/math] זו סתירה ולכן אין אף פתרון שיקיים את כל משוואות המערכת (כי משוואה זו לעולם לא תתקיים).
  • אם t=0 מקבלים משתנה חופשי, ואינסוף פתרונות: נציב במקום המשתנה החופשי פרמטר s ונקבל: [math]\displaystyle{ y=s,z=2,x=1-2 }[/math] ולכן סה"כ הפתרון הכללי הוא מהצורה [math]\displaystyle{ (-1,s,2) }[/math]

• נניח a=1:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & |1 \\ 0 & -2 & 0 & |1+t \\ 0 & 0 & 0 & |2 \end{pmatrix} }[/math]

השורה האחרונה הינה שורת סתירה ולכן אין פתרונות במצב זה.

• נניח a=3:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & |1 \\ 0 & 0 & 0 & |3+t \\ 0 & 0 & -2 & |2 \end{pmatrix} }[/math]

• • אם [math]\displaystyle{ t\neq -3 }[/math] יש שורת סתירה ואין פתרון למערכת
  • אם t=3 הפתרון הכללי הוא מהצורה [math]\displaystyle{ (2-3s,s,-1) }[/math]

תרגיל

תהא [math]\displaystyle{ A=\left(\begin{array}{ccc}1 & * & *\\0 & * & 3\end{array}\right) }[/math] ונתון שלמערכת לא בהכרח הומוגנית קיימים שני הפתרונות [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\3\\2\end{array}\right) }[/math]. האם המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] יכולה להיות בצורה קנונית?

תרגיל

נכון/לא נכון:

• למערכת משוואות המיוצג ע"י מטריצה [math]\displaystyle{ 4\times2 }[/math] אין פתרון.
• לכל מטריצה יש צורה מדורגת יחידה
• למטריצה [math]\displaystyle{ m\times n }[/math] יש לכל היותר m איברים פותחים (בצורה מדורגת)
• למטריצה [math]\displaystyle{ m\times n }[/math] יש לכל היותר n איברים פותחים (בצורה מדורגת)
• למערכת עם אינסוף פתרונות תהיה שורת אפסים בצורה מדורגת.
• בצורה מדורגת יש איבר יחיד שונה מאפס בכל עמודה.

תרגיל

נתונה מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{R}^{3\times3} }[/math] המקיימת כי [math]\displaystyle{ A\xrightarrow{R_{1}\leftrightarrow R_{3}}\xrightarrow{3R_{2}}\xrightarrow{R_{2}-2R_{1}}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 3\\ 2 & 0 & 1 \end{array}\right) }[/math] מצאו את [math]\displaystyle{ A }[/math].