משתמש:אור שחף/133 - תרגול/22.5.11
תוכן עניינים
התכנסות במ"ש (המשך)
משפט דיני
סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע
ומתכנסת נקודתית בקטע זה לפונקציה רציפה f. בנוסף
סדרה עולה לכל
. אזי
מתכנסת במ"ש ב-
.
דוגמה 1
בדוק הכנסות עבור הסדרה בקטע
פתרון
נשים לב שעבור x בקטע. קל לראות גם שפונקצית הגבול היא
, שרציפה. כמו כן ברור כי
רציפות ובקטע מתקיים
. לכן מתקיימים תנאי משפט דיני, ומכאן שההתכנסות במ"ש.
פתרון
נשים לב שנתון קטע פתוח, לכן לא ניתן להשתמש בתנאי דיני. ברור לנו שפונקצית הגבול
ומכיוון ש-
ההתכנסות אינה במ"ש.
דוגמה 2
קבעו אם הטור מתכנס ב-
.
פתרון
נשתמש בנוסחאת הסכום לטור הנדסי: . לכן יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש.
דוגמה 3
הוכח או הפרך: אם סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקצית הגבול f וכן
פונקציה רציפה אז
היא סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש לפונקצית הגבול
.
פתרון
נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל יש
כך שאם
אז
. בנוסף נתון ש-
מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל
מתקיים
(בפרט אפשר לבחור
).
נשים לב ש-
מוגדרת היטב לכל
ועבור
מתקיים
. מכאן ש-
במ"ש.
מבחן ה-M של ווירשטראס
יהי טור פונקציות בקטע I. אם קיים טור מתכנס של מספרים חיוביים
כך שלכל n גדול מספיק ולכל
מתקיים
אז
מתכנס במ"ש ב-I.
דוגמה 4
הוכח כי מתכנס במ"ש ב-
.
פתרון
נרשום את הטור כ- נסמן
ונחסום אותה:
ולכן
, שהיא מקסימום כי
. נותר לבדוק את קצוות הקטע:
. נסיק ש-
היא נקודת קיצון גלובלית וכן-
.
מתכנס (זהו טור הנדסי) ולכן, לפי מבחן ה-M של וירשטרס, הטור
מתכנס במ"ש.
אינטגרציה איבר-איבר בסדרות
תהי סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציות f בקטע I. אזי f אינטגרבילית בקטע ומתקיים
.
דוגמה 5
קבע האם מתכנס כאשר
ב-
, והאם
במ"ש.
פתרון
נציב ואז
, כלומר
אכן מתכנס. נותר לבדוק אם
מתכנסת במ"ש:
דרך 1:
(השיוויון האחרון לפי לופיטל). נניח בשלילה שההתכנסות במ"ש, אבל
ולכן קיבלנו סתירה. לפיכך ההתכנסות אינה במ"ש.
דרך 2: הראנו כבר כי פונקצית הגבול היא 0. נחפש מקסימום ל-:
ונקבל
. לכן
ומכאן שההתכנסות אינה במ"ש.