פתרון 4 (אלעד איטח)
א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא
ב. לפולינום המינימאלי של יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של . אחרי חישוב נקבל ש- כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את . לכן הפולינום המינימאלי של A הוא .
ג. הע"ע של הם שורשי הפולינום האופייני של , שהם ו .
ד. נגדיר -הריבוי האלגברי של ע"ע ו- הריבוי הגיאומטרי שלו. הריבוי האלגברי של ע"ע מוגדר בתור האינדקס הגדול ביותר שעבורו מחלק את הפולינום האופייני של . לכן, הריבוי הגיאומטרי של כל ע"ע קטן או שווה לריבוי האלגברי שלו וגם גדול או שווה ל . לכן, .
הריבוי הגיאומטרי של ע"ע מוגדר בתור המימד של המרחב העצמי המתאים לע"ע זה. לפיכך,
ה.הפולינום האופייני של מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן ל . מס' הבלוקים הקשורים לכל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי שלו, ולכן לכל אחד מהע"ע יש בלוק אחד. A היא מסדר 3, ולכן צורת הז'ורדן שלה היא מסדר 3, והיא מכילה בלוק מסדר 2 ובלוק מסדר 1. הסדר של הבלוק הגדול ביותר (ובמקרה זה, גם היחיד) של כל ע"ע למדה הוא החזקה של הגורם בפולינום המינימאלי של . לכן, הבלוק הקשור לע"ע הוא מסדר והבלוק הקשור לע"ע הוא מסדר . לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא
דרך כמו שרשום בחוברת
הבלוק הכי גדול של 1 הוא בסדר
ולכן יש בלוק והריבוי ו2 הוא שורש של הפולינום האופייני ולכן יש בלוק
אבל נשאר מקום רק עבור בלוק מסדר 1
ולכן צורת הז'ורדן של A היא