מכפלה פנימית מושרית

בכל מרחב מכפלה פנימית ניתן להגדיר נורמה, הנובעת מהמכפלה הפנימית, הנקראת נורמה מושרית: [math]\displaystyle{ ||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} }[/math].

בערך זה נלמד באילו תנאים נורמה היא נורמה מושרית, ומה היא המכפלה הפנימית הנובעת מהנורמה, או המכפלה הפנימית המושרית.

כלל המקבילית

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית ויהיו [math]\displaystyle{ x,y\in V }[/math]. כלל המקבילית אומר שעבור הנורמה המושרית מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ ||x+y||^2 +||x-y||^2 =2 ||x|^2 +2||y||^2 }[/math]

הוכחת כלל המקבילית

• [math]\displaystyle{ ||x+y||^2+||x-y||^2=\langle x+y,x+y\rangle+\langle x-y,x-y\rangle= }[/math]
• [math]\displaystyle{ =\langle x, x\rangle +\langle x,y \rangle + \langle y,x \rangle + \langle y, y\rangle + \langle x, x\rangle -\langle x,y \rangle - \langle y,x \rangle + \langle y, y\rangle= }[/math]
• [math]\displaystyle{ =2\langle x, x\rangle+2\langle y, y\rangle = 2 ||x|^2 +2||y||^2 }[/math]

נורמה שאינה מושרית ממכפלה פנימית

כלל המקבילית מזכיר את הנורמה בלבד, ולא את המכפלה הפנימית, ולכן לכל נורמה ניתן לבדוק אם היא מקיימת את כלל המקבילית.

אם מדובר בנורמה המושרית ממכפלה פנימית, הוכחנו כי היא חייבת לקיים את כלל המקבילית.

נביט לדוגמא במרחב [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^2 }[/math] עם הנורמה [math]\displaystyle{ ||(a,b)||=|a|+|b| }[/math], ובוקטורים [math]\displaystyle{ x=(1,0),y=(0,1) }[/math]

[math]\displaystyle{ ||(1,0)+(0,1)||^2 + ||(1,0)-(0,1)||^2 =||(1,1)||^2 +||(1,-1)||^2 =2^2+2^2 =8 }[/math]

ואילו

[math]\displaystyle{ 2||(1,0)||^2 +2||(0,1)||^2=2\cdot 1+2\cdot 1=4\neq 8 }[/math]

כלומר נורמה זו אינה מקיימת את כלל המקבילית, ולכן אינה נורמה המושרית ממכפלה פנימית כלשהי.

מכפלה פנימית מושרית

אנו נוכיח שכל נורמה המקיימת את כלל המקבילית היא נורמה מושרית ממכפלה פנימית.

יתר על כן, נראה שנורמה לא יכול להיות מושרית משתי מכפלות פנימיות אחרות, אלא אחת בלבד ונראה כיצד ניתן לחשב את המכפלה הפנימית הזו באמצעות הנורמה בלבד.

כלומר נבנה מכפלה פנימית הנובעת מן הנורמה (מכפלה פנימית מושרית), כך שהנורמה היא הנורמה המושרית ממכפלה פנימית זו (לא מבלבל בכלל).

דיון מקדים

מכפלה פנימית, אמורה (לכאורה) לייצר שילוב של אורך וזוית, ולא מפתיע שניתן ליצור ממנה פונקציה המודדת אורך (הנורמה המושרית).

אך האם מתוך ידע על האורך בלבד ניתן גם לשחזר את הזוית? מסתבר שכן!

משפט הקוסינוסים במשולש שנוצר מהוקטורים [math]\displaystyle{ x,y }[/math] אומר כי:

[math]\displaystyle{ ||x-y||^2 =||x||^2+||y||^2 -2||x||||y||\cos(\theta) }[/math]

המכפלה הפנימית הסטנדרטית מעל הממשיים מקיימת כי:

[math]\displaystyle{ \langle x,y\rangle = ||x||||y||\cos(\theta) }[/math]

ולכן סה"כ נקבל כי

[math]\displaystyle{ \langle x,y\rangle = \frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2}{2} }[/math]

כלומר אכן הצלחנו לתאר את פונקצית המכפלה הפנימית באמצעות פונקצית הנורמה בלבד. האם זה מתקיים גם במקרה הכללי ולא רק בסטנדרטי?

הזהויות הפולריות

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית, ונביט בנורמה המושרית [math]\displaystyle{ ||x||=\sqrt{\langle x,x\rangle} }[/math].

