שיחה:89-214 סמסטר א' תשעא/תרגילים

הנחיות

ראשית, קיראו את ההנחיות בעמוד הראשי. דף זה מיועד לשאלות בנוגע לתרגילים - כולל קושיות ותהיות מתמטיות, וגם סוגיות טכניות (לפחות עד שנגְלה את אלה לדף אחר). אנא אל תפתחו כותרות ראשיות שלא לצורך. עוזי ו. 19:28, 7 באוקטובר 2010 (IST)

נושאים כלליים

האם בהרכבת של פעולה בינארית יכול להיות תנאי? לדוגמה:

a, b שייכים ל N

a + b =

1 אם a זוגי

אחרת 2

בוודאי שהגדרת הפעולה יכולה להיות מסובכת; פעולה בינארית מתאימה ערך לכל זוג סדור. אין שום סיבה לצפות שהפעולה תהיה מורכבת מפעולות מוכרות. עוזי ו. 20:44, 6 בנובמבר 2010 (IST)

רוצים לכתוב נוסחאות מתמטיות כאן ולא יודעים איך? אתם יכולים להעזר בעורך LaTeX הבא:

http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php זה גם עוזר ללמוד קצת LaTeX, תוך כדי, אבל לא חייבים להפנים אם לא רוצים. כדי להכניס את הנוסחה שערכתם, בעת עריכת ההודעה לחצו על ה-[math]\displaystyle{ \sqrt{n} }[/math] שמופיע ב-toolbar מעל תיבת העריכה והדביקו את הנוסחה במקום הטקסט formula שיופיע. --84.110.186.131 15:57, 22 בנובמבר 2010 (IST)

במשפט האיזומורפיזם הראשון אמרנו כי לכל הומומורפיזם [math]\displaystyle{ \ \phi : G \rightarrow H }[/math], [math]\displaystyle{ \ G/\operatorname{Ker}(\phi) \cong \operatorname{Im}(\phi) }[/math]. האם גם הכיוון השני נכון? כלומר, האם זה נכון כי אם [math]\displaystyle{ G/N\cong K }[/math] אז קיים אפימורפיזם [math]\displaystyle{ \phi: G\rightarrow K }[/math] שהגרעין שלו הוא [math]\displaystyle{ N }[/math]? --Shwarto 17:56, 5 בדצמבר 2010 (IST)

בהחלט: ההעתקה [math]\displaystyle{ \ g \mapsto gN }[/math] היא אפימורפיזם. עוזי ו. 22:03, 20 בינואר 2011 (IST)

אז למעשה זה בשני שלבים, לפי מה שאני מבין. קודם מעתיקים לחבורת המנה [math]\displaystyle{ G/N }[/math]. מכיוון שהיא איזומורפית ל-[math]\displaystyle{ K }[/math], עפ"י ההנחה, אז קיים איזומורפיזם מ-[math]\displaystyle{ G/N }[/math] ל-[math]\displaystyle{ K }[/math] ואז ההרכבה של ההעתקות האלה היא אותו אפימורפיזם [math]\displaystyle{ \phi: G\rightarrow K }[/math] שהגרעין שלו הוא [math]\displaystyle{ N }[/math] שרציתי לדעת אם הוא קיים. תודה. --Shwarto 17:56, 22 בינואר 2011 (IST)

לגבי תרגיל 7, כתוב למעלה שהקבוצה של יום רביעי (קבוצה 5) צריכה להגיש את התרגיל עד ה-22/12 ואח"כ כתוב שעד 26/12 בשעה 12:00 לתא של מיכאל. מה נכון?

--84.110.207.119 23:22, 19 בדצמבר 2010 (IST)

יש שתי קבוצות ביום רביעי (04, 05). קבוצה 04 מגישה כרגיל (22/12), קבוצה 05 מגישה עד 26/12. דורון פרלמן 00:57, 20 בדצמבר 2010 (IST)

כמה תרגילים צריך להגיש סה"כ? תודה.

