מדר קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/2.8.12
פתרון המד״ר משיעור קודם: .
תוכן עניינים
מד״ר מסדר גבוה
מד״ר מסדר שני: . הפתרון הוא מהצורה .
בעיית קושי מסדר 2
נתונים שני תנאי התחלה (כמובן ש־ אינו הנגזרת של הקבוע , אלא ערך הנגזרת בנקודה ).
סוג 1
מתקיים . ניתן לפתור זאת ע״י אינטגרציה פעמים (במקרה שלנו, ).
סוג 2
אלה המקרים שבהם ניתן להוריד את סדר המשוואה. עבור מד״ר מסדר 2, נחלק לשני מקרים:
מקרה 1: לא מופיע במשוואה, כלומר המשוואה מהצורה . במקרה זה נציב ונקבל מד״ר מסדר ראשון. נדגים: . לכן , לפיכך ואז . מכאן ש־.
מקרה 2: לא מופיע, כלומר המד״ר מהצורה . שוב נגדיר , ואז . המד״ר הופכת ל־, כלומר מד״ר מסדר ראשון של . נובע ש־. דוגמה: בהנתן נציב באופן הנ״ל ונקבל , כך שלבסוף . נותר להציב ולקבל .
משוואת ריקטי
מד״ר מהצורה . פתרון כללי של משוואת ריקטי הוא מהצורה , ולכל ביטוי מהצורה הנ״ל קיימת משוואת ריקטי מתאימה.
הוכחה
ראשית, נוכיח שלכל ביטוי מהצורה הנ״ל קיימת משוואת ריקטי מתאימה: ולכן . נגזור את שני האגפים ונקבל . שתי המשוואות האחרונות נכונות לכל ולפיכך . נחשב את הדטרמיננטה ונגלה ש־, כדרוש.
לצד השני, תהי פתרון פרטי של משוואת ריקטי. נציב . עתה (*). אמרנו ש־ פתרון של משוואת ריקטי ולכן . נשים לב שאגף שמאל מופיע במשוואה (*) ונציב: . נציב ולבסוף .
מערכת מד״ר מסדר ראשון
מהצורה כאשר היא מערכת של פונקציות ב־ משתנים. בצורה נורמלית: . לפיכך .
דוגמה
. גזירת שני האגפים תתן .
בעיית קושי
נתון תנאי ההתחלה .
משפט
מד״ר מסדר (נורמלית/לינארית/לינארית הומוגנית) שקולה למערכת של מד״ר מסדר ראשון (נורמליות/לינאריות/לינאריות והומוגניות). אם למד״ר מסדר גבוה נתונים תנאי התחלה זה שקול לבעיית קושי עבור המערכת.
הוכחה
נתונה המד״ר ונסמן . לכן . נוסיף את המד״ר הבאות: . המערכת שקולה למד״ר המקורית והיא נורמלית/לינארית/לינארית הומוגנית בהתאם למערכת המקורית.
דוגמה
. נציב ו־. לפיכך .
מד״ר סתומות מסדר 1
אלה מד״ר שאנו לא יודעים כיצד להביאן לצורה נורמלית.
מקרה 1: משוואה מסדר 1 ממעלה : . מכאן שקיימות פונקציות שעבורן . דוגמה: לכן ואז . נפעיל אינטגרציה: , כלומר .
מקרה 2: לא מופיע במד״ר. צורתה ובהצבת נקבל . נשים לב ש־ ולכן . לבסוף, אם אזי . דוגמה: . נסמן ולפי המד״ר, . עתה .
מקרה 3: לא מופיע, . נציב ואז, אם , מתברר ש־. אזי . לסיכום, . דוגמה: . אחרי הצבה ולבסוף .
מקרה 4: או מופיעים, אבל המד״ר סתומה לגביהם. דהיינו, או . נגדיר .
- מקרה 4.1: . נציב ו־. מתקיים . נקבל , כלומר . דוגמה: . נסמן , נציב במד״ר ונקבל . לבסוף, .
- מקרה 4.2: . נציב . אזי ונסמן . עתה . מאינטגרציה נקבל כאשר .