כפי שהוכחנו, הנורמה מקיימת את כלל המקבילית. לכן לכל שני וקטורים [math]\displaystyle{ x,y\in V }[/math] מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ ||x+y||^2 =2||x||^2 +2||y||^2 -||x-y||^2 }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ \langle x+y,x+y\rangle + \langle x-y,x-y\rangle = 2||x||^2 +2||y||^2 -||x-y||^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \langle x,x\rangle + \langle x,y \rangle + \langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle = 2||x||^2 +2||y||^2 -||x-y||^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ ||x||^2 + \langle x,y \rangle + \overline{\langle x,y\rangle } +||y||^2 = 2||x||^2 +2||y||^2 -||x-y||^2 }[/math]

וסה"כ נקבל כי

[math]\displaystyle{ 2 Re \left(\langle x,y \rangle\right) = ||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ Re \left(\langle x,y \rangle\right) = \frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2}{2} }[/math]

מעל הממשיים, זו בדיוק הנוסחא שקיבלנו באמצעות משפט הקוסינוסים! (זו נקראת הזהות הפולרית הממשית).

מעל המרוכבים עלינו למצוא גם את החלק המדומה של המכפלה הפנימית על מנת לקבל את הזהות הפולרית הכללית.

כעת, נשים לב כי

[math]\displaystyle{ Re \left(\langle x,iy \rangle\right)=Re \left(\overline{i}\langle x,y \rangle\right) =Re \left(-i\langle x,y \rangle\right)=Im \left(\langle x,y \rangle\right) }[/math]

שכן לכל מספר מרוכב מתקיים כי [math]\displaystyle{ Re(i\cdot z) = -Im (z) }[/math]

ביחד אנחנו מוכנים כעת להסיק את הזהות הפולרית:

[math]\displaystyle{ \langle x,y\rangle = Re\left(\langle x,y \rangle\right) + i \cdot Im\left(\langle x,y \rangle\right) = }[/math]

[math]\displaystyle{ =Re\left(\langle x,y \rangle\right) + i \cdot Re\left(\langle x,iy \rangle\right) }[/math]

וסה"כ הזהות הפולרית היא

[math]\displaystyle{ \langle x,y\rangle=\frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2}{2} + i\cdot \frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-iy||^2}{2} }[/math]

שימו לב כי [math]\displaystyle{ ||iy||^2=(|i|\cdot ||y||)^2 = ||y||^2 }[/math]

עד כה אנו למדים כי מתוך הנורמה המושרית המכפלה הפנימית נקבעת באופן יחיד (הן בממשיים והן במרוכבים).

אך נותר לנו להוכיח כי המכפלה המוגדרת ע"י הנוסחא הפולרית היא אכן מכפלה פנימית, וכך נעשה בסעיפים הבאים.

הוכחה כי המכפלה הפנימית המושרית היא אכן מכפלה פנימית

המקרה הממשי

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב נורמי ממשי, עם נורמה המקיימת את כלל המקבילית.

נגדיר את המכפלה [math]\displaystyle{ \langle x,y\rangle = \frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2 }{2} }[/math]

נוכיח כי זו אכן מכפלה פנימית.

ראשית נשים לב לפיתוח הבא:

[math]\displaystyle{ \langle x,y\rangle = \frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2 }{2}= \frac{2||x||^2 +2||y||^2 -2||x-y||^2 }{4} = \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2}{4} }[/math]

כאשר המעבר האחרון הוא בזכות כלל המקבילית

אדטיביות

ראשית נוכיח כי [math]\displaystyle{ \langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle }[/math]

לפי ההגדרה מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ 4\langle x+y,z\rangle = ||x+y+z||^2 -||x+y-z||^2 }[/math]

וכן

[math]\displaystyle{ 4\langle x,z\rangle+4\langle y,z\rangle = ||x+z||^2 -||x-z||^2 +||y+z||^2 -||y-z||^2 }[/math]

ולכן עלינו להוכיח כי

[math]\displaystyle{ ||x+y+z||^2 -||x+y-z||^2 = ||x+z||^2 -||x-z||^2 +||y+z||^2 -||y-z||^2 }[/math]

נעביר אגף, ונקבל שעלינו להוכיח כי

[math]\displaystyle{ ||x+y+z||^2 -||x+y-z||^2 - ||x+z||^2 +||x-z||^2 -||y+z||^2 +||y-z||^2 =0 }[/math]

נפעיל את כלל המקבילית על ארבעת זוגות הוקטורים הבאים:

[math]\displaystyle{ \{x+z+y,x-y\} , \{x+z-y,x+y\}, \{z+y,y\} , \{z-y,y\} }[/math]

ונקבל את ארבע המשוואות:

[math]\displaystyle{ ||2x+z||^2 +||z+2y||^2 = 2||x+z+y||^2 + 2||x-y||^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ ||2x+z||^2 +||z-2y||^2 = 2||x+z-y||^2 + 2||x+y||^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ ||z+2y||^2 +||z||^2 = 2||z+y||^2 +2||y||^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ ||z||^2 +||z-2y||^2 = 2||z-y||^2 +2||y||^2 }[/math]

כעת ניקח את המשוואה הראשונה, פחות השנייה, פחות השלישית ועוד הרביעית (קל). כל הצד השמאלי יתאפס ונקבל סה"כ:

[math]\displaystyle{ 0 = 2||x+z+y||^2 + 2||x-y||^2 - 2||x+z-y||^2 - 2||x+y||^2 - 2||z+y||^2 + 2||z-y||^2 }[/math]