7. דורון פרלמן 21:03, 6 בינואר 2011 (IST)

שאלה על משפט המיון

אפשר לקבל הסבר למשפט הבא: כל חבורת P אבלית איזומורפית למכפלה ישרה של חבורות P ציקליות

ראשית, יש לדייק: השימוש באות P כדי לסמן מספר ראשוני עלול לבלבל. צריך להיות "כל חבורת-p אבלית איזומורפית למכפלה ישרה של חבורות-p ציקליות". "חבורת-p" (כאשר p הוא מספר ראשוני) היא חבורה שהסדר של כל איבר שלה הוא חזקה של p. לפי משפט קושי, חבורה סופית היא חבורת-p אם ורק אם הסדר שלה הוא חזקה של p בעצמו. בפרט, חבורת-p ציקלית היא חבורה מהצורה [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_{p^m} }[/math] לאיזשהו m.

אם כך, הטענה היא שכל חבורת-p אבלית איזומורפית למכפלה של חבורות-p ציקליות. מה לא ברור? עוזי ו. 22:01, 20 בינואר 2011 (IST)

למה יש צורך לציין כי מדובר בחבורת-p אבלית? האם לא כל חבורה שהיא מסדר חזקה של ראשוני היא איזומורפית ל-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{p} }[/math] ולכן אבלית?

כאשר משתמשים במושג "חבורת-p" הכוונה היא לחבורה שהסדר שלה הוא p^n, ולא כל חבורה מסדר זה היא אבלית (למשל, ראינו חבורות לא אבליות מסדר p^3: מטריצות משולשיות עליונות עם 1 באלכסון ושאר הכניסות ב- [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{p} }[/math]). מיכאל.

יש לך בלבול כלשהו. ננסה לעשות סדר. מה שאנחנו יודעים זה שכל חבורה שהיא מסדר ראשוני היא ציקלית, ושכל חבורה ציקלית מסדר n איזומורפית ל-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{n} }[/math], לכן יש חבורה יחידה מכל סדר p (ראשוני) והיא [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{p} }[/math]. בנוגע לחזקות של ראשוניים (במקרה הכללי) אנחנו לא יודעים הרבה (כן הוכחנו כמה תוצאות, למשל שהמרכז הוא לא טריוואלי, אבל ממש לא אפיינו את כל החבורות האלה). את/ה שואל/ת "האם לא כל חבורה שהיא מסדר חזקה של ראשוני היא איזומורפית ל-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{p} }[/math] ולכן אבלית"? ודאי שלא! ראשית, איך חבורה שהיא מסדר חזקה של ראשוני יכולה להיות איזומורפית ל-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{p} }[/math]? למשל איך חבורה מסדר 9 יכולה להיות איזומורפית ל-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{3} }[/math]? באחת יש 9 איברים ובשניה 3 איברים! מעבר לזה, ראינו שיש 5 חבורות מסדר 8 (ו-8 זה 2 בחזקת 3 לכן 8 היא חבורת-p עם p=2), ששתיים מהן לא אבליות ([math]\displaystyle{ D_{4} }[/math] וחבורת הקווטרניונים). לסיכום במקרה הלא אבלי אנחנו לא יודעים הרבה. במקרה האבלי אנחנו יודעים הכל: לפי המשפט שציטטת בראשית דיון זה. דורון פרלמן 19:21, 22 בינואר 2011 (IST)

שאלה

U32 איזומורפי ל <3>*K. האיבר 3 נבחר כי הוא מסדר האקספוננט, איך בוחרים את התת חבורה הנוספת(את k)?

ראשית, [math]\displaystyle{ \ K \neq k }[/math].

החבורה שלנו היא חבורת-2 (כלומר, חבורה שסדרה חזקה של 2; במקרה זה 16). מכיוון שהאיבר 3 מסדר השווה לאקספוננט, אפשר להפעיל את המשפט על פירוק של חבורה אבלית G למכפלה ישרה שאחד הגורמים שלה הוא חבורה ציקלית H מסדר האקספוננט (תמצית ההוכחה: בוחרים איבר מסדר p בחבורת המנה G/H, ומחליפים אותו באיבר מסדר p בחבורה G שאינו נמצא ב-H; האיבר הזה יוצר תת-חבורה Q. אחר-כך בונים את הפירוק הישר באינדוקציה בחבורה G/Q, ומרימים הכל ל-G). לחלופין, מכיוון שהסדר של 3 הוא 8, מספיק לבחור איבר מסדר 2 שאינו בתת-החבורה [math]\displaystyle{ \ \langle 3 \rangle }[/math]. עוזי ו. 21:01, 22 בינואר 2011 (IST)

אוטומורפיזמים

כאשר יש אוטומורפיזם מחבורה לעצמה שהוא לא הזהות האם בעצם מבחינה רעיונית זה אומר שיש 2 איברים או יותר שמתנהגים אותו הדבר אז אפשר להחליף בינהם?

