מדר קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/30.7.12
תוכן עניינים
מבוא
משוואה דיפרנציאלית היא משוואה המקשרת בין משתנה בלתי תלוי לבין משתנה תלוי . בניגוד למצב הנפוץ בו הפתרון של משוואה הוא נקודה, במד״ר הפתרון הוא פונקציה.
הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית רגילה היא ( פונקציה ב־ משתנים). הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית חלקית היא .
הגדרות: הסדר של מד״ר הוא דרגת הנגזרת הגבוהה ביותר במשוואה. המעלה היא החזקה של הנגזרת הגבוהה ביותר. נדגים:
- : הסדר הוא 1 והמעלה – 1.
- : הסדר הוא 1 והמעלה – 2.
- : הסדר הוא 2 והמעלה – 1.
- : הסדר הוא 3 והמעלה – 1.
קיימות מד״ר שאנו כבר יודעים לפתור. למשל:
- אם אזי .
נשים לב שיש אינסוף פתרונות.
לא תמיד קל לפתור מד״ר: בהינתן נקבל , והפתרון אינו אלמנטרי. למרות זאת, זה פתרון מפורט מספיק לצרכינו. נעיר שקיימת פוקנציית השגיאה שעבורה .
הגדרה: צורה נורמלית של מד״ר היא כאשר סדר המשוואה. לפעמים קשה להגיע לצורה זו: לדוגמה, .
הערה: מסמן שיוויון זהותי, כלומר שיוויון שמתקיים בכל נקודה. אם אז בפרט , ולכן לא תמיד נקפיד לסמן ב־ שיוויון זהותי.
תהי פונקציה לינארית במשתנים . אזי המד״ר המתאימה תקרא לינארית. , למשל. מד״ר לינארית מוצגת בצורה נורמלית כך: . אם אזי המד״ר נקראת "לינארית הומוגנית". דוגמה: .
הגדרה: פתרון של מד״ר הוא פונקציה כך שבהצבת המד״ר הופכת לזהות . דוגמה: היא פתרון של מפני שבהצבה נקבל , מה שמתקיים תמיד.
הגדרה: פתרון כללי של מד״ר הוא משפחת פונקציות שכל אחת מהן פתרון התלוי ב־ פרמטרים וגזיר פעמים לפי . דוגמה:מד״ר מסדר ראשון
הגדרה: מד״ר מסדר ראשון היא מד״ר מהצורה . באופן שקול, הצורה הנורמלית שלה היא . דוגמאות:מד״ר 2 שקולה ל־ ומד״ר 3 שקולה ל־. אלה הצורות הדיפרנציאליות.
בעיית קושי
בכל הנוגע למד״ר מסדר ראשון, הבעיה היא למצוא פתרון למד״ר המקיים תנאי התחלה .
פתרון רגולרי וסינגולרי
הגדרות: בהנתן פתרון כללי של מד״ר , פתרון המתקבל ע״י הצבת מסוים נקרא פתרון פרטי, רגולרי או רגיל. פתרון שאינו מתקבל מ־ מסוים נקרא פתרון סינגולרי או מיוחד. דוגמה: נתונה המד״ר . הפתרון הרגולרי הכללי הוא לכל , כגון . פתרון סינגולרי.
משפט הקיום והיחידות
נציג גרסה לא כ״כ פורמלית למשפט (את הגרסה המדויקת ואת ההוכחה נציג בהמשך). בהינתן מד״ר בצורה נורמלית . אם הפונקציה מקיימת את תנאי ליפשיץ במשתנה בסביבה מסוימת של הנקודה אזי קיימת סביבה שלה שבה למד״ר פתרון אחד ויחיד העובר ב־ (כלומר מקיים ).
תזכורת: מקיימת את תנאי ליפשיץ אם .
מד״ר עם משתנים מופרדים
דוגמה
נתון . אזי
נניח :[1] | ||||||
נציב : | ||||||
נציב :[2] |
^ הערה 1: הנחנו ש־ וחילקנו ב־, אבל מה אם יש נקודות בודדות שבהן ? מקרה כזה אינו משנה לנו כיוון ש־ גזירה ובפרט רציפה, ולכן קיימים קטעים שבהם . אנו יכולים לפתור את המד״ר בקטעים אלה ואז, הודות לרציפות, הפתרון ייתן את התוצאה הנכונה גם בנקודות שבהן .
^ הערה 2: הגדרנו , אך נשים לב ש־ מוכרח להיות קבוע. במקרה זה הדרישה הזאת מתקיימת: לכל ומכאן שלא קיימת נקודה שבה . לפיכך, מפני ש־ רציפה, אינה מחליפה סימן באף קטע, כלומר קבוע. כך נקבל שגם קבוע, כדרוש.
עתה נתייחס למקרה שבו . הצבה במד״ר תראה שזה פתרון ולבסוף הפתרון הכללי הוא .
נוכל להכליל את הדוגמה למקרה כללי: אם אזי .
צורה כללית
הצורה הכללית של מד״ר מסדר ראשון עם משתנים מופרדים בכתיב דיפרנציאלי: . אם עבור כלשהו אזי פותר את המד״ר. אם עבור כלשהו אזי פתרון (במובן כלשהו – רגולרי או סינגולרי). אם נחלק בהם ונקבל .
דוגמה
. נמיר זאת לכתיב דיפרנציאלי ונקבל . הפתרונות הם או או . במקרה האחרון . לא נצליח לחלץ את , אבל נוכל לחלץ את : (כאשר ).
מד״ר פתורות ע״י הפרדת משתנים
נתונה מד״ר מהצורה . נגדיר , לכן ולפיכךלכן ואם הפיכה אזי .
דוגמה
. אזי עבור נקבל
נניח : | ||||||
הצבת נותנת ולכן פתרון.
הומוגניות
הגדרה: פונקציה נקראת הומוגנית מסדר אם לכל מתקיים . למשל:
- הומוגנית מסדר 0 כי .
- הומוגנית מסדר 2 כי .
משפט
פונקציה ניתנת לכתיבה בצורה לכל אם״ם היא הומוגנית מסדר 0.
הוכחה
: .
: נתון . אם נבחר ולכן . במקרה נציב , ואז .
מד״ר הומוגנית
הגדרה: אם ניתן לכתוב את המד״ר בצורה אזי היא נקראת הומוגנית.
ניתן לפתור כל מד״ר הומוגנית באמצאות ההצבה : מתקיים ולכן אם אז
עבור המוגדרת כאגף שמאל, . במידה ו־ הפיכה .
תרגיל
פתרו עם תנאי ההתחלה .