שיטת ההצבה

הגדרה

שיטת ההצבה היא שיטת החלפת משתנים לצורך אינטגרציה, לפי כלל השרשרת לגזירה.

[math]\displaystyle{ [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x) }[/math]

לכן, נוסחאת ההצבה הינה:

[math]\displaystyle{ \int{f(g(x))g'(x)dx}=F\Big(g(x)\Big)+C }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ F'=f }[/math]

סימון נוח יותר לאותה הנוסחא:

[math]\displaystyle{ \int{f(g(x))g'(x)dx} }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ g(x)=t }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ g'(x)dx=dt }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ \int{f(g(x))g'(x)dx}=\int{f(t)dt}=F(t)+C=F(g(x))+C }[/math]

הסימון הזה נוח יותר לפתרון תרגילים מאשר הסימון הראשון שנובע ישירות מכלל השרשרת.

דוגמאות

א.

[math]\displaystyle{ \int{tan(x)dx}=-\int{\frac{1}{cosx}(-sin(x))dx} }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x},g(x)=cosx }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ F(x)=ln|x|,g'(x)=-sin(x) }[/math] וסה"כ האינטגרל הוא מהצורה:

[math]\displaystyle{ -\int{f'(g(x))g'(x)dx}=-F(g(x))+C=-ln|cosx|+C }[/math]

ב.

[math]\displaystyle{ \int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}=\int{\frac{1}{|a|\sqrt{1-(\frac{x}{|a|})^2}}} }[/math]

נציב

[math]\displaystyle{ t=\frac{x}{|a|} }[/math]

לכן

[math]\displaystyle{ dt=\frac{1}{|a|}dx }[/math]

לכן

[math]\displaystyle{ |a|dt=dx }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ \int{\frac{1}{|a|\sqrt{1-(\frac{x}{|a|})^2}}}=\frac{1}{|a|}\int{\frac{|a|dt}{\sqrt{1-t^2}}}=arcsin(t)+C=arcsin(\frac{x}{|a|})+C }[/math]