חסרה מלת קישור לפני "יש" או "אז". ("אם יש ... אז?", "יש ... ואז"?). תרגיל: מצאו את כל החבורות שבהן יש שני אברים שהחלפתם זה בזה (בלי לשנות אף איבר אחר) היא אוטומורפיזם. עוזי ו. 21:03, 22 בינואר 2011 (IST)

קבוצה יוצרת

אם עושים מתת-קבוצה S של חבורה G לא-אבלית קבוצה יוצרת (כמו שלמדנו) אז למה זה יוצא תת-חבורה? (אם G אבלית אני מבין)

תרגיל 1

תרגיל 2

שאלה 2

מהו X, הכוונה לכל X. X שייך לB,

X שייך לR??

-- ניתן לחשוב על X כעל משתנה (כמו בפולינומים), ולכן הוא לא שייך ל-R או ל-B. הרעיון הוא להסתכל על קבוצת כל הביטויים מהצורה [math]\displaystyle{ s+tx }[/math] כאשר הכפל (הפעולה) ביניהם מוגדר כפי שהוא מוגדר בשאלה (מיכאל פרידמן).

שאלה 5

האם בנוסף להנחות בשאלה מותר להניח כי:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\infty}=0 }[/math]?

-- כן (מיכאל פרידמן)

שאלה 6

כדי להוכיח שהקבוצה היא מונואיד (מלבד סגירות ואבר יחידה) מספיק לומר שהרכבת טרספו' לינאריות היא אסוציאטיבית או שצריך ממש להוכיח את זה? (איך מוכיחים דבר כזה?!)

העתקות ליניאריות הן פונקציות. הרכבה של פונקציות היא תמיד אסוציאטיבית. עוזי ו. 21:51, 26 באוקטובר 2010 (IST)

שונות

שאלה כללית לגבי תרגיל 2 - כשאני מנסה להוכיח האם קבוצה היא חבורה למחצה, האם עליי להוכיח סגירות ואסוציאטיביות או שמספיק להוכיח רק אסוצ'?

פורמלית, קבוצה אינה יכולה להיות חבורה למחצה: חבורה למחצה היא מערכת מתמטית הכוללת שני מרכיבים - קבוצה ופעולה בינארית. ופעולה, מעצם טיבה, היא "סגורה". לכן, אם נתונות קבוצה ופעולה, די להוכיח שהפעולה אסוציאטיבית. אם נתונות קבוצה ו"הצעה לפעולה", יש לבדוק שהפעולה אכן מוגדרת היטב, ואז שהיא גם אסוציאטיבית.

לפעמים יש ברקע חבורה למחצה A עם פעולה משלה, ויש לבדוק האם תת-קבוצה B מהווה חבורה למחצה. במקרה כזה הכוונה היא לפעולה המצומצמת מ-A, כלומר לפונקציה המחזירה עבור שני אברים של B את המכפלה שלהם ב-A; א-פריורי, הפונקציה הזו עלולה להחזיר איברים של A שאינם ב-B, ואז היא אינה פעולה. הפונקציה מוגדרת היטב על B אם היא מחזירה ערך ב-B לכל שני אברים של B (כלומר, אם הקבוצה B סגורה ביחס לפעולה). מאידך, את האסוציאטיביות אין צורך לבדוק בנפרד, משום שהיא מתקבלת בירושה מ-A. עוזי ו. 22:26, 31 באוקטובר 2010 (IST)

לא הבנתי איך אני מבדילה בתרגיל שקיבלנו (למשל בשאלה 1) בין פעולה "נתונה" ל"הצעה לפעולה"? --93.172.3.238 03:00, 1 בנובמבר 2010 (IST)

יש לבדוק גם סגירות. דורון פרלמן 03:52, 1 בנובמבר 2010 (IST)

