קשר בין לכסינות לבין הפולינום המינימלי
משפט
לכסינה
הפולינום המינימלי שלה הוא מהצורה
עבור
הע"ע השונים של
הוכחה
לכסינה ולכן קיים בסיס של ו"ע של
נקרא לו
. ברור שהפולינום המינימלי של
חייב להכיל את הגורמים האי פריקים
לכל הע"ע של
. לכן אם הפולינום
מקיים
אזי הוא הפולינום המינימלי (בוודאי אין פולינום קטן ממנו...)
אנו יודעים שעבור כל קיים
כך ש
. מה הערך של
עבור
?
הבה נסתכל ב :
אבל
ולכן לכל
בסיס ולכן כל וקטור
ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברי
:
ולכן
אם אז קיימת לה עמודה
שונה מאפס, אזי
. אבל ראינו ש
ולכן
ולכן
.
קודם כל הפולינום המינימלי של מכיל גורמים לינאריים בלבד ולכן כך גם הפולינום המאפיין של
.
כלומר החזקה של הגורם
בפולינום המינימלי שווה לאחד עבור כל אחד מהע"ע של
. לכן לפי משפט הקיום והיחידות של ז'ורדן הבלוק המקסימלי של כל ע"ע בצורת הז'ורדן של
הוא מגודל אחד. כלומר
לכסינה (כי היא סכום ישר של מטריצות בגודל
.