לא כל מה שאומר "אני פעולה" הוא פעולה. לדוגמא, בסעיף ג' של שאלה 1 מבקשים שתוכיחו שהקבוצה [math]\displaystyle{ \ H=\{(x,y) \in \mathbb{Z}^2 | x^2-3y^2=1\} }[/math] עם ה"פעולה" [math]\displaystyle{ \ (x,y)*(z,w) = (xz+3yw,xw+yz) }[/math] היא חבורה למחצה. הצעד הראשון הוא לבדוק שזו באמת פעולה, כלומר, שהיא מחזירה איברים של H (ולא סתם זוגות סדורים). זו הסגירות המפורסמת. (ואכן, מה אם היו מבקשים לבדוק ש-H חבורה למחצה "תחת פעולת חיבור הוקטורים"?) אחריה, המועמד-לפעולה מקבל קידום ונעשה פעולה לכל דבר ועניין (ואז יש לבדוק שהיא אסוציאטיבית). עוזי ו. 11:37, 1 בנובמבר 2010 (IST)

תרגיל 3

נניח שאני רוצה להגדיר חבורה (*,G). האם מותר לי לבנות את G כ-n-יה כאשר n הוא אינסוף?

80.74.111.178 13:49, 7 בנובמבר 2010 (IST)

כן. אני מניח שהתכוונת שכל אחד מאיברי G הוא n-יה אינסופית. ל-"n-יה אינסופית" קוראים בדרך כלל "סדרה" (שזו פשוט פונקציה שהתחום שלה הוא [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]). בכל אופן אתה יכול להגדיר את G בכל דרך שתרצה, כל עוד הכל מוגדר היטב. דורון פרלמן 17:11, 7 בנובמבר 2010 (IST)

שאלה 4:

מה הכוונה [math]\displaystyle{ sl(f) \lt gl(f) }[/math]? למדנו יחס סדר בין חבורות?

- הכוונה היא לאו דווקא ליחס סדר (אם כי אני לא לגמרי בטוח שזה לא מתקיים). כאן, הכוונה בביטוי [math]\displaystyle{ SL_n(\mathbb F) \lt GL_n(\mathbb F) }[/math] היא ש-[math]\displaystyle{ SL_n(\mathbb F) }[/math] היא תת-חבורה ("ממש") של [math]\displaystyle{ GL_n(\mathbb F) }[/math]. כלומר, [math]\displaystyle{ SL_n(\mathbb F) }[/math] היא חבורה שכל איבריה מוכלים ממש ב-[math]\displaystyle{ GL_n(\mathbb F) }[/math] כאשר הפעולה בשתי החבורות היא אותה פעולה. --Shwarto 23:59, 8 בנובמבר 2010 (IST)

תרגיל 4

שאלה 1

בסעיף א, מה הכוונה "חבורת המטריצות ההפיכות כאשר הכניסות הן ב-Z2"? זאת לא אמורה להיות חבורת המטריצות ההפיכות מגודל 2*2 מעל Z2?

ומעל איזו פעולה מדובר? 93.172.153.180 15:28, 22 בנובמבר 2010 (IST)

- הכוונה היא שאיברי המטריצה הם ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2 }[/math]. הפעולה היא כפל מטריצות. --84.110.186.131 15:46, 22 בנובמבר 2010 (IST)

תרגיל 5

בשאלה 2 סעיף ב לא מנוסח באופן חד משמעי, האם הכוונה שלחבורה G אין תת חבורות נוספות כלל פרט לH? (הרי יש לפחות את הטריוויאליות). האם הכוונה שמסדר n אין עוד ת"ח לG פרט לH? מי הוא n? האם ניתן להניח כי [math]\displaystyle{ 1\lt n\lt |G| }[/math] ? אולי הכוונה בכלל ש [math]\displaystyle{ |G|=n }[/math] ? (ואז אין בעצם כל כך מה להוכיח). אשמח להבהרות שיסבירו באופן חד משמעי מה השאלה פה.

ניסוח יותר טוב: הוסף בתחילת הסעיף "יהי n ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]". (ובמילים אחרות: אתה צריך להראות שאם יש תת-חבורה כך שאין עוד תת-חבורות מאותו הסדר, אז היא נורמלית.) - דורון

בשאלה 7 נתון שהחבורות [math]\displaystyle{ G_1\subseteq G_2\subseteq ...\subseteq G_n\subseteq... }[/math] פשוטות ויש להוכיח כי [math]\displaystyle{ G=\bigcup_{n}G_n }[/math] פשוטה. זה הרי נתון שהיא פשוטה, לא? כתוב על כל אחת מהן שהן פשוטות ושהן מוכלות אחת בשניה, אז האיחוד הזה הוא ממילא אותה חבורה עצמה שנתון שהיא פשוטה. לא ברור לי מה יש להוכיח כאן.

לא הבנתי את כוונתך. "האיחוד הזה הוא ממילא אותה חבורה עצמה" - איזו חבורה עצמה? לא נתון כי G פשוטה. אתה צריך להוכיח כי היא פשוטה. דורון פרלמן 19:29, 27 בנובמבר 2010 (IST)

אם הבנתי נכון, אני צריך להראות שלכל n, האיחוד הנ"ל הוא חבורה פשוטה, אבל נתון שכל [math]\displaystyle{ G_i }[/math] היא פשוטה. מהנתון, גם ברור כי [math]\displaystyle{ G_n }[/math] שווה לאיחוד של כל ה-[math]\displaystyle{ G_i }[/math] עבור i שקטן מ-n או שווה לו, כי היא מכילה אותם. אז בעצם ברור כי[math]\displaystyle{ G= G_n }[/math], והרי נתון ש-[math]\displaystyle{ G_n }[/math] פשוטה, אז לא ברור לי מה יש להוכיח.--84.110.206.83 09:54, 28 בנובמבר 2010 (IST)

עבור איזה n בדיוק מתקיים לדעתך [math]\displaystyle{ G=G_n }[/math]. עבור 10? 100? 1000? הרי כל G_n עשוייה להוסיף איברים חדשים, אין פה שום חבורה אחרונה. --ארז שיינר 12:13, 28 בנובמבר 2010 (IST)

אז הכוונה היא להוכיח שזה נכון לכל n (וזה עדיין משהו שנתון)? או שעבור [math]\displaystyle{ n=\infty }[/math]? שגם זה משהו שלא כ"כ ברור לי.--84.110.206.83 13:31, 28 בנובמבר 2010 (IST)

יש להוכיח לאיחוד של כל החבורות הנ"ל, זוהי חבורה מסוימת. החבורה הזו מכילה את כל האיברים שנמצאים בלפחות אחת מן הקבוצות G_n. בפרט, אם איבר כלשהו שייך לG סימן שהוא שייך לאחת החבורות G_n. הבט ברמז ליד התרגיל. --ארז שיינר 14:55, 28 בנובמבר 2010 (IST)

בסימן [math]\displaystyle{ G=\bigcup_{n}G_n }[/math] הכוונה היא לאיחוד [math]\displaystyle{ G=\bigcup_{n=1}^{\infty}G_n }[/math]. עוזי ו. 22:11, 30 בנובמבר 2010 (IST)

לקבוצה של מיכאל פרידמן ביום רביעי ב-16-18 מתבטל השיעור בגלל חנוכה, אז למתי צריך להגיש את תרגיל 5?

יש להגיש אותו לתא שלי (60) ביום ד הזה (1.12) עד 16:00. תודה, מיכאל.

תרגיל 7

שאלה 5

מההקשר אני מבין שהכוונה היא למֶרְכָּז ולא למְרַכֵּז (כי אז זה עבור איבר מסויים), אבל אני רוצה לוודא. הבנתי נכון?

נכון. דורון פרלמן 23:22, 11 בדצמבר 2010 (IST)

תרגיל 8

שאלה 6

מה זה אומר ש-x,y,z בתוך סוגריים <>? ששלושתם יוצרים?
x, y, z מייצגים מטריצות מעל Z5? ~~

-- כן, x,y,z הם יוצרים של החבורה. עתה, חבורת המטריצות [math]\displaystyle{ G }[/math] איזומורפית ל(רק) אחת מהשתיים שרשומות שם. לכן x,y,z אינם (מייצגים) מטריצות מעל [math]\displaystyle{ Z_5 }[/math] אלא שניתן לבנות איזומורפיזם מ- [math]\displaystyle{ G }[/math] לחבורה הנוצרת ע"י x,y,z כך שכל מטריצה תעבור ל-x,y,z (או למכפלות שלהם).

שים לב - הרעיון העומד בבסיס התשובה הוא שהחבורה [math]\displaystyle{ Z_n }[/math] והחבורה [math]\displaystyle{ \lt x : x^n=1\gt }[/math] איזומורפיות (שלח את היוצר של [math]\displaystyle{ Z_n }[/math] (למשל 1) ל- [math]\displaystyle{ x }[/math]), אבל אינך יכול לומר ש-[math]\displaystyle{ x }[/math] הוא מספר בין 0 ל-[math]\displaystyle{ n-1 }[/math] (מיכאל פרידמן).